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1、中考数学常见思想方法专题11 函数思想专题概述：数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用
2、到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。名词诠释：函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。运用举例：一函数思想在几何变换的运用1
3、（2019秋龙泉驿区期末）如图，直线ykx+b与直线y2x+6关于y轴对称且交于点A，直线y2x+6交x轴于点B，直线ykx+b交x轴于点C，正方形DEFG一边DG在线段BC上，点E在线段AB上，点F在线段AC上，则点G的坐标是（32，0）【点拨】根据轴对称求得直线AC的解析式，再根据正方形的性质以及轴对称的性质设G（m，0），则F（m，2m），代入直线AC的解析式，得到关于m的方程，解得即可【详解】解：由直线y2x+6可知A（0，6），B（3，0），直线ykx+b与直线y2x+6关于y轴对称且交于点A，直线y2x+6交x轴于点B，直线ykx+b交x轴于点C，直线AC为y2x+6，设G（m，0
4、），正方形DEFG一边DG在线段BC上，点E在线段AB上，点F在线段AC上，F（m，2m），代入y2x+6得，2m2m+6，解得m=32，G的坐标为（32，0），故答案为（32，0）2（2019秋武侯区期末）如图，将直线OA向上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为y2x+3【点拨】利用待定系数法确定直线OA解析式，然后根据平移规律填空【详解】解：设直线OA的解析式为：ykx，把（1，2）代入，得k2，则直线OA解析式是：y2x将其上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为：y2x+3故答案是：y2x+33（2020安阳模拟）如图，点A是反比例函数y=kx的图象上的一点，过点A作ABx轴
5、，垂足为B点C为y轴上的一点，连接AC，BC若ABC的面积为4，则k的值是（）A4B4C8D8【点拨】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到SOABSABC4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到12|k|4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值【详解】解：连结OA，如图，ABx轴，OCAB，SOABSABC4，而SOAB=12|k|，12|k|4，k0，k8故选：D4（2020涡阳县模拟）抛物线yax2（a0）沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”如果把抛物线yx2沿直线yx向上平移，平移距离为2时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是y（x1）2+
6、1【点拨】沿直线yx向上平移，平移距离为2则相当于抛物线yax2（a0）向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式【详解】解：抛物线yx2沿直线yx向上平移，平移距离为2，相当于抛物线yax2（a0）向右平移1个单位，向上平移1个单位，根据平移的规律得到：“同簇抛物线”的表达式是y（x1）2+1故答案为：y（x1）2+1二函数思想在方程中的运用5（2019秋温江区期末）已知一次函数ykx+b（k0）的图象与x轴交于（5，0），则关于x的一元一次方程kx+b0的解为x5【点拨】利用自变量x5时对应的函数值为0可确定程kx+b0的解【详解】解：一次函数ykx+b（k0）的图象
7、与x轴交于（5，0），关于x的一元一次方程kx+b0的解为x5故答案为x56（2019浙江）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c0（a0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x3.233.243.253.26ax2+bx+c0.060.020.030.09A3x3.23B3.23x3.24C3.24x3.25D3.25x3.26【点拨】根据函数yax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c0一个解的范围【详解】解：函数yax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c0的根，函数yax2+bx+c的图象与x
8、轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y0在y0.02与y0.03之间，对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24x3.25故选：C三函数思想在不等式中的运用7（2019秋青羊区期末）已知一次函数ykx+b的图象经过点（0，1）与（2，0），则不等式kx+b0的解集是（）Ax2Bx2Cx1Dx1【点拨】写出一次函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可【详解】解：一次函数ykx+b的图象经过点（0，1）与（2，0），不等式kx+b0的解集为x2故选：A8（2019秋青白江区期末）如图所示，直线yx+1（记为l1）与直线ymx+n（记为l2）相交于点P（a，2），则关于x的不等式1n（m1
