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1、第三节 格林公式及其应用第1页，本讲稿共50页一、格林公式 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所围内任一闭曲线所围成的部分都属于成的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域,否则否则称为复连通区域称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD区域连通性的分类区域连通性的分类第2页，本讲稿共50页边界曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区域区域D总在他的左边总在他的左边.第3页，本讲稿共50页格林公式定理定理1 1第4页，本讲稿共50页证明证明(1)(1)yxo abDcdABCE第5页，本讲稿共50页同理可证同
2、理可证yxodDcCE第6页，本讲稿共50页证明证明(2)(2)D两式相加得两式相加得第7页，本讲稿共50页第8页，本讲稿共50页GDFCEAB证明证明(3)(3)由由(2)知知第9页，本讲稿共50页第10页，本讲稿共50页1.1.简化曲线积分简化曲线积分简单应用例例 1计算曲线积分计算曲线积分其中其中AnO为由点为由点 A(a,0)至点至点 O(0,0)的上半圆周的上半圆周 x2 +y2=ax(a 0).第11页，本讲稿共50页解解如果添加有向线段如果添加有向线段 OA，则，则 AnO+OA=L是一条是一条正向的封闭曲线正向的封闭曲线.我们设由它围成的区域为我们设由它围成的区域为 D.因为因
3、为 P(x,y)=exsin y my,Q(x,y)=excos y-m，所以所以yxODnA(a,0)第12页，本讲稿共50页则由格林公式得则由格林公式得第13页，本讲稿共50页而而第14页，本讲稿共50页2.2.简化二重积分简化二重积分xyo第15页，本讲稿共50页第16页，本讲稿共50页解解第17页，本讲稿共50页xyoLyxo第18页，本讲稿共50页xyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)第19页，本讲稿共50页3.3.计算平面面积计算平面面积第20页，本讲稿共50页解解第21页，本讲稿共50页第22页，本讲稿共50页二、二、二、二、平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分与
4、路径无关的条件平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分与路径无关的条件设设 G 是一个开区域是一个开区域，如果对如果对 G 内任意指定内任意指定的两点的两点 A 与与 B，以及以及 G 内从点内从点 A 到点到点 B 的任意的任意两条不相同的分段光滑曲线两条不相同的分段光滑曲线 L1、L2，等式等式 y x OL1L2GBA恒成立，则称曲线积分恒成立，则称曲线积分 在在 G 内与路径无关内与路径无关.这时，我们这时，我们可将曲线积分记为可将曲线积分记为第23页，本讲稿共50页命题命题在区域在区域 G 中，曲线积分中，曲线积分 与路径无关的充要条件是：对与路径无关的充要条件是：对 G G 内
5、任意一条闭曲线内任意一条闭曲线 C，有，有第24页，本讲稿共50页证证先证必要性先证必要性.设设 AnBmA 是是 D 内任意一条闭曲线内任意一条闭曲线.因为曲线积因为曲线积分分 在在 G 内与路径无关，所以内与路径无关，所以因此因此 y x OBGmnA第25页，本讲稿共50页再证充分性再证充分性.设设 A、B 是是 G 内的任意两点，内的任意两点，AnB 与与 AmB 是是 G 内的任意两条路径内的任意两条路径.因为对因为对 G 内任意一条闭曲内任意一条闭曲线线 C，所以由题设有所以由题设有恒有恒有因此因此 y x OBDmnA这就说明了曲线积分这就说明了曲线积分 与路径无关与路径无关.第
6、26页，本讲稿共50页定理定理2 2第27页，本讲稿共50页两条件缺一不可两条件缺一不可有关定理的说明：有关定理的说明：第28页，本讲稿共50页证证充分性：充分性：(x,y)G，所以对，所以对 G 内任意一内任意一条正向封闭曲线条正向封闭曲线 L1 及其围成的区域及其围成的区域 D1，因为因为 D1 G，所以所以 D1是单连域，是单连域，由格林公式有由格林公式有因为因为于是由定理于是由定理 1 知，曲线积分知，曲线积分 在在 G 内内与路径无关与路径无关.第29页，本讲稿共50页必要性：必要性：于是由格林公式于是由格林公式 知，知，这结果与沿这结果与沿G内沿任意闭曲线的曲线积分为零的假设内沿任
