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1、第二章 金融波波动模型型分析与与应用在金融计计量经济济学和金金融时间间序列研研究中，对对金融资资产的波波动进行行研究与与建摸是是非常重重要的一一个领域域。特别别是近二二十多年以来来，以AARCHH模型族族和随机机波动模模型族为为代表的的金融波波动模型型发展迅迅速，已已成为金金融计量量经济学学和金融融时间序序列研究究的重要要分支和和前沿领领域之一一。这是因因为：（11）对变变量条件件均值的的有效统统计推断断需要对对条件方方差的变变化进行行精确研研究；（22）在实实践中，金金融资产产的波动动往往表表现出非非常复杂杂、丰富富的统计计特征，如波动的聚集现象、尖峰厚尾、条件方差时变性、长期记忆性、非对称
2、性和状态转换等特征，这对金融资产的定价与风险管理具有十分重要的意义。2003年，纽约大学的Robert Engle教授正是凭借在金融波动模型领域作出的开创性贡献（ARCH模型）而获得了诺贝尔经济学奖。在本博士论文中，我们尝试将金融波动模型与Copula函数有效的结合在一起以更准确地描述多维金融资产之间的相关关系和波动特征。因此在本章中我们将对主要的金融波动模型进行研究与比较，这为我们在以后几章中联合金融波动模型与Copula函数建模奠定基础。根据金融融波动模模型的设设定与特特点，我我们可以以对金融融波动模模型进行行如下分分类：按按照对波波动运动动过程假假定的不不同，我我们可以以将金融融波动模模
3、型分为为ARCCH族模模型和随随机波动动族模型型，两者者主要区区别在于于前者假假设波动动服从一一个确定定性的变变化过程程，而随随机波动动模型假假设金融融资产的的波动服服从某个个不可观观测的随随机过程程。按照照模型描描述金融融资产维维数的不不同，可可以将金金融波动动模型分分为一元元金融波波动模型型（含一一元ARRCH族族模型和和一元随随机波动动族模型型）和多多元金融融波动模模型（含含多元AARCHH族模型型和多元随机机波动族族模型）。按按照金融融资产的的波动是是否具有有状态相相依的特特征，可可以将金金融波动动模型分分为不包包含状态态转换的的金融波波动模型型和包含含状态转转移的金金融波动动模型（包
4、包含马尔尔可夫转转换GARCCH模型型 (MMSGARCCH)族族和马尔尔可夫转转换随机机波动族族模型（MMSSVV）族）。在本本章中我我们将结结合中国国金融市市场的实实际数据据，分析析与比较较各金融融波动模模型的特特点与绩绩效。2.1 金融波波动的统统计特征征分析近年来，随随着金融融资产之之间联系系的不断断加深和和金融衍衍生产品品的不断断创新，金金融资产产的波动动日益加加剧，波波动特征征也日趋趋复杂化化与多样样化。而而在现代代金融理理论中，波波动始终终是重要要研究内内容。这这是因为为现代金金融理论论的核心心便是不不确定性性，而波波动则是是衡量这这种不确确定性的的重要指指标。目目前现代代金融理
5、理论比较较核心的的理论主主要包括括：有效效市场理理论、投投资组合合理论、资资本资产产定价模模型、期期权定价价理论、套套利理论论、行为为金融理理论和资资产结构构理论等等。而除除了有效效市场理理论与资资产结构构理论与与波动值值关系不不大外，其其余理论论同波动动均有不不可分割割的联系系。例如如，在MMarkkowiitz的的投资组组合理论论中，最最优投资资组合的的确定依依赖于金金融资产产的方差差和协方方差，而投资资组合风风险值（VValuue aat RRiskk）的计计算也与与金融资资产的波波动密切切相关。投资组合的优化问题实质上便是要求在组合预期收益一定的情况下，使投资组合的方差最小。在资本资产