9、）x的解集为x1【点拨】先利用yx+1确定a1，然后结合函数图象，写出直线yx+1不在直线ymx+n的下方所对应的自变量的范围即可【详解】解：当y2时，a+12，解得a1，不等式1n（m1）x变形为x+1mx+n，而x1时，x+1mx+n，所以关于x的不等式1n（m1）x的解集为x1故答案为x19（2019成都校级模拟）方程7x2（k+13）x+k2k20（k是实数）有两个实根、，且01，12，那么k的取值范围是（）A3k4B2k1C3k4或2k1D无解【点拨】记f（x）7x2（k+13）x+k2k2，由题意根据0，（1）（1）0，（2）（2）0可得不等式组，解之即可得出答案【详解】解：记f（
10、x）7x2（k+13）x+k2k2，由题意得：f(0)=k2-k-20f(1)=k2-2k-80f(2)=k2-3k03k4或-2k-1，k的取值范围是3k4或2k1，故选：C四函数思想在二元一次方程（组）中的运用10（2019秋平果县期末）如图，函数yax+b和ykx的图象交于点P，关于x，y的方程组y-ax=bkx-y=0的解是（）Ax=-2y=-3Bx=-3y=2Cx=3y=-2Dx=-3y=-2【点拨】根据两图象的交点坐标满足方程组，方程组的解就是交点坐标【详解】解：由图可知，交点坐标为（3，2），所以方程组y-ax=bkx-y=0的解是x=-3y=-2故选：D11（2019秋青羊区期
11、末）若方程组y=kx+3y=(3k+1)x+2无解，则ykx2图象不经过第一象限【点拨】根据两直线平行没有公共点得到k3k+1，解得k=-12，则一次函数ykx2为y=-12x2，然后根据一次函数的性质解决问题【详解】解：方程组y=kx+3y=(3k+1)x+2无解，k3k+1，解得k=-12，一次函数ykx2为y=-12x2，一次函数y=-12x2经过第二、三、四象限，不经过第一象限故答案为一五函数思想在实际问题中的运用12（2019秋金牛区期末）A，B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地如图反映的是二人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，有下列说法：甲始终是匀速行
12、进，乙的行进不是匀速的；乙用了4个小时到达目的地；乙比甲先出发1小时；甲在出发4小时后被乙追上在这些说法中，正确的有（）A1个B2个C3个D4个【点拨】根据函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题【详解】解：由图象可得，甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的，刚开始一段时间匀速，后来提速，继续做匀速运动，故正确；乙用了3个小时到达目的地，故错误；乙比甲晚出发1小时，故错误；甲在出发4小时后被乙超过，故错误；由上可得，正确是，故选：A13（2020武侯区模拟）据报道，从2018年8月以来，“非洲猪瘟”给生猪养殖户带来了不可估量的损失某养殖户为了预防“非洲猪瘟”的侵袭，每天
13、对猪场进行药熏消毒，已知一瓶药物释放过程中，一个圈舍内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间x（分钟）之间满足正比例函数关系；药物释放完后，y与x之间满足反比例函数关系，如图所示，结合图中提供的信息解答下列问题：（1）分别求当0x10和x10时，y与x之间满足的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克时，消毒才有效，那么这次熏药的有效消毒时间是多少分钟【点拨】（1）分别利用当0x10，设y与x之间满足的函数关系式为ykx，以及x10时，设y与x之间满足的函数关系式为y=kx，分别得出函数关系式；（2）直接利用y6时得出x的取值范围即可【详解】解：（1）当0x10，设y与x之
14、间满足的函数关系式为ykx，过点（10，30），3010k，解得：k3，y3x（0x10），x10时，设y与x之间满足的函数关系式为y=kx，过点（10，30），30=k10，k300，y=300x（x10）；（2）y3x（0x10）中，当y6时，x2，y=300x（x10）中，当y6时，x50，2x50，这次熏药的有效消毒时间是：50248（分钟）答：这次熏药的有效消毒时间是48分钟14（2020锦江区校级模拟）2020年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品已知该农产品成本为
15、每千克10元调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10x30）（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【点拨】（1）由图象知，当10x14时，y640；当14x30时，设ykx+b，将（14，640），（30，320）解方程组即可得到结论；（2）求得函数解析式为W（x10）（20x+920）20（x28）2+6480，根据二次函数的性质即可得到结论【详解】解：（1）由图象知，当10x14时，y640；当14x30时，设ykx+b，将（14，640），（30，320）代入得14k+b=64030k+b=320，解得k=-20b=920，y与x之间的函数关系式为y20x+920；综上所述，y=640(10x14)-20x+920(14x30)；（2）当10x14时W640×（x10）640x6400，k6400，W随着x的增大而增大，当x14时，W4×6402560元；当14x30时，W（x10）（20x+920）20（x28）2+6480，200，14x30，当x28时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元