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1、类型二 图形规律例1.将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第n个图形中“”的个数是78，则n的值是()第1题图A11B12C13D14【答案】B【解析】由每个图形中小圆的个数规律可得第n个图形中，小圆的个数为，由此可得方程78，解得n12，故选B.例2. 如图，在第1个A1BC中，B30°，A1BCB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2A1D，得到第2个A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3A2E，得到第3个A2A3E，按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是()第2题图A. ()n·
2、75° B. ()n1·65°C. ()n1·75° D. ()n·85°【答案】C【解析】在CBA1中，B30°，A1BCB，BA1C75°，A1A2A1D，BA1C是A1A2D的外角，DA2A1BA1C×75°；同理可得，EA3A2()2×75°，FA4A3()3×75°，第n个三角形中以An为顶点的内角度数是()n1×7例3. 下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第个图形中一共有4颗，第个图形中一共有11颗，第个图形中一
3、共有21颗，按此规律排列下去，第个图形中的颗数为()第3题图116 B. 144 C. 145 D. 150【答案】 B【解析】将图中下半部分组成的梯形放到矩形上方，第n个组合图形可看作是由下半部分为n行n列方阵和上半部分的梯形成，第n个图中方阵中的为(n1)2，梯形中为·(n1)，第n个图中的的个数为(n1)2，令n9，解得第9个中个数为144个例4.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，组成一条平滑的曲线点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时，点P的坐标是()第4题图A. (2014，0) B. (2015
4、，1)C. (2017，1) D. (2016，0)【答案】C【解析】由图象可知，半圆的周长为，运动一秒后的坐标为(1，1)，两秒后的坐标为(2，0)，三秒后的坐标为(3，1)，四秒后的坐标为(4，0)，其中纵坐标以1，0，1，0循环变化，2017÷45041，第2017秒时，点P的坐标为(2017，1)例5. 如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形第1幅图形中“”的个数为a1，第2幅图形中“”的个数为a2，第3幅图形中“”的个数为a3，以此类推，则的值为()第5题图A. B. C. D. 【答案】C【解析】由所给图形可知，a13221(11)21，a28
5、321(21)21，a315421(31)21，a424521(41)21，由此猜想an(n1)21n(n2)，×(1) ×(1).例6.如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图位置，依此类推，这样连续旋转2017次若AB4，AD3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为()第6题图A. 2017 B. 2034C. 3024 D. 3026【答案】D【解析】AB4，AD3，ACBD5，转动一次A的路线长是2，转动第二次A的路线长是，转动第三次A的路线长是，转动第四次A的路线长是
6、0，以此类推，每四次一个循环，且顶点A转动一个循环的路线长为：26，2017÷45041，顶点A转动2017次经过的路线长为：6×50423026.例7. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()第7题图A.(1，1) B. (1，1) C. (，0) D. (0，)【答案】B【解析】菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，BO与x轴的夹角为45°，菱形的对角线互相垂直平分，点D 是线段OB的中点，点D 的坐标是(1，1) ，菱形绕点O逆时
7、针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°8，每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，60÷874，第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°180°，点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(1，1)例8. 某广场用同一种如下图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图所示的图案，第二次拼成形如图所示的图案，第三次拼成形如图所示的图案，第四次拼成形如图所示的图案按照这样的规律进行下去，第n次拼成的图案
8、共用地砖_块第8题图 地砖图案【答案】2n22n【解析】4，42×4，42×42×6，故第n个图形共有42×42×62×2n44×24×34n4(123n)4×2n22n.例9.下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形的周长为4，第2个图形的周长为10，第3个图形的周长为18，按此规律排列，第5个图形的周长为_第9题图【答案】40【解析】第一个图形周长1×21×2；第二个图形周长(21)×22×2；第三个图形周长(321)×22&#