6、定价模型（CAPM）中，资产的期望收益率取决于该资产与市场组合的协方差与市场组合方差的比值。其核心是建立了证券收益与风险的关系，揭示了证券风险报酬的内部结构，即风险报酬是影响证券收益的各相关因素的风险溢价的线性组合。同时将风险划分为系统风险和非系统风险两大类，而非系统风险可以通过投资组合优化有效地进行分散。在Blach-Scholes期权定价公式中，期权的价格同标的金融资产的波动值密切相关，同时我们也可以通过期权的市场价格推算出标的金融资产的隐含波动率。要想准确对期权进行定价，必须首先准确了解金融资产的波动特征与规律。在套利理论中，需要计算i种证券与第j种影响因素的方差协方差矩阵，这也同波动建
7、立了直接联系。在近年来兴起的行为金融理论中，资产价格的过度波动原因和投资者心理与投资行为对金融资产波动的影响也成为研究的热点领域。因此，如何准确地描述与刻画金融资产的波动特征，并探寻金融波动背后的内在机制与经济含义，已成为现代金融学和统计学学研究的一个重要议题。在对金融融波动进进行建模模前，我我们需要要了解金金融资产产波动的的主要统统计特征征，这是是我们对对金融波动动进行统统计建模模的基础础。Boolleersllev, Ennglee annd NNelsson(19994)，Rama Cont（2001）和苏卫东（2002）等对此进行了总结和归纳。就一般而言，金融资产的波动具有如下统计特征
8、：（1）过过度波动动（exxcesss vvolaatillityy）：也也就是说说金融资资产的波波动往往往超过了了经济基基本面因因素所能能引起的的波动。特别的，金融资产收益率较大幅度的变化（包括正向和负向）并不能完全由市场上所有新的信息所解释。（2）厚厚尾（hheavvy ttaill）：金金融资产产的收益益率往往往具有“尖峰厚厚尾”的统计计特征，其无条件峰度指标和尾部指标(tail index)往往较标准的正态分布更高，这意味着用具有厚尾特征的统计分布如t分布、Pareto（帕累托）分布或者GED分布（广义误差分布）等能较正态分布更好的刻画金融资产波动的这种尖峰厚尾特征。（3）波波动具有有
9、时变和和聚集（vvolaatillityy cllustteriing）特特征：经经典金融融理论在在描述金金融资产产波动变变化时，往往往假设设波动值值在一定定期限内内保持不不变。然然而实践践却通常常表明这这种假设设不甚合合理。金金融资产产的波动动往往具有有随时间间变化而而变化的的时变特征，有有时变化化甚至会会相当剧剧烈，而而有时则则会保持相对对稳定。更更为重要的的是，金金融资产产的波动动往往还还存在着着聚集现现象，这这种现象象首先由由Manndellbroot(119633)发现现，指大大的金融融波动后后面往往往紧跟着大大的波动动，而小小的金融融波动后后面往往往紧跟着着小的波波动。很很明显的的
10、例证是是：金融融资产收收益率的的自相关关系数往往往较小小，但是是收益率率的绝对对值和平平方却通通常具有有显著的的、呈现现缓慢衰衰减的正正向自相相关性。Bolllerrsleev, Enggle andd Nellsonn（19994）指出波动的聚集现象是导致金融资产尾部较厚的重要原因。（4）杠杠杆效应应(leeverragee efffecct)：杠杆效效应首先先由Bllackk（19976）发发现，指指金融资资产收益益率的波动往往往体现现出一种种非对称称性，波波动率对金融融资产收收益率下下跌时的的反应往往往比对对收益率率上升时时的反应应更加迅迅速和剧剧烈。CChriistiie(119822
11、)利用用Moddigllianni-MMilller原原理对此此问题进进行了解解释：坏坏消息的的出现会会降低公公司的股股价，这这样就会会导致负负债/资资产比（也也就是金金融杠杆杆比）上上升，这这显然会会增加公司司的财务务风险从从而加大大了持有有股票的的风险，从而使未来的期望波动值上升。（5）波波动具有有连动性性（coo-moovemmentts iin vvolaatillityy）：这这种现象象也首先先由Bllackk（19976）发发现，他他总结到到：“不同股股票的波波动变化化具有很很多相同同的特征征，股市市1的的波动变变化意味味着所有有股票的的波动可可能也有有1的的变化。只只是某些些高风
