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1、（2017浙江宁波第25题）如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连结，点C（6，）在抛物线上，直线与轴交于点.(1)求的值及直线的函数表达式；(2)点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连结与直线交于点，连结并延长交于点，若为的中点.求证：；设点的横坐标为，求的长(用含的代数式表示).【答案】(1)c=-3; 直线AC的表达式为：y=x+3；（2）证明见解析；【解析】试题分析：（1）把点C(6,)代入中可求出c的值；令y=0，可得A点坐标，从而可确定AC的解析式；（2）分别求出tanOAB=tanOAD=，得OAB=tanOAD，再由M就PQ的中点，得OM=MP，所以可证得APM=AON，即
2、可证明；过M点作MEx轴，垂足为E，分别用含有m的代数式表示出AE和AM的长，然后利用即可求解.试题分析：（1）把点C(6,)代入解得：c=-3当y=0时，解得：x1=-4，x2=3A（-4，0）设直线AC的表达式为：y=kx+b(k0)把A（-4，0），C(6,)代入得解得：k=，b=3直线AC的表达式为：y=x+3(2)在RtAOB中，tanOAB=在RtAOD中，tanOAD=OAB=OAD在RtPOQ中，M为PQ的中点OM=MPMOP=MPOMPO=AONAPM=AONAPMAON如图,过点M作MEx轴于点E又OM=MPOE=EP点M横坐标为mAE=m+4 AP=2m+4tanOAD=
3、cosEAM=cosOAD=AM=AE=APMAONAN=考点：二次函数综合题.（2017重庆A卷第26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2x与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE当PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2x沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点为点F在新抛物线y的对称轴上，是否存在一
4、点Q，使得FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x+（2）3，（3）点Q的坐标为（3，），Q（3，）或（3，2）或（3，）【解析】试题分析：（1）抛物线的解析式可以变天为y=(x+1)(x-3),从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入，求得k和b的值，从而得到AE的解析式；（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF、FQ=FQ三种情况求解即可.试题解析：（1）y=x2x，y=（x+1）（x3）A（1，0），B
5、（3，0）当x=4时，y=E（4，）设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=直线AE的解析式为y=x+（2）设直线CE的解析式为y=mx，将点E的坐标代入得：4m=，解得：m=直线CE的解析式为y=x过点P作PFy轴，交CE与点F设点P的坐标为（x，x2x），则点F（x，x），则FP=（x）（x2x）=x2+xEPC的面积=×（x2+x）×4=x2+x当x=2时，EPC的面积最大P（2，）如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、MK是CB的中点，k（，）点H与点K关于CP对称，点H的坐标为（，）点G与
6、点K关于CD对称，点G（0，0）KM+MN+NK=MH+MN+GN当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GHGH=3.KM+MN+NK的最小值为3（3）如图3所示：y经过点D，y的顶点为点F，点F（3，）点G为CE的中点，G（2，）FG=当FG=FQ时，点Q（3，），Q（3，）当GF=GQ时，点F与点Q关于y=对称，点Q（3，2）当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=点Q1的坐标为（3，）综上所述，点Q的坐标为（3，），Q（3，）或（3，2）或（3，）考点：二次函数综合题.（2017甘肃庆阳第28题）如图，已知二次函数y
7、=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（-2，0），点C（8，0），与y轴交于点A（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求N点的坐标；.（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系【答案】（1）y=x2+x+4；（2）N（3，0）；（3）OM=AC【解析】试题分析：（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设N（n，0），则可用n表示出ABN的面积，由NMAC，可求得，则可用n表示出AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n
8、的值，即可求得N点的坐标；（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=AB，在RtAOB和RtAOC中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系试题解析：（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，二次函数的表达式为y=x2+x+4；（2）设点N的坐标为（n，0）（2n8），则BN=n+2，CN=8nB（2，0），C（8，0），BC=10，在y=x2+x+4中，令x=0，可解得y=4，点A（0，4），OA=4，SABN=BNOA=（n+2）×4=2（n+2），MNAC，0，当n=3时，即N（3，0）时
