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1、第九章代数系统第九章代数系统第1页，本讲稿共47页本章说明本章说明本章说明本章说明q本章的主要内容一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质代数系统定义及其实例子代数 q与后面各章的关系是后面典型代数系统的基础第2页，本讲稿共47页9.1 9.1 二元运算及其性质二元运算及其性质9.2 9.2 代数系统代数系统 本章小结本章小结 作作 业业本章内容本章内容本章内容本章内容第3页，本讲稿共47页群论的创始者Galois埃瓦里斯特伽罗华（1811-1832 法）l l群论是现代数学非常重要的分支群论是现代数学非常重要的分支,群论产生的开端非群论产生的开端非常平凡常平凡,但是群论的创立者却充满了传奇但
2、是群论的创立者却充满了传奇.我们熟知我们熟知的公式的公式 是二次方程是二次方程 求根公式求根公式.群指的是满足以下四个条件的一组元素的集合：群指的是满足以下四个条件的一组元素的集合：（1 1）封闭性）封闭性 （2 2）结合律成立）结合律成立 （3 3）单位元存在）单位元存在 （4 4）逆元存在。）逆元存在。第4页，本讲稿共47页l l人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式.l l公元前公元前16001600年的巴比伦数学家已知道如何解二次方程年的巴比伦数学家已知道如何解二次方程,尽尽管他们没有使用我们现在的代数符号去表达方程及其解管他们没有使用我们
3、现在的代数符号去表达方程及其解.l l形如形如 ax3+bx2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求根公式直至的三次方程的求根公式直至1616世纪才被发现世纪才被发现.l l它是由意大利数学家费罗它是由意大利数学家费罗(Ferro)(Ferro)和丰塔那和丰塔那(Fontana)(Fontana)彼彼此独立得到的此独立得到的.第5页，本讲稿共47页l l 15451545年年,卡尔达塔卡尔达塔(Cardano)(Cardano)在他的在他的大术大术(Ars Magna)(Ars Magna)一书中公开发表了丰塔那的方法一书中公开发表了丰塔那的方法.这部书还讲述了费拉里这部书
4、还讲述了费拉里(Ferrari)(Ferrari)求解四次方程的方法求解四次方程的方法.l l但事情的发展似乎突然停了下来但事情的发展似乎突然停了下来.l l虽然有很多数学家作出了努力虽然有很多数学家作出了努力,其中包括其中包括1818世纪中叶世纪中叶伟大的瑞士数学家欧拉伟大的瑞士数学家欧拉(Euler),(Euler),但没有一个人能找出五但没有一个人能找出五次方程的求根公式次方程的求根公式.第6页，本讲稿共47页l l拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)在在17701770年猜测年猜测:这样的求根公式不存在这样的求根公式不存在.l l18241824年年,挪威数学家阿贝
5、尔挪威数学家阿贝尔(Abel)(Abel)证明了拉格朗日的看证明了拉格朗日的看法法.l l 但是虽然没有通用公式但是虽然没有通用公式,有些特殊的五有些特殊的五 次方程有求根公式次方程有求根公式,那么自然会问那么自然会问:如何判定一个给定如何判定一个给定的五次方程是否有这样的求根公式的五次方程是否有这样的求根公式?l l阿贝尔去世阿贝尔去世(1829(1829年年,26,26岁岁)前一直在竭尽全力地研究前一直在竭尽全力地研究这个问题这个问题.第7页，本讲稿共47页l l在这一时期在这一时期,碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个问题个问题,而且最终取得了成功而且最
6、终取得了成功,他就是伽罗华他就是伽罗华(Galois).(Galois).l l可是这位年轻人获得的非凡成果可是这位年轻人获得的非凡成果,在他因决斗去世在他因决斗去世1111年后才开始得到数学界的承认年后才开始得到数学界的承认.l l伽罗华伽罗华18111811年年1010月降生于巴黎近郊月降生于巴黎近郊.l l1414岁那年因考试不及格而重上三年级岁那年因考试不及格而重上三年级.第8页，本讲稿共47页l l1515岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时,伽伽罗华失败了罗华失败了,不得不进入较普通的师范学校不得不进入较普通的师范学校.l l就是