12、险险的股票票对于股股市变化化的敏感感度较低低风险的的股票高高，但就就总体而而言，当当波动变变化时，大多数的股票倾向于同方向变化。”这种波动的连动性不仅存在于同一金融市场，跨金融市场也同时存在着这种现象。Diebold and Nerlove (1989)和 Harvey et al. (1992)探讨了影响金融资产连动性的主要因素，如果这些影响因素的确存在，那么就意味着我们可以用较少的因素去解释金融资产方差和协方差的变化。正是基于此学者提出了因素ARCH模型（Engle（1987），Diebold and Nerlove (1989)）来解释金融波动的这种连动性。（6）波波动同宏宏观计量量变量
13、和和成交量量密切相相关：金金融资产产的价格格同宏观观经济运运行质量量密切相相关，那那么宏观观经济指指标，如如利率、货货币供应应量、GGDP增增长、外外贸等都都有可能对对股票市市场的波波动产生生实质性性影响。就中国股市而言，政府的股市调控政策对股市波动的影响也非常巨大。另一方面从金融市场本身的运行规律来看，金融资产的成交量与波动也往往存在着显著的正向关系。(7)波波动的隐隐含微笑笑曲线(impplieed vvolaatillityy smmilee)与期期限结构构(teerm strructturee)：隐含微笑笑曲线是是指在其其它条件件相同的的情况下下，对相相同标的的资产但但执行价价不同的的
14、期权市市场价格格所反映映出来的的隐含波波动度往往往呈现现出近似微微笑形态态的曲线线，到期期期限越越远，这这种微笑笑的幅度度会越发发趋缓。一一般而言言，微笑笑曲线意意味着BBlacch-SSchooless公式高高估了平平价买权权的价格格而低估估了价内内和价外外买权的的价格。通常认为波动的隐含微笑曲线与波动的随机特征密切相关。而波动的期限结构则是指在其它条件不变的情况下，对相同标的资产但不同到期日的期权市场价格，通过Black-Schole公式所反推算出来的隐含波动率所呈现的形态。Xu and Taylor(1994)发现期权的期限结构是不规则的，呈现出多种形态。一般认为，金融资产的随机波动特征
15、是造成隐含微笑曲线和期限结构最重要的原因。正是金融融波动存存在的上上述复杂杂的统计计特征促促进了金金融波动动模型研研究的深深入发展展。在本本章余下下内容我我们将分分析与比比较主要要的金融融波动模模型，并并利用中中国金融融市场的的数据进进行实证证研究。2.2 一元AARCHH模型族分析金融波动动模型在在近二十十多年来来发展迅迅速，学学科体系系已经渐渐趋成熟熟，这使使得准确确刻画金金融资产产波动的的统计特特征成为为可能。金融波波动模型型按照波波动函数数建模的的性质可可以大致致分为两两类：第第一类是是用确定定的函数数来刻画画t时刻刻的波动动率，这这方面主主要的模模型包括括自回归归条件异异方差（AAu
16、tooRreegreessiive Conndittionnal Hetterooskeedassticc, AARCHH）模型型和在其其基础之之上衍生生出来的的广义自自回归条条件异方方差（GGARCCH）模模型族。另一一类是用用随机方方程来刻刻画波动动率的变变化，这这方面的的主要模模型是随随机波动动（sttochhasttic vollatiilitty）模模型族。一元金融波动模型只针对一维金融资产的波动特征进行建模,主要包括一元ARCH模型族和一元随机波动模型族，本小节将探讨一元ARCH模型族的特点与性质，一元ARCH族中最早出现的模型便是Engle(1982)提出的一元ARCH模型。2.