9、，AMN的面积最大；（3）当N（3，0）时，N为BC边中点，MNAC，M为AB边中点，OM=AB，AB=，AC=，AB=AC，OM=AC考点：二次函数综合题来源:学科网ZXXK（2017广西贵港第25题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，其顶点为.（1）写出两点的坐标（用含的式子表示）；（2）设，求的值；（3）当是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.【答案】（1）C（0，3a），D（2，a）；（2）3；（3）y=x24x+3或y=x22x+试题解析：（1）在y=a（x1）（x3），令x=0可得y=3a，C（0，3a），y=a（x1）（x3）=a（x24x+3）=a（x2）2a，D（
10、2，a）；（2）在y=a（x1）（x3）中，令y=0可解得x=1或x=3，A（1，0），B（3，0），AB=31=2，SABD=×2×a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，直线CD解析式为y=2ax+3a，令y=0可解得x=，E（，0），BE=3=SBCD=SBEC+SBED=××（3a+a）=3a，SBCD：SABD=（3a）：a=3，k=3；.（3）B（3，0），C（0，3a），D（2，a），BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（a3a）2=4+16a2，BD2=（32）2
11、+a2=1+a2，BCDBCO90°，BCD为直角三角形时，只能有CBD=90°或CDB=90°两种情况，当CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x24x+3；当CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x22x+；综上可知当BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x24x+3或y=x22x+考点：二次函数综合题（2017贵州安顺第26题）如图甲，直线y=x+3
12、与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）【答案】（1）y=x24x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，1+2）或（2，12）；（3）E点坐标为（，）时，CBE的面积最大【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可
13、求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EFx轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标试题解析：（1）直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，抛物线对称轴为x=2，P（2，1），设M（2，t），且C（0
14、，3），MC=，MP=|t+1|，PC=，CPM为等腰三角形，有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，（3）如图，过E作EFx轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x24x+3），则F（x，x+3），0x3，EF=x+3（x24x+3）=x2+3x，SCBE=SEFC+SEFB=EFOD+EFBD=EFOB=×3（x2+3x）=（x）2+，当x=时，CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，CBE的面积最大考点：二次函数综合题（2017湖北武汉第24题）已知点在抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点的坐标为，直线交抛物线于另一点，过点作轴的垂
15、线，垂足为，设抛物线与轴的正半轴交于点，连接，求证；（3）如图2，直线分别交轴，轴于两点，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为每秒个单位长度，同时点从原点出发，沿轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点是直线与抛物线的一个交点，当运动到秒时，直接写出的值【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2-x；（2）证明见解析；（3）；.【解析】试题分析：（1）把A，B两点坐标代入，解方程组求出a，b的值，即可得到二次函数解析式；（2）过点A作AN轴于点N，则N(-1，0)，再求出E点坐标，从而可求tanAEN=,再求出直线AF的解析式与抛物线方程联立,求出点G的坐标,则可得到tanFHO=，从而得
16、证；（3）进行分类讨论即可得解.试题解析：（1）点A（-1，1），B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上a-b=1，16a+4b=6解得：a=，b=-抛物线的解析式为：y=x2-x（2）过点A作ANx轴于点N，则N(-1，0)AN=1当y=0时，x2-x=0解得：x=0或1E（1，0）EN=2tanAEN=设直线AF的解析式为y=kx+mA (-1,1)在直线AF上，-k+m=1即：k=m-1直线AF的解析式可化为：y=(m-1)x+m与y=x2-x联立，得（m-1）x+m=x2-x(x+1)（x-2m）=0x=-1或2m点G的横坐标为2mOH=2mOF=mtanFHO=来源:学§科
17、§网AEN=FHOFHAE（3）；. 考点：二次函数综合题.（2017湖南怀化第24题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点是轴上的一点，且以为顶点的三角形与相似，求点的坐标；(3)如图2，轴玮抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别交于点，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积；(4)若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形的周长最小，求出点，的坐标.【答案】(1) y=x24x5，(2) D的坐标为（0，1）或（0，）；(3)