7、在这所学校就是在这所学校,伽罗华写出了他的第一篇关于连分数的伽罗华写出了他的第一篇关于连分数的数学论文数学论文,显示了他的能力显示了他的能力.l l他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院的他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院的拒绝拒绝.更遭的是更遭的是,两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了.第9页，本讲稿共47页l l18291829年年7 7月月,他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次失他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次失败败.l l怀着沮丧之情怀着沮丧之情,伽罗华于伽罗华于18301830年初又向科学院提交了年初又向科学院提交了另一篇论文另一篇论文
8、,这次是为竞争一项数学大奖这次是为竞争一项数学大奖.l l 科学院秘书傅立叶科学院秘书傅立叶(Fourier)(Fourier)将其手稿将其手稿 拿回家去审读拿回家去审读,不料在写出评审报告前去世了不料在写出评审报告前去世了,此文再也没此文再也没有找到有找到.第10页，本讲稿共47页l l三失手稿三失手稿,加之考巴黎高等工科大学两度失败加之考巴黎高等工科大学两度失败,伽罗华遂伽罗华遂对科学界产生排斥情绪对科学界产生排斥情绪,变成了学生激进分子变成了学生激进分子,被学校开被学校开除除.l l 担任私人辅导教师谋生担任私人辅导教师谋生,但他的数学研但他的数学研 究工作依然相当活跃究工作依然相当活跃
9、.在这一时期写出了最著名的论在这一时期写出了最著名的论文文“关于方程可根式求解的条件关于方程可根式求解的条件”,”,并于并于18311831年年1 1月送交科月送交科学院学院.l l到到3 3月月,科学院方面仍杳无音讯科学院方面仍杳无音讯,于是他写信给院长打听于是他写信给院长打听他的文章的下落他的文章的下落,结果又如石沉大海结果又如石沉大海.第11页，本讲稿共47页l l他放弃了一切希望他放弃了一切希望,参加了国民卫队参加了国民卫队.在那里和他在在那里和他在数学界一样运气不佳数学界一样运气不佳.他刚加入不久他刚加入不久,卫队即遭控告卫队即遭控告阴谋造反而被解散阴谋造反而被解散.l l在在183
10、11831年年5 5月月1010日进行的一次抗议聚宴上日进行的一次抗议聚宴上,伽罗华手中举伽罗华手中举着出鞘的刀提议为国王干杯着出鞘的刀提议为国王干杯,这一手势被同伙们解释成这一手势被同伙们解释成是要国王的命；第是要国王的命；第2 2天他就被捕了天他就被捕了.后来被判无罪后来被判无罪,并于并于6 6月月1515日获释日获释.第12页，本讲稿共47页l l7 7月月4 4日日,他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运:因因“无法理解无法理解”而遭拒绝而遭拒绝.l l 审稿人是著名的数学家泊松审稿人是著名的数学家泊松(Poisson).(Poisson).l l
11、7 7月月1414日他又遭逮捕并被判了六个月监禁日他又遭逮捕并被判了六个月监禁,因为他在因为他在公共场所身着已被解散的国民卫队的制服公共场所身着已被解散的国民卫队的制服.l l在获释不久在获释不久,他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情.这导这导致了他的早亡致了他的早亡.这次恋爱事件不知何故引出了一场这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗决斗.第13页，本讲稿共47页l l18321832年年5 5月月2929日日,决斗的前夜决斗的前夜,伽罗华写了封很长的信伽罗华写了封很长的信给他的朋友舍瓦利耶给他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier),(A.Chevalier),其中大致描述