17、2.1 一一元ARRCH模模型分析析ARCHH模型的的是自回回归条件件异方差差模型的的英文简简称，其其中的异异质变异异（heeterroskkedaastiic）代代表时变变方差(timme vvaryyingg vaariaancee)，条条件的(conndittionnal)代表相相依于过过去的观观察值的的信息，而而自回归归（auutorregrresssivee）则代表描描述一个个自回归归机制，将将自身过过去的观观察值作作为影响响现在波波动的因因素。AARCHH模型族族的发展展是时间间序列研研究领域域的一个个重要创创新，其其将对金金融波动动的研究究带入了了一个新新的领域域。在以往的的计量
18、经经济与时时间序列列模型中，通常常会假设条条件方差差保持固固定不变变，这虽虽然给建建模带来来了便利利，但往往往与实实际情况况并不相相符。金金融资产产变量（如如股价收收益率、汇汇率和利利率等）的的条件方方差往往往体现出出随时间间变化而而变化的的统计特特征。因因此，在在条件同同方差的的假设下，传传统的计计量经济济学和时时间序列列模型往往往无法法准确刻刻画金融融资产波波动的这这种动态态时变统统计特征征。事实实上，金金融资产产收益率率的波动动往往存存在着波波动聚集集（voolattiliity cluusteerinng）现现象，即即如果本本期价格格有较大大幅度的的变化，那那么紧接接下来的的交易日日往
19、往也也会出现现较大幅幅度的波波动。这这意味着着残差项项的平方方会存在在着显著著的自相相关及异异方差问问题。这这个问题题直到EEnglle(119822)提出出ARCCH模型型后才得得到了有有效解决决。其主主要思路路是将条条件方差差随时间间变化而而变化的的特征纳纳入考虑虑。假设本本期收益益率的条条件方差差受上期期残差项项的影响响，并且且这种变变化具有有时间依依赖性。那么基于正态分布假设的ARCH(q)-Normal模型可表达为： （公公式21）这其中代代表t时时期金融融资产的的收益率率，代表解解释收益益率变量量的线性性组合，是t时刻的残差项，是标准化的残差，一般我们假设其服从某一特定的参数分布（
20、在上式中我们假设其服从一元标准正态分布N(0,1)），代表从时刻1到时刻t-1时期全部的信息集，代表受过去q期残差影响的条件异方差，q是ARCH模型自回归的阶数。从上述公式中可以看出，在ARCH(q)模型中，收益率的条件方差受两个因素的影响，一是常数项，另一个则是前q个时刻关于变化量的信息，用前q时期的残差平方项的线性组合来表示。为了保证条件方差为正，我们需要对限制参数。而为了保证模型的残差为一平稳过程,我们还需限制参数。如果需保证残差的高阶矩存在，我们还需对参数进行更严格的限制，相关内容可参看Engle(1982)。在ARCCH模型型中，的的无条件件期望和和方差分分别为： （公公式22）AR
21、CHH模型另另一个重重要的特点便是其峰峰度指标标较正态态分布高高。例如如对于AARCHH(1)模型，其其无条件件峰度。这这意味着着ARCCH(11)-NNormmal模模型的分分布尾部部比正态分分布更厚，能能够更好地地刻画金金融时间间序列尖尖峰厚尾尾的统计计特征。在使用AARCHH模型等等金融波波动模型型前必须须首先检检验时间间序列是是否存在在ARCCH效应应，这方方面常用用的有EEnglle(119822)提出出的的拉拉格朗日日乘数（LLagrrangge MMulttipllierr,LMM）检验验法和似然然比（llikeelihhoodd raatioo,LRR）检验验法两种方方法，其其
22、中最常常用的是是LM检检验，其其假设为为：原假设HH0： 备择假设设H1：中至少少有一个个不为00；为检验原原假设，需需要进行行如下回回归：式中的是是残差，上上式表示示残差和和平方对对截矩项项和q阶阶滞后的的残差平平方和进进行回归归，由上上式计算算（T为为样本数数）即可可得到LM值值，其服服从（qq）的渐渐进分布布，若（q)，则拒拒绝原假假设，说说明时间间序列存存在显著著的ARRCH效效应。AARCHH-Noormaal模型型一般使使用拟极大似似然估计计方法（QQML）进行估计，对于上面讨论的ARCH模型，其对数似然函数可表达为下式： （公式式233）其中，TT为样本本长度。虽然ARRCH模模