18、当t=时，四边形CHEF的面积最大为(4) P（，0），Q（0，）【解析】试题分析：（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标试题解析：（1）点A（1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx5上，抛物线的表达式为y=x24x5，（2）如图1，令x=0，则y=5，C（0，5），OC=OB，OBC=OCB=45°，AB=6，BC=5，要使以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似，则有或，当
19、时，CD=AB=6，D（0，1），当时，CD=，D（0，），即：D的坐标为（0，1）或（0，）；（3）设H（t，t24t5），CEx轴，点E的纵坐标为5，E在抛物线上，x24x5=5，x=0（舍）或x=4，E（4，5），CE=4，B（5，0），C（0，5），直线BC的解析式为y=x5，F（t，t5），HF=t5（t24t5）=（t）2+，CEx轴，HFy轴，CEHF，S四边形CHEF=CEHF=2（t）2+，当t=时，四边形CHEF的面积最大为（4）如图2，K为抛物线的顶点，K（2，9），K关于y轴的对称点K'（2，9），M（4，m）在抛物线上，M（4，5），点M关于x轴的对称点M&#
20、39;（4，5），直线K'M'的解析式为y=x，P（，0），Q（0，）考点：二次函数综合题（2017新疆建设兵团第23题）如图，抛物线y=x2+x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（1）试求A，B，C的坐标；（2）将ABC绕AB中点M旋转180°，得到BAD3求点D的坐标；判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使BMP与BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) A（1，0），B（4，0），C（0，2）；(2)D（3，2）；四边形ADBC是矩形；理由见解析，(3) 点P的坐标为：
21、（1.5，1.25），（1.5，1.25），（1.5，5），（1.5，5）【解析】试题分析：（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；（2）利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案试题解析：（1）当y=0时，0=x2+x+2，解得：x1=1，x2=4，则A（1，0），B（4，0），当x=0时，y=2，故C（0，2）；（2）过点D作DEx轴于点E，将ABC绕AB中点M旋转180°，得到BAD，DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，
22、D（3，2）；将ABC绕AB中点M旋转180°，得到BAD，AC=BD，AD=BC，四边形ADBC是平行四边形，AC=，BC=，AB=5，AC2+BC2=AB2，ACB是直角三角形，ACB=90°，四边形ADBC是矩形；（3）由题意可得：BD=，AD=2，则，当BMPADB时，可得：BM=2.5，则PM=1.25，故P（1.5，1.25），当BMP1ABD时，P1（1.5，1.25），当BMP2BDA时，可得：P2（1.5，5），当BMP3BDA时，可得：P3（1.5，5），综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，1.25），（1.5，5），（1.5，5）考
23、点：二次函数综合题(2017河南第23题)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，点在线段上运动，若以，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；点在轴上自由运动，若三个点，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，三点为“共谐点”.请直接写出使得，三点成为“共谐点”的的值.【答案】（1）B（0，2），；（2）点M的坐标为（，0）或M（，0）；m=-1或m=或m=.【解析】来源:学科网ZXXK试题分析：(1) 把点代入求得c值，即可得点B的坐标；抛
24、物线经过点，即可求得b值，从而求得抛物线的解析式；（2）由轴，M（m，0），可得N( )，分NBP=90°和BNP =90°两种情况求点M的坐标；分N为PM的中点、P为NM的中点、M为PN的中点3种情况求m的值. 试题解析：（1）直线与轴交于点，解得c=2B（0，2），抛物线经过点，b=抛物线的解析式为；（2）轴，M（m，0），N( )有（1）知直线AB的解析式为，OA=3，OB=2在APM中和BPN中，APM=BPN, AMP=90°，若使APM中和BPN相似，则必须NBP=90°或BNP =90°，分两种情况讨论如下：（I）当NBP=90&
25、#176;时，过点N作NC轴于点C，则NBC+BNC=90°，NC=m，BC=NBP=90°，NBC+ABO=90°，BNC=ABO，RtNCB RtBOA ,即 ，解得m=0（舍去）或m=M（，0）；（II）当BNP=90°时， BNMN，点N的纵坐标为2，解得m=0（舍去）或m=M（，0）；综上，点M的坐标为（，0）或M（，0）；m=-1或m=或m=.考点：二次函数综合题.(2017四川泸州第25题)如图，已知二次函数的图象经过三点.（1）求该二次函数的解析式；（2）点是该二次函数图象上的一点，且满足(是坐标原点)，求点的坐标；（3）点是该二次函数图
26、象上位于一象限上的一动点，连接分别交轴与点若的面积分别为求的最大值.【答案】（1）；（2）满足条件的点有：；（3）当时，有最大值，最大值为：.【解析】试题解析：（1）由题意得：设抛物线的解析式为：；因为抛物线图像过点,解得所以抛物线的解析式为：即：(2)设直线与轴的交点为当时，直线解析式为：所以，点当时，直线解析式为：所以，点综上：满足条件的点有：（3）：过点P作PH/轴交直线于点，设BC直线的解析式为 故：AP直线的解析式为：故：；即：所以，当时，有最大值，最大值为：.（2016·湖北随州·12分）已知抛物线y=a（x+3）（x1）（a0），与x轴从左至右依次相交于A、B