12、了他其中大致描述了他的数学理论的数学理论,从而给数学界留下了唯一一份它将蒙受从而给数学界留下了唯一一份它将蒙受何等损失的提要何等损失的提要.l l在第二天的决斗中在第二天的决斗中(离离2525步远用手枪射击步远用手枪射击),),伽罗华的胃部伽罗华的胃部中弹中弹,24,24小时后去世小时后去世.享年不足享年不足2121岁岁.l l伽罗华留给世界的最核心的概念是伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换置换)群群,他成了他成了群论群论的创始人的创始人.第14页，本讲稿共47页9.1 9.1 二元运算及其性质二元运算及其性质二元运算及其性质二元运算及其性质定义定义9.1 9.1 设设S S为集合，函数为集
13、合，函数 f：SSS 称为称为S上的二元运算上的二元运算，简称为简称为二元运算二元运算。举例举例 f:NNN:NNN，f(f()x+y是自然数集合是自然数集合N N上的二元运算上的二元运算f:NNN:NNN，f(f()x-y不是自然数集合不是自然数集合N N上的二元运算上的二元运算称称N N对减法对减法不封闭不封闭。说明验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：qS中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的。qS中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的。第15页，本讲稿共47页（1 1）自然数集合）自然数集合N上的加法和乘法是上的加法和乘法是N上的二元运算，但
14、减上的二元运算，但减 法和除法不是。法和除法不是。（2 2）整数集合）整数集合Z Z上的加法、减法和乘法都是上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算上的二元运算 ，而除法不是。，而除法不是。（3 3）非零实数集）非零实数集R*上的乘法和除法都是上的乘法和除法都是R*上的二元运算，加上的二元运算，加 法、减法不是法、减法不是。例例例例9.19.19.19.1第16页，本讲稿共47页一元运算一元运算定义定义9.29.2 设设S为集合，函数为集合，函数f：SS称为称为S上的一元运算上的一元运算，简称为，简称为一元运算一元运算。例例9.3（1）求一个数的相反数求一个数的相反数是整数集合是整数集合Z、有理
15、数集合有理数集合Q和实数集和实数集 合合R上的一元运算。上的一元运算。（2）求一个数的倒数求一个数的倒数是非零有理数集合是非零有理数集合Q*、非零实数集合非零实数集合R*上的一元运算。上的一元运算。（3）求一个复数的共轭复数求一个复数的共轭复数是复数集合是复数集合C上的一元运算。上的一元运算。第17页，本讲稿共47页q可以用可以用、等符号表示二元或一元运算，称为等符号表示二元或一元运算，称为算符算符。设设f:SSS是是S上的二元运算上的二元运算，对任意的对任意的x,yS，如果，如果x与与y的运算结果为的运算结果为z，即即f()z，可以利用算符可以利用算符 简记简记为为x y=z。对一元运算对一
16、元运算 ，x的运算结果记作的运算结果记作 x。例题例题 设设R为实数集合，如下定义为实数集合，如下定义R上的二元运算上的二元运算 ：x,yR，x y=x。那么那么 3 4=3，0.5 (3)=0.5。二元与一元运算的算符二元与一元运算的算符二元与一元运算的算符二元与一元运算的算符第18页，本讲稿共47页q函数的解析公式函数的解析公式q运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）二元运算的运算表anan ana2 ana1 ana2an a2a2 a2a1 a2a1an a1a2 a1a1 a1an a2a1 一元运算的运算表an ana2 a2a1 a1ai a
17、i二元与一元运算的表示二元与一元运算的表示二元与一元运算的表示二元与一元运算的表示第19页，本讲稿共47页例例9.49.4 设设S=1,2，给出给出P(S)上的运算上的运算 和和的运算表的运算表，其中全集，其中全集为为S。的运算表121,21,211,22221,2111,221 1,221的运算表1,212211,2 ai ai解答例例例例9.49.49.49.4第20页，本讲稿共47页例例9.59.5 设设S=1,2,3,4，定义定义S上的二元运算上的二元运算 如下：如下：x y(xy)mod 5，x,ySS 求运算求运算 的运算表。的运算表。解答例例例例9.59.59.59.512341
