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1、第四章第四章 机器人静力学及动力学机器人静力学及动力学4.14.1微分变换与雅可比矩阵微分变换与雅可比矩阵微分变换与雅可比矩阵微分变换与雅可比矩阵4.1.1 微分变换微分变换 为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变化。杆件在作微小运动时的位姿变化。一一.变换的微分变换的微分假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是该变换矩阵各元素对
2、该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变量的微分。量的微分。若它的元素是变量若它的元素是变量x的函数，则的函数，则T的微分为的微分为:例如给定变换例如给定变换T为：为：二二.微分运动微分运动所以得所以得设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动经过微运动后该杆件相对基坐标系的位姿变为后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是若这个微运动是相对相对于基坐标系（静系）进行的于基坐标系（静系）进行的(右乘右乘)，总可以用微小的平移和旋转总可以用微小的平移和旋转来表示，即来表示，即根据齐次
3、变换的相对性，若微运动是根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系相对某个杆件坐标系i（动系）动系）进行的进行的(左乘左乘)，则则T+dT可以表示为可以表示为则相对基系有则相对基系有dT=0T，相对相对i系有系有dT=Ti。这里这里的下标不同是由的下标不同是由于微运动相对不同坐标系进行的。于微运动相对不同坐标系进行的。所以得所以得令令三三.微分平移和微分旋转微分平移和微分旋转由于微分旋转由于微分旋转0，所以所以sind，cos1，Vers0，将将它们代入旋转变换通式中得微分旋转表达式它们代入旋转变换通式中得微分旋转表达式:微分平移变换与一般平移微分平移变换与一般平移变换一样，其变换矩阵
4、为变换一样，其变换矩阵为:于是得于是得四四.微分旋转的无序性微分旋转的无序性当当0时，有时，有sind，cos1若令若令x=dx，y=dy，z=dz，则绕三个坐标轴的微分旋转矩阵分别为则绕三个坐标轴的微分旋转矩阵分别为略去高略去高阶无穷阶无穷小量小量两者结果相同，可见这里两者结果相同，可见这里左乘与右乘等效左乘与右乘等效左乘与右乘等效左乘与右乘等效。同理可得同理可得结论：结论：结论：结论：微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋
5、转）的一个重要区别。转）的一个重要区别。转）的一个重要区别。转）的一个重要区别。若若Rot（x，y，z）和和Rot（x，y，z）表示两表示两个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：上式表明：上式表明：上式表明：上式表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代数和，即微分旋转是可加的。数和，即微分旋转是可加的。kxd=x，kyd=y，kzd=z所以有所以有由等效转轴和等效转角与由等效转轴和等效转角与等效，有等效，有即即将它们代入将它们代入得得因此因此可以看成由可以看成由和和两个矢量组成，两个矢量组成
6、，叫微分转动矢量，叫微分转动矢量，叫叫微分平移矢量。分别表示为微分平移矢量。分别表示为和和合称为微分运动矢量，可表示为合称为微分运动矢量，可表示为解：解：例：已知一个坐标系例：已知一个坐标系A，相对固定系的微分平相对固定系的微分平移矢量移矢量，微分旋转矢量，微分旋转矢量，求微分，求微分变换变换dA。五五五五.两坐标系之间的微分关系两坐标系之间的微分关系两坐标系之间的微分关系两坐标系之间的微分关系因为因为将它们代入前面的方程将它们代入前面的方程现在讨论现在讨论i系和系和j系之间的微分关系。不失一般性，假定系之间的微分关系。不失一般性，假定j系就系就是固定系（基系）是固定系（基系）0系。系。得得其
7、中其中上式简写成上式简写成对于任何三维矢量对于任何三维矢量，其反对称矩阵，其反对称矩阵定义为：定义为：相应地，任意两坐标系相应地，任意两坐标系A和和B之间广义速度的坐标变换为：之间广义速度的坐标变换为：例：例：知坐标系知坐标系A及相对于固定系的微分平移矢及相对于固定系的微分平移矢量量，微分旋转矢量，微分旋转矢量，求，求A系中系中等价的微分平移矢量等价的微分平移矢量dA和微分旋转矢量和微分旋转矢量A。解：解：因为已知因为已知，可以根据前面的公式求得，可以根据前面的公式求得dA和和A。也可根也可根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即求得求得，代入
8、代入代入代入为了验证这一结果，先求为了验证这一结果，先求A再得再得dA验证的结果是与上例验证的结果是与上例dA=A的计算结果完全一样。的计算结果完全一样。4.1.2雅可比矩阵雅可比矩阵两空间之间速度的两空间之间速度的线性映射关系线性映射关系雅可比矩阵（简称雅可比）雅可比矩阵（简称雅可比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比传动比，同时，同时也可用来表示两空间之间也可用来表示两空间之间力的传递关系。力的传递关系。vxvy存在存在怎样怎样的关的关系系首先来看一个两自由度的首先来看一个两自由度的平面机械手，如图平面机械手，如图3-17所示。所
