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1、第三节 格林公式及其应用,格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件 三.二元函数的全微分求积,重点：格林公式的运用 难点：格林公式的证明与运用,一. 格林公式,(一)、区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域(有洞),单连通区域（无洞）,(二)、格林公式,定理1,(一)格林(Green,G,1793-1841,英国)公式,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,证明(1),同理可证,证明(2),两式相加得,A,B,C,A,B,C,G,F,证明(3),由(2)知,L,1. 简化
2、曲线积分,(三)、简单应用,解,例1,L,解：,解：,解,例 4,(注意格林公式的条件),2. 简化二重积分,例5,解,3. 计算平面面积,解,(四)、小结,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,3. 格林公式的应用.,格林公式;,二、曲线积分与路径无关的条件,(一)、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内有,11.3.5 曲线积分与路径无关的条件,定理2,矛盾！,解,例. 设质点在力场,作用下沿曲线 L :,由,移动到,求力场所作的功W,解:,令,则有,可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.,思考: 积分路径是否可以取,取圆弧,为什么？,注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径,无关 !,10.3.6 二元函数的全微分求积,如何求 ?,解,解,定理3,证明（必要性）,由题设知,小结: 与路径无关的四个等价命题,定义,定理2,定理3,练 习 题,练习题答案,作 业,习题11.3: 1 (1)(3)(5), 2, 3(1)(3), 4, 5, 6.,