18、1234224133314244321第21页，本讲稿共47页定定义义9.39.3 设设 为为S上上的的二二元元运运算算，如如果果对对于于任任意意的的x,yS都都有有x y=y x，则称运算则称运算 在在S上满足上满足交换律交换律。定定义义9.49.4 设设 为为S上上的的二二元元运运算算，如如果果对对于于任任意意的的x,y,zS都都有有(x y)z=x(y z)，则称运算则称运算 在在S上满足上满足结合律结合律。说明说明：若若+适合结合律，则有适合结合律，则有(x+y)+(u+v)x+y+u+v。定定义义9.59.5 设设 为为S上上的的二二元元运运算算，如如果果对对于于任任意意的的xS有有
19、x x=x，则则称称运运算算 在在S上上满满足足幂幂等等律律。如如果果S中中的的某某些些x满满足足x x=x，则称则称x为运算为运算 的的幂等元幂等元。举举例例：普普通通的的加加法法和和乘乘法法不不适适合合幂幂等等律律。但但0是是加加法法的的幂幂等等元，元，0和和1是乘法的幂等元。是乘法的幂等元。二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质第22页，本讲稿共47页定义定义9.69.6 设设 和和*为为S上两个二元运算，如果对于任意的上两个二元运算，如果对于任意的x,y,zS，有有 x*(y z)(x*y)(x*z)（左分配律左分配律）(y z)*x (y*x)(z*x)（右分配律右
20、分配律）则称运算则称运算 对运算对运算 满足满足分配律分配律。说明：说明：若若*对对 运算分配律成立，则运算分配律成立，则*对对 运算广义分配律也成立。运算广义分配律也成立。x*(y1 y2 yn)(x*y1)(x*y2)(x*yn)(y1 y2 yn)*x (y1*x)(y2*x)(yn*x)定义定义9.79.7 设设 和和*为为S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,yS，都有，都有x*(x y)x x(x*y)x 则称运算则称运算 和和 满足满足吸收律吸收律。二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质第23页，本讲稿共47页定义定义
21、9.89.8 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，q如果存在元素如果存在元素el（或或er）S，使得对任意使得对任意xS都有都有el x=x (或或x er=x)则则称称el(或或er)是是S中中关关于于 运运算算的的一一个个左左单单位位元元(或或右右单单位位元元)。q若若eS关关于于 运运算算既既是是左左单单位位元元又又是是右右单单位位元元，则则称称e为为S上上关于关于 运算的运算的单位元单位元。单位元也叫做。单位元也叫做幺元幺元。q运算可以没有左单位元和右单位元。q运算可以只有左单位元。q运算可以只有右单位元。q运算可以既有左单位元，又有右单位元。说明二元运算中的特异元素二元运算中的特
22、异元素二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素单位元单位元单位元单位元第24页，本讲稿共47页二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素零元零元定义定义9.99.9 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，q如果存在元素如果存在元素l（或或r）S，使得对任意使得对任意xS都有都有 l x=l (或或x r=r)，则称则称l(或或r)是是S上关于上关于 运算的运算的左零元左零元(或或右零元右零元)。q若若S关于关于 运算既是左零元又是右零元，则称运算既是左零元又是右零元，则称为为S上关上关于运算于运算 的的零元零元。q运算可以没有左零元和右零元。q运算可以只有左零元。q运算可以只有右零元。q运算可
