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1、机器人静力学与动力学现在学习的是第1页，共23页210.1 10.1 机器人静力学机器人静力学 一、杆件之间的静力传递一、杆件之间的静力传递 在操作机中，任取两连杆在操作机中，任取两连杆 ，。设在杆。设在杆 上的上的 点作用有力矩点作用有力矩 和力和力 ；在杆；在杆 上作用有自重力上作用有自重力 过质过质心心 ）；）；和和 分别为由分别为由 到到 和和 的向径。的向径。现在学习的是第2页，共23页3 按静力学方法，把这些力、力矩简化到按静力学方法，把这些力、力矩简化到 的固联坐标系的固联坐标系 ，可得：，可得：或或式中式中 (为杆为杆 的质量的质量)。求出求出 和和 在在 轴上的分量，就得到了
2、关节力和扭矩，它们轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡所应提供就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡所应提供的关节力或关节力矩，记作的关节力或关节力矩，记作 ，其大小为，其大小为现在学习的是第3页，共23页4 当忽略杆件自重时当忽略杆件自重时 ，上式可简记为，上式可简记为：若若以以 表表示示不不计计重重力力的的关关节节力力或或力力矩矩值值，对对于于转转动动关关节节则有则有：式中式中 是自是自 到杆到杆 的质心的质心 的向径。的向径。现在学习的是第4页，共23页5 例例1 求两杆操作机的静关节力矩求两杆操作机的静关节力矩(坐标系与结构尺
3、寸如图坐标系与结构尺寸如图)。解：设已知解：设已知现在学习的是第5页，共23页6现在学习的是第6页，共23页7现在学习的是第7页，共23页8二、操作机的静力平衡二、操作机的静力平衡 设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩 (广广义驱动力，指向义驱动力，指向 的正向的正向)，在末端执行器的参考点，在末端执行器的参考点 处处将产生力将产生力 和力矩和力矩 。由于。由于 、是操作机作用于外是操作机作用于外界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩 一起进行运算，一起进行运算，故应取负值。故应取负值。现在学习的是第8页，共
4、23页9利用虚功原理建立静力平衡方程，令利用虚功原理建立静力平衡方程，令于是，操作机的总虚功是：于是，操作机的总虚功是：根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功(虚功之和虚功之和)为为0，即：，即：为各关节驱动力；为各关节驱动力；为末端点广义力；为末端点广义力；为各关节位移；为各关节位移；为末端点位移；为末端点位移；现在学习的是第9页，共23页10式中式中 J 是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应 的偏速度。的偏速度。由机器人运动微分关系可知，由机器人运动微分关系可知，则有，则有 因为因为 是独立坐标，则是独立
5、坐标，则 ，所以有，所以有 上式是针对操作机的关节力和执行器参考点上式是针对操作机的关节力和执行器参考点 间所产生的力和力间所产生的力和力矩之间的关系式。矩之间的关系式。该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可比矩阵该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可比矩阵 J 进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固联直角坐标系中的进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固联直角坐标系中的广义力变换，这时应将关节空间与直角坐标空间的雅可比矩阵，换作广义力变换，这时应将关节空间与直角坐标空间的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵。直角坐标空间的雅可比矩阵。现在学习的是第10页