27、两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=x+b与抛物线的另一个交点为D（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？解：（1）y=a（x+3）（x1），点A的坐标为（3，0）、点B两的坐标为（1，0），直线y=x+b经过点A，b=3，y=x3，当x=2时，y=5
28、，则点D的坐标为（2，5），点D在抛物线上，a（2+3）（21）=5，解得，a=，则抛物线的解析式为y=（x+3）（x1）=x22x+3；（2）作PHx轴于H，设点P的坐标为（m，n），当BPAABC时，BAC=PBA，tanBAC=tanPBA，即=，=，即n=a（m1），解得，m1=4，m2=1（不合题意，舍去），当m=4时，n=5a，BPAABC，=，即AB2=ACPB，42=，解得，a1=（不合题意，舍去），a2=，则n=5a=，点P的坐标为（4，）；当PBAABC时，CBA=PBA，tanCBA=tanPBA，即=，=，即n=3a（m1），解得，m1=6，m2=1（不合题意，舍去），
29、当m=6时，n=21a，PBAABC，=，即AB2=BCPB，42=，解得，a1=（不合题意，舍去），a2=，则点P的坐标为（6，），综上所述，符合条件的点P的坐标为（4，）和（6，）；（3）作DMx轴交抛物线于M，作DNx轴于N，作EFDM于F，则tanDAN=，DAN=60°，EDF=60°，DE=EF，Q的运动时间t=+=BE+EF，当BE和EF共线时，t最小，则BEDM，y=4（2016·湖北武汉·12分）抛物线yax2c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方（1）如图1，若P(1，3)、B(4，0)， 求该抛物线的解析式
30、； 若D是抛物线上一点，满足DPOPOB，求点D的坐标；（2） 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由【考点】二次函数综合；考查了待定系数法求函数解析式；平行线的判定；函数值相等的点关于对称轴对称。【答案】 （1）yx2-；点D的坐标为(-1，-3)或(，)；（2）是定值，等于2【解析】解：（1）将P(1，3)、B(4，0)代入yax2c得 ，解得 ，抛物线的解析式为： 如图：由DPOPOB得DPOB，D与P关于y轴对称，P(1，3)得D(-1，-3)；如图，D在P右侧，即图中D2，则D2POPOB，延长PD2交x轴于
31、Q，则QOQP，设Q（q，0），则（q1）232q2，解得：q5，Q（5，0），则直线PD2为 ，再联立 得：x1或 ， D2（ ）点D的坐标为(-1，-3)或（ ）（2）设B（b，0），则A（-b，0）有ab2c0，b2，过点P（x0，y0）作PHAB，有，易证：PAHEAO，则 即，同理得，则OEOF ，又OCc,. 是定值，等于2（2016·吉林·10分）如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点（1）当m=2时，a=，当m=3时，a=；（2）根据（1）中的结果
32、，猜想a与m的关系，并证明你的结论；（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为 a=；（4）利用（2）（3）中的结论，求AOB与APQ的面积比【考点】二次函数综合题【分析】（1）由AOB为等边三角形，AB=2m，得出点A，B坐标，再由点A，B，O在抛物线上建立方程组，得出结论，最后代m=2，m=3，求值即可；（2）同（1）的方法得出结论（3）由APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），P（en，d），Q（e+n，d），建立方程组求解即可；（4）由（2）（3）的结论得到m=n，再根据面积公
33、式列出式子，代入化简即可【解答】解：（1）如图1，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，B（2m，0），以OB为边向上作等边三角形AOB，AM=m，OM=m，A（m， m），抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点，当m=2时，a=，当m=3时，a=，故答案为：，；（2）a=理由：如图1，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，B（2m，0），以OB为边向上作等边三角形AOB，AM=m，OM=m，A（m， m），抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点，a=，（3）如图2，APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），P（en，d），Q（e+n，d），P，Q，
34、A，O在抛物线l：y=ax2+bx+c上，化简得，2aean+b=1，化简得，2aeanb=1，化简得，an=1，a=故答案为a=，（4）OB的长度为2m，AM=m，SAOB=OB×AM=2m×m=m2，由（3）有，AN=nPQ的长度为2n，SAPQ=PQ×AN=×2m×n=n2，由（2）（3）有，a=，a=，=，m=n，=，AOB与APQ的面积比为3：1（2016·辽宁丹东·12分）如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H（1）求抛物线
35、的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN的面积来源:学。科。网Z。X。X。K【考点】二次函数综合题【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求ABC的面积；（3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，m2+4m），利用差表示ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；（4）分