23、以既有左零元，又有右零元。说明第25页，本讲稿共47页二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素逆元逆元定义定义9.109.10 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，e S为为 运算的单位元，对运算的单位元，对于于xS，q如果存在如果存在yl（或或yr）S使得使得yl xe（或（或x yre）则称则称yl（或或yr）是是x的的左逆元左逆元（或（或右逆元右逆元）。q若若yS既是既是x的左逆元又是的左逆元又是x的右逆元，则称的右逆元，则称y为为x的的逆元逆元。q如果如果x的逆元存在，则称的逆元存在，则称x是是可逆的可逆的。q运算可以没有左逆元和右逆元。q运算可以只有左逆元。q运算可以只有右逆元。
24、q运算可以既有左逆元，又有右逆元。说明第26页，本讲稿共47页特异元素的实例特异元素的实例集合运算单位元零元逆元Z,Q,R普通加法普通乘法01无0 x的逆元xx的逆元x1Mn(R)矩阵加法矩阵乘法n阶全0矩阵n阶单位矩阵无n阶全0矩阵x逆元xx的逆元x1（x可逆）P(B)并并交交BB的逆元为B的逆元为B第27页，本讲稿共47页定理定理9.19.1定理定理9.9.1 1 设设 为为S上上的二元运算，的二元运算，el、er分别为分别为 运算的左单位运算的左单位元和右单位元，则有元和右单位元，则有 el=er=e 且且e 为为S上关于上关于 运算的唯一的单位元。运算的唯一的单位元。el eler(e
25、r为右单位元)eler er (el为左单位元)所以el=er，将这个单位元记作e。假设e也是S中的单位元，则有 e=ee=e所以，e 是S中关于运算的唯一的单位元。证明第28页，本讲稿共47页定理定理9.29.2定理定理9.29.2 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，l和和 r分别为分别为 运算的左零元运算的左零元和右零元，则有和右零元，则有 l=r=且且 为为S上关于上关于 运算的唯一的零元。运算的唯一的零元。l lr (r为左零元)lr r (l为右零元)所以l=r，将这个零元记作。假设 也是S中的零元，则有 =所以，是S中关于运算的唯一的零元。证明第29页，本讲稿共47页定理定理
26、9.39.3定理定理9.9.3 3 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，e 和和 分别为分别为 运算的单位元运算的单位元和零元，如果和零元，如果S至少有两个元素，则至少有两个元素，则e 。用反证法。用反证法。假设假设 e=，则则 xS有有x x e x 这与这与S中至少含有两个元素矛盾。中至少含有两个元素矛盾。所以，假设不所以，假设不 成立，即成立，即e 。证明第30页，本讲稿共47页定理定理9.49.4定理定理9.9.4 4 设设 为为S上可结合的二元运算，上可结合的二元运算，e为该运算的单位元，为该运算的单位元，对于对于xS，如果存在左逆元如果存在左逆元yl和右逆元和右逆元yr，则有则
27、有yl=yr=y 且且y是是x的唯一的逆元。的唯一的逆元。由 ylx=e 和 xyr=e，得证明yl=yle令yl=yr=y，则y是x的逆元。=yl(xyr)=(ylx)yr=eyr=yr假若yS也是x的逆元，则y=ye=y(xy)=(yx)y=ey=y所以y是x唯一的逆元，记作x1。第31页，本讲稿共47页消去律消去律定义定义9.119.11 设设 为为S上的二元运算，如果对于任意的上的二元运算，如果对于任意的x,y,zS，满满足以下条件：足以下条件：（1）若）若x y x z且且x ，则则y z（左消去律左消去律）（2）若）若y x z x且且x ，则则yz（右消去律右消去律）则称则称 运
28、算满足运算满足消去律消去律。例如：例如：整数集合上的加法和乘法都满足消去律。整数集合上的加法和乘法都满足消去律。幂集幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。上的并和交运算一般不满足消去律。第32页，本讲稿共47页例例9.69.6例例9.69.6 对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。的性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。（1）Z+，x,yZ+，x*ylcm(x,y)，即求即求x和和y的最小公倍数。的最小公倍数。解答（1）*运算可交换、可结合、是幂等的。xZ+，x*