6、，共23页11 例例2 如图，操作机的手爪正在持板手扭某一螺栓，手爪上如图，操作机的手爪正在持板手扭某一螺栓，手爪上 方联接一测力方联接一测力传感器可测六维力向量传感器可测六维力向量(力和力矩力和力矩)。试确定测力传感器和扭动板手时。试确定测力传感器和扭动板手时力和力矩的关系。力和力矩的关系。现在学习的是第11页，共23页12解：解：设在测力传感器上置坐标系设在测力传感器上置坐标系 Sf()，在螺栓上置坐标系，在螺栓上置坐标系 S()。在图示瞬间，两坐标系彼此平行。因为刚体的无限小。在图示瞬间，两坐标系彼此平行。因为刚体的无限小位移位移(平移和转动平移和转动)可表示为六维向量，故对二者的微位移
7、可分别可表示为六维向量，故对二者的微位移可分别表示为：表示为：由于两坐标系的坐标轴平行，于是可以得到：由于两坐标系的坐标轴平行，于是可以得到：现在学习的是第12页，共23页13 前式也可以从前图直观求得。前式也可以从前图直观求得。设设 为相应于为相应于 的关节广义力向量，的关节广义力向量，为相应于为相应于 的的末端广义力向量，则可得末端广义力向量，则可得：上式也可直接用虚功原理求得。上式也可直接用虚功原理求得。现在学习的是第13页，共23页14二、机器人动力学研究的问题可分为两类：二、机器人动力学研究的问题可分为两类：1、给给定定机机器器人人的的驱驱动动力力（矩矩），用用动动力力学学方方程程求
8、求解解机机器器 人人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知（关节）的运动参数或动力学效应（即已知 ,求求 和和 ，称为动力学正问题）。，称为动力学正问题）。2、给给定定机机器器人人的的运运动动要要求求，求求应应加加于于机机器器人人上上的的驱驱动动力力（矩）（即已知（矩）（即已知 和和 ，求，求 ,称为动力学逆问题称为动力学逆问题）。）。一、研究目的：一、研究目的：1、合合理理地地确确定定各各驱驱动动单单元元（以以下下称称关关节节）的的电电机机功功率率。2、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）在在机机器器人人处处于于不不同同位位置置图图形形（位位形形）时时
9、，各各关关节节的的有有效效惯惯量量及及耦耦合合量量都都会会发发生生变变化化（时时变变的的），因因此此，加加于于各各关关节节的的驱驱动动力力也也应应是是时变的，可由动力学方程给以确定。时变的，可由动力学方程给以确定。10.2 机器人动力学概述机器人动力学概述现在学习的是第14页，共23页15三、动力学研究方法：三、动力学研究方法：1拉拉格格朗朗日日方方程程法法：通通过过动动、势势能能变变化化与与广广义义力力的的关关系系，建建立立机机器器人人的的动动力力学学方方程程。代代表表人人物物 R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等等。计算量计算量O(n4)，经优化，经优化O
10、(n3)，递推，递推O(n)。2牛牛顿顿欧欧拉拉方方程程法法：用用构构件件质质心心的的平平动动和和相相对对质质心心的的转转动动表表示示机机器器人人构构件件的的运运动动，利利用用动动静静法法建建立立基基于于牛牛顿顿欧欧拉拉方方程程的的动动力力学学方方程。代表人物程。代表人物Orin,Luh(陆养生陆养生)等。计算量等。计算量O(n)。3高高斯斯原原理理法法:利利用用力力学学中中的的高高斯斯最最小小约约束束原原理理,把把机机器器人人动动力力学学问问题题化化成成极极值值问问题题求求解解.代代表表人人物物波波波波夫夫(苏苏).用用以以解解决决第第二二类类问问题题。计算量计算量O(n3)。4凯凯恩恩方方