9、示。图图3-17两自由度平面机械手两自由度平面机械手容易求得容易求得将其微分得将其微分得写成矩阵形式写成矩阵形式假设关节速度为假设关节速度为，手爪速度为，手爪速度为。简写成简写成：dx=Jd。式中式中J就称为机械手的雅可比（就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵矩阵，它由函数，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位移的偏微分组成，反映了关节微小位移d与手部（手爪）微小运动与手部（手爪）微小运动dx之间的关系。之间的关系。对对dx=Jd两边同除以两边同除以dt，得得可以更一般的写成可以更一般的写成。因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操
10、作空间速度与关节空间速度的线性变换。间速度的线性变换。（或（或v）称为手爪在操作空间中的广义速度，称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度，简称操作速度，为关节速度。为关节速度。J若是若是6n的偏导数矩阵，它的第的偏导数矩阵，它的第i行第行第j列的元素为列的元素为：式中，式中，x代表操作空间，代表操作空间，q代表关节空间。代表关节空间。若令若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即矢量，即可以看出，可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的端点速度。
11、单位速度运动产生的端点速度。由由，可以看出，可以看出，J阵的值随手爪位置的不同阵的值随手爪位置的不同而不同，即而不同，即1和和2的改变会导致的改变会导致J的变化。的变化。对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。奇异形位。上例机械手雅可比上例机械手雅可比矩阵的行列式为：矩阵的行列式为：det(J)=l1l2s2当当2=0或或2=180时，机械手时，机械手的雅可比行列式为的雅可比行列式为0，矩阵的秩为，矩阵的秩为1，因此处于奇异状态。在奇异形位，因此处于奇异状态。在
12、奇异形位时，时，机械手在操作空间的自由度将机械手在操作空间的自由度将减少。减少。只要知道机械手的雅可比只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即是满秩的方阵，相应的关节速度即可求出，即可求出，即。上例平面上例平面2R机械手的逆雅可比机械手的逆雅可比于是得到与末端速度于是得到与末端速度相应的关节速度：相应的关节速度：显然，当显然，当2趋于趋于0（或（或180）时，机械手接近奇异形位，相应的关）时，机械手接近奇异形位，相应的关节速度将趋于无穷大。节速度将趋于无穷大。4.2机器人的静力学机器人的静力学机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方
13、要产生力和和力矩力矩，统称为末端广义（操作）力矢量。记为，统称为末端广义（操作）力矢量。记为n个关节的驱动力（或力矩）组成的个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量维矢量称为关节力矢量称为关节力矢量y0 x0存在怎样的关系存在怎样的关系利用虚功原理，令各关节的虚位移为利用虚功原理，令各关节的虚位移为qi，末端执行器相应末端执行器相应的虚位移为的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端执行器所作的虚功应该相等，即执行器所作的虚功应该相等，即简写为简写为:又因为又因为,所以得到所以得到与与之间的关系之间的关系式中式中称为称为机械手的力雅可比。它
14、表示在静态平衡状态下，操机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。作力向关节力映射的线性关系。若若J是是关节空间关节空间向向操作空间操作空间的映射（微分运动矢量），则的映射（微分运动矢量），则把把操作空间的广义力矢量操作空间的广义力矢量映射到映射到关节空间的关节力矢量关节空间的关节力矢量。关节空间关节空间操作空间操作空间雅可比雅可比J力雅可比力雅可比JT若已知若已知则有则有T00TBAABJTJ根据前面导出的两坐标系根据前面导出的两坐标系A和和B之间广义速度的坐标变换之间广义速度的坐标变换关系，可以导出关系，可以导出A和和B之间广义操作力的坐标变换关系。之间广义操
15、作力的坐标变换关系。解：解：由前面的推导知由前面的推导知例例:如图如图3-18所示的平面所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪机械手，手爪端点与外界接触，手爪作用于外界环境的力为作用于外界环境的力为，若关节无摩擦力存在，若关节无摩擦力存在，求力求力的等效关节力矩的等效关节力矩。所以得：所以得：图图3-18关节力和操作力关系关节力和操作力关系y0 x0例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（Os）装有力装有力/力力矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩，求这时，求这时作用在螺钉上的力和力矩作用在螺钉上的力和力矩
16、。()解：根据图示的相应位姿关系得解：根据图示的相应位姿关系得因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为：因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为：STST微分运动关系时：微分运动关系时：静力传递关系时：静力传递关系时：4.3机器人的动力学机器人的动力学4.3.14.3.1转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量 平移作为回转运动来分析平移作为回转运动来分析根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律和和若把这一运动看成是杆长为若把这一运动看成是杆长为r，集中质量在末端为集中质量在末端为m的杆件绕的杆件绕z轴的轴的回转运动，则得到加速度和力的关系式为回转运动，则得到加速度和力的关系式为式中，式中，和和N