9、215;3；第四个图形周长(4321)×22×4；第五个图形周长(54321)×22×540.例10. 如图，在ABC中，BC1，点P1、M1分别是AB、AC边的中点，点P2、M2分别是AP1、AM1的中点，点P3、M3分别是AP2、AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为_(n为正整数)第10题图【答案】【解析】在ABC中，BC1，P1、M1分别是AB、ACnnnn的中点，P1M1BC，按照题设给定的规律，列表如下：图形序号PnMnPnMn的长度P1M1P2M2P3M3nPnMn例11. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按
10、如图所示放置，点A1、A2、A3在直线yx1上，点C1、C2、C3在x轴上，则An的坐标是_第11题图【答案】(2n11，2n1)【解析】点A1、A2、A3在直线yx1上，A1的坐标是(0，1)，即OA11，四边形A1B1C1O为正方形，OC11，即点A2的横坐标为1，A2的坐标是(1，2)，A2C12，四边形A2B2C2C1为正方形，C1C2 2，OC2 123，即点A3的横坐标为3，A3的坐标是(3，4)，观察可以发现：A1的横坐标是：0201，A1的纵坐标是：120；A2的横坐标是：1211，A2的纵坐标是：221；A3的横坐标是：3221，A3的纵坐标是：422；据此可以得到An的横坐
11、标是：2n11，纵坐标是：2n1.所以点An的坐标是(2n11，2n1)例12. 如图，在平面直角坐标系中，函数y2x和yx的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，依次进行下去，则点A2017的坐标为_ 第12题图 第13题图【答案】(21008，21009)【解析】观察，发现规律：A1(1，2)，A2(2，2)，A3(2，4)，A4(4，4)，A5(4，8)，A2n1(2)n，2(2)n)，A2n2(2)n1，2(2)n，(n为自然数)，20171008&
12、#215;21，A2017的坐标为(2)1008，2(2)1008)(21008，21009)例13. 如图，MON60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是_【答案】3n1【解析】由题可知，MON60°，不妨设Bn到ON的距离为hn，正六边形A1B1C1D1E1F1的边
13、长为1，则A1B11，易知A1OF1为等边三角形，A1B1OA11，OB12，则h12×，又OA2A2F2A2B23，OB26，则h26×3，同理可求：OB318，则h318×9，依此可求：OBn2×3n1，则hn2×3n1×3n1，Bn到ON的距离hn3n1.例14. 如图，RtOA0A1在平面直角坐标系内，OA0A190°，A0OA130°，以OA1为直角边向外作RtOA1A2，使OA1A290，A1OA230°，以OA2为直角边向外作RtOA2A3，使OA2A390°，A2OA330
14、76;，按此方法进行下去，得到RtOA3A4，RtOA4A5，RtOA2016A2017，若点A0(1，0)，则点A2017的横坐标为_第14题图【答案】()1008【解析】由题意可知，经过12次变换后，点A13落在射线OA1上，2017÷121681，点A2017落在射线OA1上，其横坐标与点A2016相同，OA01，经过12次变换后，OA12()12，再经过12次变换后，OA24()24，综上可猜想，OA2016()2016()1008，点A2017的横坐标为()1008.例15. 如图，直线yx上有点A1，A2，A3，An1，且OA11，A1A22，A2A34，AnAn12n，
15、分别过点A1，A2，A3，An1作直线yx的垂线，交y轴于点B1，B2，B3，Bn1，依次连接A1B2，A2B3，A3B4，AnBn1，得到A1B1B2，A2B2B3，A3B3B4，AnBnBn1，则AnBnBn1的面积为_(用含正整数n的式子表示)第15题图【答案】 ×22n×2n【解析】如解图，作A1C1x轴于C1，A2C2x轴于C2，AnCnx轴于Cn，点An在直线上yx，AnOCn30°，OCnOAn(12222n1)，AnOBn60°，BnAnOAn，OBn2OAn，BnBn12OAn12OAn2AnAn12×2n2n1.第15题解图
16、SAnBnBn1BnBn1×OCn×2n1·(12222n1)，设S1242n1，则2S242n12n，S2SS(242n12n)(1242n1)2n1 ，综上可知SAnBnBn1×2n1×(2n1)×22n×2n.例16. 如图，AOB60°，点O1是AOB平分线上一点，OO12，作O1A1OA，O1B1OB，垂足分别为A1，B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1O2；作O2A2OA，O2B2OB，垂足分别为A2，B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2O3；作O3A3OA，O3B3OB，垂足分别为A3，B3，
17、以A3B3为边作等边三角形A3B3O4；，按这样的方法继续下去，则AnBnOn的面积为_(用含正整数n的代数式表示)【答案】【解析】AOB60°，OOn平分AOB，AOOn30°，A1O1AO，OO12，A1O11，OA1.O1A1OA，O1B1OB，O1A1O1B1，O1OO1O，RtO1A1ORtO1B1O(HL)，OA1OB1，A1OB160°，A1OB1是等边三角形，A1B1OA1，A1O2B1是等边三角形，A1O2A1B1，在RtA1O2A2中，O2A1A260°，A1O2，A2O2A1O2O1A1，同理A3O3A2O3()2A1O1，AnOn()n1A1O1. 又 SO1A1B12SO1A1OSA1B1O2××1×·()2 .易得AnOnBnA1O1B1120°，AnOnBnOn，A1O1B1AnOnBn，()2()2n2.SAnBnOn.