29、1=x，1*x=x，1为单位元。不存在零元。只有1有逆元，是它自己，其他正整数无逆元。第33页，本讲稿共47页思考：在运算表中，满足交换律、幂等律，具有零元、么元的表各具有什么特点。q交换律的表沿主对角线对称。q幂等律的表主对角线与每一行和每一列元素相同。q有零元的表，当且仅当该元素所对应的行和列依次与该元素相同。q有么元的表，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相同。qA与b互逆，当且仅当以这两个元素为行和列的焦点出为么元。思考，虽然没有么元、零元或者逆元，但是否有左、右么元（零元、逆元）的存在？第34页，本讲稿共47页例例9.79.7例例9.79.7 设设A=a,b,c，A上的
30、二元运算上的二元运算、如表所示。如表所示。(1)说明说明、运算是否满足交换律、运算是否满足交换律、结合律、消去律结合律、消去律和幂等律。和幂等律。(2)求出关于求出关于、运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。abcaabcbbcaccab运算满足交换律、结合律和消去律，不满足幂等律。单位元是a，没有零元，且a-1=a，b-1=c，c-1=b。运算满足交换律、结合律和幂等律，不满足消去律。单位元是a，零元是b，只有a有逆元，a-1=a。运算满足结合律和幂等律，不满足交换律和消去律。没有单位元，没有零元，没有可逆元。解答abcaabcbbbbccbcabc
31、aabcbabccabc复习分析第35页，本讲稿共47页9.2 9.2 代数系统代数系统 定义定义9.12 9.12 非空集合非空集合S和和S上上k个一元或二元运算个一元或二元运算f1,f2,fk组成的系统组成的系统称为一个称为一个代数系统代数系统，简称，简称代数代数，记做，记做。实例：实例：q、都是代数系统，其中都是代数系统，其中+和和 分别表分别表示普通加法和乘法。示普通加法和乘法。q是代数系统，其中和是代数系统，其中和 分别表示分别表示n阶阶(n2)实矩阵的实矩阵的加法和乘法。加法和乘法。q是代数系统，其中是代数系统，其中和和为并和交，为并和交，为绝对补。为绝对补。第36页，本讲稿共47
32、页q集合集合（规定了参与运算的元素）（规定了参与运算的元素）q运算运算（只讨论有限个二元和一元运算）（只讨论有限个二元和一元运算）q代数常数代数常数在定义代数系统的时候，如果把零元和单位元也作为在定义代数系统的时候，如果把零元和单位元也作为系统的性质，称这些元素为该代数系统的系统的性质，称这些元素为该代数系统的特异元素特异元素或或代数常数代数常数。有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。例如：代数系统例如：代数系统,+,0。代数系统的成分代数系统的成分代数系统的成
33、分代数系统的成分 第37页，本讲稿共47页q列出所有的成分列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在）：集合、运算、代数常数（如果存在）例如例如 ，q列出集合和运算列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数）质（无代数常数）例如例如 ，q用集合名称简单标记代数系统用集合名称简单标记代数系统例如例如 在前面已经对代数系统作了说明的前提下，上述两个在前面已经对代数系统作了说明的前提下，上述两个代数系统可以简记为代数系统可以简记为Z,P(S)代数系统的表示代数系统的表示代数系统的表示代数系统的表示 第38页，本讲稿共47页定义定义9.
34、13 9.13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具两个代数系统具有相同的构成成分有相同的构成成分，也称它们是，也称它们是同类型的代数系统同类型的代数系统。例如例如 V1=V2=qV1、V2是同类型的代数系统，因为它们都含有是同类型的代数系统，因为它们都含有2个二元运算，个二元运算，2个代数常数。但是它们的运算性质不一样。个代数常数。但是它们的运算性质不一样。同类型的代数系统同类型的代数系统同类型的代数系统同类型的代数系统V1=V2=+和和可交换、可