7、意闭曲线的曲线积分为零的假设矛盾矛盾.第30页，本讲稿共50页例例 5计算计算其中其中 L 是摆线是摆线 x=t sin t,y=1-cos t，从点，从点 A(2p p,0)到到点点 O(0,0)的一段弧的一段弧.解解显然，用这段路径来计算是很复杂且困难显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.能否换一条路径呢？能否换一条路径呢？其中其中 P(x,y)=x2y+3xex,第31页，本讲稿共50页再选一条路径再选一条路径 L1：由由 A(2p p,0)沿沿 x 轴到原点轴到原点.审查一下：审查一下：由由 L 与与 L1 所围的平面域是否单连通域所围的平面域是否单连通域.P(x,y)与与 Q(x,y
8、)偏导数是否连续，偏导数是否连续，现在是连续的现在是连续的.所围的域是单连通域，所围的域是单连通域，这样可以换为在这样可以换为在 L1 上求上求曲线积分，曲线积分，即即xyOL1LA第32页，本讲稿共50页因为因为 L1 上上 dy=0，y=0 所以上式为所以上式为即即第33页，本讲稿共50页例例 6计算计算解解如果不换路径，计算非常困难，为了换路径，如果不换路径，计算非常困难，为了换路径，先要计算先要计算 P、Q 的偏导数的偏导数.其中其中 L 由点由点 A(-p,p,-p p)经曲经曲线线 y=p pcos x 到点到点 B(p,p,-p p)(如图如图).则则yxLOAB第34页，本讲稿
9、共50页再考虑换一条路径再考虑换一条路径.以以 为半径的圆为半径的圆周，由周，由 A 经大半圆到经大半圆到 B 为为 L1，如果换成由如果换成由 A 经直线到经直线到 B 为为 L1，则，则 L 与与 L1 所围的平面域内函数所围的平面域内函数 P(x,y)与与 Q(x,y)在原点处偏导数不存在在原点处偏导数不存在.这就是说它们所围这就是说它们所围的域不是单连通域的域不是单连通域.所以不满足将所以不满足将 L 换为换为 L1 的条件，的条件，作一个以原点为圆心，作一个以原点为圆心，则此时，则此时，L 与与 L1 所围所围的平面域内函数的平面域内函数 P(x,y)，Q(x,y)的偏导就连续了的偏
10、导就连续了.即即 L 与与 L1 所围的平面域为单连通域所围的平面域为单连通域.这就可以这就可以将将 L 换为换为 L1.L1 的参数方程为的参数方程为第35页，本讲稿共50页代入，得代入，得第36页，本讲稿共50页从例从例 5，例，例 6 中我们可以归纳一下换积分路径的中我们可以归纳一下换积分路径的步骤：步骤：则可进行则可进行下一步，否则就是积分与路径有关下一步，否则就是积分与路径有关.1.计算计算是否相等是否相等.如果如果2.选一条路径选一条路径(与原路径同起、终点与原路径同起、终点)L1，使与原路使与原路径径 L 所围平面域上函数所围平面域上函数 P(x,y)与与Q(x,y)偏导数连续，
11、偏导数连续，即所围的区域为单连通域，即所围的区域为单连通域，则可将路径则可将路径 L 换为换为 L1.第37页，本讲稿共50页三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积如果在区域如果在区域G 上存在函数上存在函数u(x,y)，使得，使得则称则称 在在G内为二元内为二元函数函数u(x,y)的全微分，也称的全微分，也称u(x,y)为为在区域在区域G上的一个原函数上的一个原函数.第38页，本讲稿共50页定理定理3 3第39页，本讲稿共50页证明证明必要性：设存在函数必要性：设存在函数 u u(x,yx,y)使得使得 则则P,Q P,Q 在在 D D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,所所以
12、以从而在从而在D D内每一点都有内每一点都有第40页，本讲稿共50页充分性：充分性：在在D D内取定点内取定点因曲线积分因曲线积分则则同理可证同理可证因此有因此有和任一点和任一点B(x,y),与路径无关与路径无关,有函数有函数 第41页，本讲稿共50页由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:具有性质：具有性质：d u=P dx+Q dy u(x,y)为为 P dx+Q dy 在域在域 G G 内的一个原函数内的一个原函数.第42页，本讲稿共50页具体计算具体计算xyo可采用如右图的路径可采用如右图的路径：这里起点这里起点可任意取，可任意取，但必须在
13、单连通的开区域但必须在单连通的开区域G内。内。第43页，本讲稿共50页解解第44页，本讲稿共50页第45页，本讲稿共50页例例8.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证证:设则由定理由定理2 可知可知,存在函数存在函数 u(x,y)使使。第46页，本讲稿共50页例例7.验证验证在右半平面(x 0)内存在原函数,并求出它.证证 令则由此可知存在原函数第47页，本讲稿共50页或或第48页，本讲稿共50页四、小结1.1.连通区域的概念连通区域的概念;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3.3.格林公式的应用格林公式的应用.格林公式格林公式;第49页，本讲稿共50页3.与积分路径无关的条件与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题第50页，本讲稿共50页