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1、2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：（每题5分，共40分）题号12345678选项DBBAABCC二、填空题（每每题5分，共30分）9 110 11 12 13 144 15三、解答题:本本大题共6小题,满分80分,解答须写出出文字说明、证证明过程或演演算步骤16（本题满满分12分）解：（1），且且， 1分, 3分 6分（2）由（1）可可得 8分 在中中，由正弦定定理 , 10分三角形面积. 122分17 （本题题满分14分）（1）证明：底面，且底面， 1分分由，可得 2分又 ，平面 3分注意到平面， 4分,为中点， 5分 ， 平面 6分
2、 而平面， 7分（2）方法一、如图图，以为原点点、所在直线线为轴、为轴建立空间间直角坐标系系. 则 8分. 10分分设平面的法向量量. 由得，即（11） （22）取，则，. 12分取平面的法向量量为则，故平面与平面所所成角的二面面角（锐角）的的余弦值为. 14分方法二、取的中中点，的中点，连接接， ，. 88分 ， . 99分 同理可证证：. 又又， .100分则与平面所成的的二面角的平平面角（锐角角）就等于平平面与平面所成的的二面角的平平面角（锐角角）已知，平面， 111分又，平面由于平面， 而为与平面的交交线，又底面，平面为二面角的平面面角 122分根据条件可得，在中， 在中，由余弦弦定理
3、求得 133分故平面与平面所所成角的二面面角（锐角）的的余弦值为. 14分18（本题满满分13分）解：（1），显然 3分由正态分布密度度函数的对称称性可知， 即每支这种灯管管的平均使用用寿命是个月月； 5分分 （2）每支灯管管使用个月时时已经损坏的的概率为， 6分假设使用个月时时该功能室需需要更换的灯灯管数量为支支，则， 10分分故至少两支灯管管需要更换的的概率（写成也可以）. 13分分19（本题满满分13分）解：（1）设动动点的坐标为为，圆的圆心坐标为为，圆的圆心坐标为为， 2分因为动点到圆,上的点距离离最小值相等等，所以, 3分即，化简得， 44分因此点的轨迹方方程是； 5分（2）假设这样
4、样的点存在，因为点到点的距距离减去点到到点的距离的的差为4，所以点在以和为为焦点，实轴轴长为的双曲曲线的右支上上， 即点在曲线上， 9分分又点在直线上， 点的坐标是是方程组的解解，111分消元得，方程程组无解，所以点的轨迹上上不存在满足足条件的点. 13分20（本题满满分14分）解：方法一在区区间上,. 1分（1）当时，则则切线方程为为，即 3分（2）若,则则,是区间上的增增函数, ,函数在区间有有唯一零点. 6分若,有唯一零零点. 7分若,令得: .在区间上, ,函数是增函函数;在区间上, ,函数是减函函数;故在区间上, 的极大值为为.由即,解得:.故所求实数a的的取值范围是是. 9分方法二
5、、函数无无零点方程即在上无实数解解 4分令，则由即得： 6分在区间上, ,函数是增函函数;在区间上, ,函数是减函函数;故在区间上, 的极大值为为. 7分注意到时，；时时；时，故方程在上无实实数解.即所求实数a的的取值范围是是. 9分注:解法二只只说明了的值值域是,但并并没有证明. (3) 设,原不等式令,则,于是. 12分设函数,求导得: 故函数是上的增增函数, 即不等式成立,故所证不等等式成立. 14分21（本题满满分14分）解： (1)由点在曲线上可得得, 1分又点在圆上，则则, 2分从而直线的方程程为, 4分分由点在直线上得得: ,将代入化简得: . 66分(2) , 77分又, 9分分(3)先证:当当时,.事实上, 不等等式后一个不等式显显然成立,而而前一个不等等式.故当时, 不等等式成立., 111分(等号仅在n=1时成立)求和得: 14分理科试题参考答案 第 9 页 共 9 页