35、结可交换、可结合合 对对+可分配可分配+和和不满足幂等律不满足幂等律+与与 没有吸收律没有吸收律+和和满足消去律满足消去律和和可交换、可结合可交换、可结合和和互相可分配互相可分配和和都有幂等律都有幂等律和和满足吸收律满足吸收律和和一般不满足消去律一般不满足消去律 第39页，本讲稿共47页定义定义9.149.14设设V是代数系统，是代数系统，B S，如果如果B对对f1,f2,fk 都是都是封闭封闭的，且的，且B和和S含有相同的代数常数含有相同的代数常数，则称，则称是是V的的子代数系统子代数系统，简称，简称子代数子代数。简记为。简记为B。例如：例如：qN是是的子代数，的子代数，N也是也是的子代数。
36、的子代数。qN 0是是的子代数，但不是的子代数，但不是的子代数。的子代数。q子代数和原代数具有相同的成分，运算性质也相同，是同类型的代数系统，在许多方面与原代数非常相似，不过可能小一些。q对于任何代数系统，其子代数一定存在。说明子代数子代数子代数子代数 第40页，本讲稿共47页q最大的子代数最大的子代数：就是：就是V本身本身。q最小的子代数最小的子代数：如果令：如果令V中所有代数常数构成的集合是中所有代数常数构成的集合是B，且且B对对V中所有的运算都是封闭的，则中所有的运算都是封闭的，则B就构成了就构成了V的最小的的最小的子代数。子代数。q平凡的子代数平凡的子代数：最大和最小的子代数称为：最大
37、和最小的子代数称为V的平凡的子代数的平凡的子代数。q真子代数真子代数：若：若B是是S的真子集的真子集，则则B构成的子代数称为构成的子代数称为V的真的真子代数。子代数。子代数的相关概念子代数的相关概念子代数的相关概念子代数的相关概念 第41页，本讲稿共47页例9.8 设V=，令 nZ=nz|zZ，n为自然数，则nZ是V的子代数。任取nZ中的两个元素nz1和nz2(z1,z2Z)，则有nz1+nz2 n(z1+z2)nZ即nZ对+运算是封闭的。又0=n0 nZ所以，nZ是V的子代数。证明q当n=1和0时，nZ是V的平凡子代数，其他的都是V的非平 凡的真子代数。说明例例例例9.8 9.8 9.8 9
38、.8 第42页，本讲稿共47页本章主要内容本章主要内容q构成代数系统的基本成分非空集合 集合上若干个封闭的二元和一元运算 代数常数 q二元运算性质和特异元素q同类型的与同种的代数系统q子代数的定义与实例 第43页，本讲稿共47页本章学习要求本章学习要求q判断给定集合和运算能否构成代数系统。判断给定集合和运算能否构成代数系统。q判断给定二元运算的性质和特异元素。判断给定二元运算的性质和特异元素。q了解同类型和同种代数系统的概念。了解同类型和同种代数系统的概念。q了解子代数的基本概念了解子代数的基本概念 。第44页，本讲稿共47页作业作业习题十：习题十：1 1、4 4、8 8、9 9、1010、1
39、616第45页，本讲稿共47页运算的性质与特异元素运算的性质与特异元素二元运算二元运算f：SSS一元运算一元运算f：SS交换律交换律 x,ySS，x y y x结合律结合律 x,y,z SS，(x y)z x(y z)幂等律幂等律 xSS，x x x消去律消去律 x,ySS，x y x z且且x y z y xz x且且x y z分配律分配律 x,y,z SS，x(y z)(x y)(x z)，(y z)x (y x)(z x)吸收律吸收律 x,ySS，x(x y)x，x(x y)x单位元单位元e xSS，x e e x x零元零元 xSS，x x 幂等元幂等元x x x可逆元可逆元x y y
40、 x e第46页，本讲稿共47页通过运算表判别运算性质的方法通过运算表判别运算性质的方法q交换律交换律的表沿主对角线对称。的表沿主对角线对称。q幂等律幂等律的表主对角线与每一行和每一列元素相同。的表主对角线与每一行和每一列元素相同。q如果在运算表中的某行或某列如果在运算表中的某行或某列(除了零元所在的行或列之外除了零元所在的行或列之外)有两有两个相同的元素，那么运算不满足个相同的元素，那么运算不满足消去律消去律。q有有零元零元的表，当且仅当该元素所对应的行和列与该元素相同。的表，当且仅当该元素所对应的行和列与该元素相同。q有有单位元单位元的表，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的的表，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相同。行和列相同。qa a与与b b互互逆逆，当且仅当以这两个元素为行和列的交点处为单位元。，当且仅当以这两个元素为行和列的交点处为单位元。q如果元素如果元素x x在主对角线中排列的位置与表头中的位置一致，那么在主对角线中排列的位置与表头中的位置一致，那么该元素是该元素是幂等元幂等元。第47页，本讲稿共47页