17、是绕是绕z轴回转的角加速度和转矩。轴回转的角加速度和转矩。上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运相当于平移运动时的质量，称为动时的质量，称为转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量。将它们代入前面的方程，得：将它们代入前面的方程，得：令令，则有：，则有：例：例：求图所示的质量为求图所示的质量为M，长度为长度为L的匀质杆绕其一端回转时的转的匀质杆绕其一端回转时的转动惯量动惯量I。解：匀质杆的微段解：匀质杆的微段dx的质量用线密度的质量用线密度（=M/L）表示为表示为dm=dx。该微段产生的转动惯量为该微段产生的转动惯量为。因此，把因此，把dI在长度方向
18、上积分，可得该杆的转动惯量在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为：为：例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定x为离杆中心的为离杆中心的距离，则得到距离，则得到即平行轴定理：即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方的乘积。的乘积。设刚体对过质心设刚体对过质心C的的Zc轴的转动惯量为轴的转动惯量为I
19、ZC，对与对与Zc轴平行的轴平行的Z轴的转动惯量为轴的转动惯量为IZ，该两轴间的距离为该两轴间的距离为d，刚体的质量为刚体的质量为M，则则4.3.2Newton-Euler递推动力学方程递推动力学方程如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度、总质量、总质量m与产生这一加速度的作用力与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律之间的关系满足牛顿第二运动定律:当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度，角加速度角加速度，惯性，惯性张量张量与作用力矩与作用力矩n之间满足欧拉方程：之间满足欧拉方程：惯性张量惯性张量令令c
20、是以刚体的质心是以刚体的质心c为原点规定的为原点规定的一个坐标系，相对于该坐标系一个坐标系，相对于该坐标系c，惯性张，惯性张量量定义为定义为的对称矩阵：的对称矩阵：式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即的质量惯性矩，即Ixx，Iyy，Izz，其余元素为惯性积。，其余元素为惯性积。惯性张量表示刚体质量分布的特征。惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标其值与选取的参考坐标系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为主惯性矩。主惯性矩。例：例：例：例：如图所示的如图所
21、示的1自由度机械手。自由度机械手。假定绕关节轴假定绕关节轴z的转动惯量为的转动惯量为IZ，z轴为垂直纸面的方向。轴为垂直纸面的方向。解：解：解：解：式中，式中，g是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取z轴分量轴分量得到：得到：zmg4.3.34.3.3LagrangeLagrange动力学动力学动力学动力学对于任何机械系统，拉格朗日函数对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能定义为系统总的动能K与总的势能与总的势能P之差，即之差，即L=K-P。这里，这里，L是拉格朗日算子；是拉格朗日算子；k是动是动能；能；P是势能。是势能。或或 利用利用
22、Lagrange函数函数L，系统的动力学方程（称为第二类系统的动力学方程（称为第二类Lagrange方程）为：方程）为：表示动能，表示势能。表示动能，表示势能。例：平面例：平面RP机械手如图所示，连杆机械手如图所示，连杆1和连杆和连杆2的质量分别为的质量分别为m1和和m2，质心的位置由质心的位置由l1和和d2所规定，惯性张量为（所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）：轴垂直纸面）：解：解：连杆连杆1，2的动能分别为：的动能分别为：机械手总的动能为机械手总的动能为连杆连杆1，2的势能分别为的势能分别为机械手总的位能（势能）为机械手总的位能（势能）为计算各偏导数计算各偏导数将以上结果代入将以上结果代入
23、Lagrange方程方程得得附：就前面的附：就前面的1自由度机械手用自由度机械手用Lagrange法求解如下：法求解如下：总势能为总势能为代入代入Lagrange方程方程得得，与前面的结，与前面的结果一致。这里果一致。这里I=IZ=IC+mL2C解：解：总动能总动能（为广义坐标）为广义坐标）zmg.若若1自由度机械手为匀质连自由度机械手为匀质连杆，质量为杆，质量为m，长度为，长度为L，结，结果会怎样？果会怎样？.若若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量，集中质量m在连在连杆末端杆末端L处，结果会怎样？处，结果会怎样？zClass is Class is over.over.Bye-bye!Bye-bye!