23、型较以以往的模型有了了显著改改进，但但其也存存在着一一定的缺缺陷：（11）ARRCH模模型虽然然简单，但但为了充充分地描描述金融融资产收收益率的的波动过过程，往往往需要要对残差差项滞后多多期，这这需要估估计较多多参数，从从而给模模型估计计带来困困难；（22）ARRCH模模型假定定正负波波动对波波动率具具有相同同的影响响，这意意味着其其无法捕捕捉到金融资产产收益率率的杠杆杆效应；（3）AARCHH模型有有时对于于参数的的限制过过于严格格；（44）ARRCH-Norrmall模型是是基于正正态分布布假设基基础之上上的，而而实证经经验表明明正态分分布对金金融资产产收益率率的尖峰峰厚尾特特征刻画画能力
24、往往往是较较差的。2.2.2 一元GGARCCH模型型分析为了减少少模型的的参数以以及放宽宽对参数数的限制制，Boolleersllev（119866）提出出了GAARCHH模型，其其核心思思想是用用一个或或两个的滞滞后值来来替代许许多的滞滞后值，这这样不仅仅可以精精简模型型参数的的个数，而而且可以以使得条条件方差差的结构构更具一一般性，。GGARCCH模型型的一般般形式是是GARRCH(p,qq)，其其中p是是自回归归项（GGARCCH项），qq是ARRCH项项，假设设标准化化残差服服从正态态分布，那那么GAARCHH-Noormaal模型型可表述述如下： （公公式24）同ARCCH模型型类
25、似，对对参数进进行上述述限制也也是为了了保证估估计得到到的方差差非负和和模型的平平稳性。与ARCH模型类似，GARCH模型一般也可使用拟极大似然函数方法进行估计，那么GARCH-Normal模型的对数似然函数可以用下式表示： （公公式25）其中：由上式可可以看出出，GAARCHH模型与与ARCCH模型型最大的的区别在在于本期期的条件件方差除除了受到到前q期期残差平平方和的的影响外外，还会会受到前前p期条条件方差差的影响响。相比比较而言言，GAARCHH模型显显然较ARCCH更具具一般性性。在GGARCCH模型型中，条条件方差差为过去去残差项平平方和滞滞后期条条件异方方差滞后后值的线线性组合合，
26、这不不仅使得得条件异异方差的的设定更更具弹性性，同时时也使得得模型的的参数估估计更为为简便，因为一个高阶的ARCH模型可由一个低阶的GARCH模型来描述，从而达到了简化模型参数的目的。当p=0时，GARCH模型就变为ARCH模型，因此可以将ARCH模型看作是GARCH模型的特例。而当p=q=0时，GARCH模型就恢复成为白噪音(white noise)过程。而从经济济学意义义上来看看，GAARCHH模型意意味着投投资者可可以通过过观察前前p期的的预测方方差（GGARCCH）项项和前qq期中观观测到的的收益率率变动信信息（AARCHH）来预预测本期期的方差差。如果果投资者者观测到到前期条条件方差
27、差变大，或或者收益益率也发生生较大变化化，那么么投资者者会预期期下期的条件方方差也可能变大大。GAARCHH模型的的自身滞滞后期参参数值越越大，说说明冲击击对条件件方差的的影响需需花费更更长时间间才会消失，波波动具有有一定的的持续性性。而误误差项系系数越大大说明波波动对市市场异动动的反应应越强烈烈。一般般而言，如如果GAARH模模型的系系数相对对较大而而系数相相对较小小，则波波动倾向向于更加加尖锐（sspikky）。反反之，波波动具有有更长时时间记忆忆性特征征。经验验研究表表明，对对于一般般的金融融时间序序列，GGARCCH(11,1)模型就就可以较较好的刻刻画其统统计特征征。GARCCH（1
28、1，1）-Normal模型的无条件峰度指标为：这里需限限制GAARCHH(1,1)模模型的参参数满足足：。无无条件峰峰度值大大于3意意味着GGARCCH(11,1)-Noormaal模型型的峰度度厚度比比正态分分布更厚厚，可以以更好的的刻画金金融时间间序列的的尖峰厚厚尾特征征。2.2.3一元元GARRCH模模型的扩扩展对于GAARCHH模型的的扩展主主要包括括两个方方向，第第一个方方向是将将具有厚厚尾特征征的统计计分布如如t分布布、广义义误差分分布（GGED）等等引入到到模型中中，即不再假设设标准化化残差服服从标准准化的一元正态态分布而而是假设设其服从从一元标标准t分分布或者者一元标标准GEE