36、别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算【解答】解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，得 解得：，抛物线表达式为：y=x2+4x；（2）点C的坐标为（3，3），又点B的坐标为（1，3），BC=2，SABC=×2×3=3； （3）过P点作PDBH交BH于点D，设点P（m，m2+4m），根据题意，得：BH=AH=3，HD=m24m，PD=m1，SABP=SABH+S四边形HAPDSBPD，6=×3×3+（3+m1）（m24m）（m1）（3+m24m），3m215m
37、=0，m1=0（舍去），m2=5，点P坐标为（5，5） （4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，CMN=90°，则CBMMHN，BC=MH=2，BM=HN=32=1，M（1，2），N（2，0），由勾股定理得：MC=，SCMN=××=；以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：RtNEM和RtMDC，得RtNEMRtMDC，EM=CD=5，MD=ME=2，由勾股定理得：CM=，SCMN=××=；以点N为直角顶点且N在y轴左侧时
38、，如图4，CN=MN，MNC=90°，作辅助线，同理得：CN=，SCMN=××=17；以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN=，SCMN=××=5；以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；来源:学科网综上所述：CMN的面积为：或或17或5 （2016·四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点（1）求出抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点D，使得ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，
39、说明理由；（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PMOA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MCx轴于点C，交AB于点N，若BCN、PMN的面积SBCN、SPMN满足SBCN=2SPMN，求出的值，并求出此时点M的坐标【考点】二次函数综合题【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作ADx轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，设出D点坐标为（0，d），可分别表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标；（3）过P作PFCM于点F，利用RtADO
40、RtMFP以及三角函数，可用PF分别表示出MF和NF，从而可表示出MN，设BC=a，则可用a表示出CN，再利用SBCN=2SPMN，可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN，可求得的值；借助a可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出M点的坐标【解答】解：（1）A（1，3），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，解得，抛物线解析式为y=x2+4x；（2）存在三个点满足题意，理由如下：当点D在x轴上时，如图1，过点A作ADx轴于点D，A（1，3），D坐标为（1，0）；当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3d）2，BD2=42+d2，且AB2=（41）2
41、+（3）2=36，ABD是以AB为斜边的直角三角形，AD2+BD2=AB2，即1+（3d）2+42+d2=36，解得d=，D点坐标为（0，）或（0，）；综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；（3）如图2，过P作PFCM于点F，PMOA，RtADORtMFP，=3，MF=3PF，在RtABD中，BD=3，AD=3，tanABD=，ABD=60°，设BC=a，则CN=a，在RtPFN中，PNF=BNC=30°，tanPNF=，FN=PF，MN=MF+FN=4PF，SBCN=2SPMN，a2=2××4PF2，a=2PF，NC=a=
42、2PF，=，MN=NC=×a=a，MC=MN+NC=（+）a，M点坐标为（4a，（ +）a），又M点在抛物线上，代入可得（4a）2+4（4a）=（+）a，解得a=3或a=0（舍去），OC=4a=+1，MC=2+，点M的坐标为（+1，2+）（2016·四川南充）如图，抛物线与x轴交于点A（5，0）和点B（3，0）与y轴交于点C（0，5）有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N交x轴于点E和F（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sinAMF=，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标【分析】（1）设抛物线为y=a（x+5）（x3），把点（0，5）代入即可解决问题（2）作FGAC于G，设点F坐标（m，0），根据sinAMF=，列出方程即可解决问题（3）当MN是对角线时，设点F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解决问题当MN为边时，MN=PQ=，设点Q（m， m2m+5）则点P（m+1， m2m+6），代入抛物线解析式，解方程即可【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点A（5，0），B（3，0），可以假设抛物线为y=a（x+5）（x3），把点（0，5）代入得到a=，抛物线的解析式为y=x2x+5