11、程程法法：引引入入偏偏速速度度概概念念，应应用用矢矢量量分分析析建建立立动动力力学学方方程程。该该方方法法在在求求构构件件的的速速度度、加加速速度度及及关关节节驱驱动动力力时时，只只进进行行一一次次由由基基础础到到末末杆杆的的推推导导，即即可可求求出出关关节节驱驱动动力力，其其间间不不必必求求关关节节的的约约束束力力，具有完整的结构，也具有完整的结构，也适用于闭链机器人适用于闭链机器人。计算量。计算量O(n!)。现在学习的是第15页，共23页16 系统的动能和势能可在任何形式的坐标系（极坐标系、圆柱坐标系系统的动能和势能可在任何形式的坐标系（极坐标系、圆柱坐标系等）中表示等）中表示，不是一定在
12、直角坐标系中，不是一定在直角坐标系中。动力学方程为：动力学方程为：广义力广义力 广义速度广义速度 广义坐标广义坐标 （力或力矩）（力或力矩）（或或 ）（或或 ）10.3 二杆机器人的拉格朗日方程二杆机器人的拉格朗日方程应用质点系的应用质点系的拉格朗日拉格朗日方程来处理杆系的问题。方程来处理杆系的问题。定义：定义：L=K-P LLagrange函数；函数；K系统动能之和；系统动能之和；P系统势能之和。系统势能之和。10.3.1 刚体系统拉格朗日方程刚体系统拉格朗日方程现在学习的是第16页，共23页17一、动能和势能一、动能和势能 设设二二杆杆机机器器人人臂臂杆杆长长度度分分别别为为 ，质质量量分
13、别集中在端点为分别集中在端点为 ，坐标系选取如图。，坐标系选取如图。以下分别计算方程中各项：以下分别计算方程中各项：对质点对质点 ：势能：势能：动能：动能：（负号与坐标系建立有关）（负号与坐标系建立有关）对质点对质点 ：先写出直角坐标表达式：先写出直角坐标表达式：10.3.2 机器人拉格朗日方程机器人拉格朗日方程现在学习的是第17页，共23页18对对 求导得速度分量：求导得速度分量：动能：动能：势能：势能：二、二、LagrangeLagrange函数函数 现在学习的是第18页，共23页19三、动力学方程三、动力学方程 先求第一个关节上的力矩先求第一个关节上的力矩（1）现在学习的是第19页，共2
14、3页20同理，对同理，对 和和 微分，可求得第二关节力矩微分，可求得第二关节力矩 以上是两杆机器人动力学模型。以上是两杆机器人动力学模型。（2）现在学习的是第20页，共23页21系数系数 D 的物理意义：的物理意义：关节关节 的有效惯量（等效转动惯量的概念）。由关节的有效惯量（等效转动惯量的概念）。由关节 处的加速度处的加速度 引起的关节引起的关节 处的力矩为处的力矩为 （）关节关节 和和 之间的耦合惯量之间的耦合惯量。由关节由关节 或或 的加速度的加速度 （或或 ）所引起的关节）所引起的关节 和和 处的力矩为处的力矩为 或或 向心力项系数。表示关节向心力项系数。表示关节 处的速度作用在关节处
15、的速度作用在关节 处的处的 向心力（向心力（）向心力项系数。表示关节向心力项系数。表示关节 处的速度作用在本身关节处处的速度作用在本身关节处 的向心力（的向心力（）四、动力学方程中各系数的物理意义四、动力学方程中各系数的物理意义 将前面结果重新写成简单的形式将前面结果重新写成简单的形式：现在学习的是第21页，共23页22哥氏力项系数。哥氏力项系数。两项组合为关节两项组合为关节 与与 处的速度作用在关节处的速度作用在关节 处的哥氏力，哥氏力是由于处的哥氏力，哥氏力是由于 牵连运动是转动造成的。牵连运动是转动造成的。关节关节 处的重力项处的重力项。重力项只与重力项只与 大小、长度大小、长度 以以
16、及机构的结构图形（及机构的结构图形（）有关。）有关。比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到有效惯量系数：有效惯量系数：耦合惯量系数：耦合惯量系数：现在学习的是第22页，共23页23向心力项系数：向心力项系数：哥氏力项系数：哥氏力项系数：重力项：重力项：动力学方程中的惯量项和重力项在机器人控制重特别重要，将直接影动力学方程中的惯量项和重力项在机器人控制重特别重要，将直接影响系统的稳定性和定位精度。只有当机器人高速运动时，向心力项和哥响系统的稳定性和定位精度。只有当机器人高速运动时，向心力项和哥氏力项才是重要的。传动装置的惯量值往往较大，对系统动态特性的影氏力项才是重要的。传动装置的惯量值往往较大，对系统动态特性的影响也不可忽略。响也不可忽略。现在学习的是第23页，共23页