29、D分布布。例如如假设标标准差化化残差服从从自由度度为v的的一元标标准t分分布，则则有： （公公式26）这里标准准化的残残差服从从自由度度为v，期期望值为为0，方方差为11的标准化化t分布布，为了了更清楚楚的说明明t分布布与服从从正态分分布的差差别，我我们可以以将改写写为：其中服从从一元标准准正态分分布，服服从逆伽伽玛（IInveersee Gaammaa）分布布，即，那么就就服从自自由度为为v的tt分布。的引入入能够更更好的刻刻画金融融资产的的尖峰厚厚尾特征征。在GGARCCH-tt模型里里，金融融资产收收益率的的异常值值（大的的）的出出现即可可能是由由于波动动值增加加造成的的，也有有可能是是
30、由于大大的所造造成。这这样模型型就更能能够更好好的拟合合金融资资产的厚厚尾特征征和异常常值的分分布，同同时估计计出的GGARCCH-tt模型的的波动值值序列一般般将较GAARCHH-Normmal模模型更为为平缓，这这对波动动的估计计与预测测具有十十分重要要的意义义（Bolllerrsleev, T (19887)，Erric Jaccquiier,etll(20004)）。那么，GGARCCH-tt模型的的对数似然然函数假设服从自由度为v、规模参数为的t分布，那么的密度函数可表示为： ，那么，取规模参数，则我们就可以得到均值为0，方差为1的标准化t变量，其密度函数可表示为：。就就可以表表示为
31、：为了保证证模型的的似然函函数和二二阶矩存存在，我我们需要要限制tt分布的的自由度度大于22。这样样，对GGARCCH模型型的估计计就变成成了在vv2的条条件下对对模型参参数的优优化问题题。实践中GGARCCH模型型残差分分布的另另一个常常见假设设便是广广义误差差分布（GGED）。此时GAARCHH模型的的对数似似然函数数可表示示为：这里的参参数，当当时，GGED分分布就变变成了正正态分布布。当时时，分布布具有厚厚尾特征征。GARCCH模型型另一个个主要的的扩展方方向便是是考虑杠杠杆效应应。传统统的GAARCHH模型假假定金融融资产收收益率下下跌或者者上升对对波动率率的影响响是相同同的，然然而
32、实证证研究往往往表明明，金融融资产收收益率的的波动往往往具有有杠杆效效应，即金融融波动对对收益率率下跌时时的反应应会比对收收益率上上升时的的反应更更加迅速速和剧烈烈。GAARCHH模型族族中包括括若干种种可以描描述这种种杠杆效效应的模模型，主主要包括括Zakkoiaan(119900)提出出的门限限ARCCH（TThreeshoold ARCCH，TTARCCH）模模型、NNelsson(19991)提提出的指指数GAARCHH(Exxponnenttiall GAARCHH,EGGARCCH)模模型等。EEGARRCH(1,11)-NNormmal模模型可表示如下下： （公公式27）杠杆效应
33、应的存在在性可以系系数值进行判判断。如如果，就就说明存存在杠杆杆效应，下跌时的波动率高于上升时的波动率。此外，我们从EGARCH模型表达式中可以看出，其是对条件方差的对数而非直接对条件方差本身进行建模，所以本身就暗含着条件方差为正的限制，这样就可以减少传统GARCH模型对参数的限制，从而使得EGARCH模型更具灵活性与简便性。 另一一种常用用的描述述杠杆效效应的GGARCCH模型型便是TTARCCH模型型，TAARCHH(1，1)-Normal模型可表述如下： （公式式288）其中是一一个虚拟拟变量，当当时，否否则。这样只只要杠杆杆系数就就存在着着杠杆效效应。在在TARRCH模模型中，对对于利
34、好好消息，对于波动只有倍的冲击，而对于利空消息，则有（）倍的冲击。如果则说明存在着杠杆效应。我们还可可以将厚厚尾分布布与杠杆杆效应组组合在一一起形成成EGAARCHH-t模模型和TTARCCH-tt模型及及EGAARCHH-geed模型型和TAARCHH-geed模型型等，这这样就可可以同时时刻画金金融资产产收益率率的厚尾尾分布特特征和杠杠杆效应应。EGARRCH(1,11)-tt模型可可表达如如下：TARCCH(11,1)-t模模型可表表达如下下：本章附录录的附表表2-11总结了了一元AARCHH模型族族的主要要特点。下下面我们们分析另另一种常常见的金金融波动动模型一元元随机波波动模型型族。
35、2.3一一元随机机波动模模型族分析2.3.1 一一元随机机波动基基本模型型分析GARCCH模型型由于估估计相对对较为简便便，因此此在实证证研究中中得到了了广泛应应用，然然而其却却很难嵌嵌入到传传统的经经济学和和金融学学理论中中。这是因因为：在GAARCHH模型中中隐含着着资产收收益率和和波动过过程具有确定定性的联联系，而而这很难难从理论论上得到到严格的的证实（GGarllandd B. Duurhaam,220066,20007），特特别是随随着对金金融风险险管理要要求的提提高，以以及以金金融资产产波动率率基础的的金融衍衍生品的的层出不不穷，这这就对准准确刻画画金融资资产的波波动过程程提出了了
36、更高的的要求。正正是在这这种背景景下，随随机波动动（SVV）模型型被引入入到金融融统计和和金融计计量经济济学领域域。随机波动动模型最最早由TTayllor(19882)和和Tauucheen & Piitt(19882)提提出，近近年来，随随机波动动模型的的研究与与应用已已成为金金融计量量经济学学的热点点与难点点问题之之一。与与ARCCH模型型族相比比，随机机波动模模型中包包含了两个随随机过程程来描述述金融资资产，一一个用来来描述收收益率的变化化，一个个用来描描述波动动的变化化。也就就是说在在随机波波动模型型中，条条件方差差是一个个不可观观测的随随机过程程，这就就为描述述金融资资产的统统计特征
37、征提供了了一个相相对更加加复杂但但又更合理的的建模思思路。一元随机机波动的的基本模模型SVV-Noormaal模型型可表达达为： （公式式299）其中是一一个反映映波动平平均水平平的常数数，是波波动的持持续性参参数，反反映了过过去滞后后一期波波动对当当前波动动的影响响，为了了保证模模型平稳稳我们需需要限制制。随机波波动模型型假设波波动方程程中的随随机变量量服从标标准化正正态分布布N(00,1)，且满满足。而参数数则反映映了波动动对数值值的标准准差。比较公式式244和公式式299，我们们可以看看出随机机波动与与GARRCH模模型主要要的差异异在于其其波动方方程中引引入了一一个随机机变量，这样模模
38、型就可可以更好好的刻画画金融波波动的随随机特征征，也可可以更好好的与传传统经济济与金融融理论相相匹配。但但从公式式中我们们也可以以看出，对于SV-Normal模型而言，可观测量为已知的日收益率序列，不可观测变量为参数、和以及潜在的对数波动序列，参数的联合分布形式非常复杂，随机波动模型的似然函数很难精确表达，传统的极大似然函数法在这里不再有效，这使得随机波动模型的估计较为困难。在下面小节中我们将专门探讨随机波动模型的估计方法。下面简要要推导一一下SVV-Noormaal的矩矩特征。由由于，那那么的无无条件期期望和方方差分别别为：因为服从从独立同同分布的的，所以以无条件件服从均均值为，方方差为的的
39、一元正态态分布，即即：那么（）服从对对数正态态分布，则其无条件期望。 那么残差差项的无条件件期望和和方差为为：同理，我我们可以以得到的的阶矩为为：那么的峰峰度为：这里的为为标准化化残差的的峰度指指标，如如果假设设服从独独立同分分布的一一元标准准正态分分布，那那么，又又由于，所所以必有有。这意意味着与与正态分分布相比比，SVV-Noormaal模型型具有过过度峰度度，这一一特征能能够更好好的刻画画金融时时间序列列的尖峰峰厚尾特特征。2.3.2 一一元随机机波动模模型的扩扩展与GARRCH模模型类似似，标准准的SVV模型也也可以向向两个方方向进行行扩展：第一个个方向是是在均值值方程中中，假设设标准
40、化化残差不不再服从从标准正正态分布布，而是是服从某些些厚尾分分布如一一元标准准t分布布等，如如Gewwekee(19994)、Gaallaane etll(19997)等。通通过假设设标准化化残差服服从厚尾尾的一元元t分布布，模型型就能更更准确的的刻画金金融资产产的尖峰峰厚尾特特征。当当然我们们可以在波波动方程程中假设设随机变变量服从从厚尾的的t分布布，但为为了保证证的矩存存在，我我们一般般不采用用这种方方法（当当服从tt分布时时，exxp()的矩不不存在（Eriic JJacqquieer.eetl，20004）。则SV-t模型型可表述述如下： （公公式210）另一个方方向则是是考虑杠杠杆效
41、应应，也就就是说均均值方程程中的标准准化残差差和波动动方程中中的标准准化残差差是相关关的。按按照模型型假定的的不同可可以其可可以分为为两大类类：一类类是Haarveey AA.C, Shhephhardd N（119966）提出出的模型型（简称称SV-HS-Norrmall模型），其可表达如下： （公公式211）杠杆效应应体现在在参数上上，当时时存在着着杠杆效效应。另一类方方程由JJacqquieer EE等(220044)提出出（简称称SV-JPRR-Noormaal模型型），其其表达式式为： （公公式212）从这两个个模型的的表达式式来看，其其主要区区别在于于对残差差项相关关关系假假设的不
42、不同。HHS模型型假设，而而JPEE模型直直接假设设，这样直直接导致致的后果果是：JJPE模模型不是是鞅差（mmarttinggalee diiffeerennce）序序列，HHS则是是鞅差序序列（JJun Yu(20005),Garrlannd DDurhham(20006)） 这是因为对于HS模型而言，而对于JPE模型而言，故JPE模型不是鞅差序列。从这个意义上说，HS模型较JPE模型更符合金融理论。从这个意义上说，HS模型较JPE模型更符合有效市场理论。而从两个模型的绩效比较来看， Jun Yu(2005) 利用S&P500指数数据（从1980年1月至1987年12月）和CRSP数据（从
43、1986年1月至1995年12月）研究发现，SV-HS模型模型绩效优于SV-JPE、模型，而Garland Durham(2007)利用S&P500指数数据、DJIA指数数据和Nasdaq指数数据研究时发现，SV-HS模型模型绩效劣于SV-JPE模型。据笔者所知国内尚缺乏对考虑杠杆效应随机波动模型的研究，本文拟实证研究比较SV-HS模型和SV-JPE模型的绩效。同时，我们可以将厚尾分布和杠杆效应结合在一起，构建基于厚尾t分布假设基础之上的SV-HS-t模型和SV-JPE-t模型。有理由认为这两个新的模型会更好地拟合实际金融数据。SV-HHS-tt模型可可表述如如下： (公公式213)同理，SS
44、V-JJPE-t也可可表述如如下： （公式式2114）2.3.3 马马尔可夫夫转换随随机波动动模型尽管一元元金融波波动模型型在刻画画一元金金融资产产的波动动特征方方面取得得了重要要的进展展，但是是在以往往的研究究中学者者一般均均假定金金融资产产的波动动是一个个连续的的单一状状态，也也就是说说假定波波动的统统计特征征在研究究样本期期内不发发生结构构性变化化。基于于这种假假设基础础之上的的模型估估计出的的金融资资产的波波动往往往具有较较高的持持续性。DDiebboldd（19986）、LLamoouruuex & LLasttrappes(19990)认认为这种种波动的的高持续续性可能能是因为为忽
45、略了了在样本本期限波波动结构构发生了了某种变变化。条条件波动动的高持持续性意意味着外外界对波波动的冲冲击不会会很快消消失，当当前的信信息对未未来一段段时间内内的条件件波动率率仍具有有显著的的影响。而而波动持持续性的的高低对对研究金金融资产产的波动动特征和和定价具具有十分分重要的的作用。因因此有必必要在建建模时将将波动可可能存在在的结构构性变化化纳入考考量范围围。特别别是类似似中国大大陆这样样的具有有浓厚的的“新兴加加转轨”特征的股股票市场场，由于于受到宏宏观经济济运行、政政策面、资资金面和和一些突突发事件件的影响响，其波波动起伏伏往往非非常剧烈烈，其景景气状况况周期性性地在高高风险状状态和低低
46、风险状状态之间间相互转转换。一个很自自然的选选择便是是将马尔尔可夫转转换（MMarkkov Swiitchhingg）模型型和金融融波动模模型相结结合，利利用金融融波动模模型刻画画金融资资产波动动的时变变和聚集集等特征征，利用用马尔可可夫转换换模型刻刻画金融融波动的的状态转转换特征征。马尔尔可夫转转换模型型最早由由Hammiltton（119899）提出出，又被被称作体体制转换换（Reegimme SSwittchiing）模模型。其其基本思思路是假假设模型型参数随随从某一一无法观观测到的的状态变变量变化化而变化化，而且且该状态态变量的的变化服服从一个个一阶的的马尔可可夫过程程。与传传统模型型
47、相比，这这类模型型的主要要创新之之处是在模型型中加入入了马尔尔可夫型型的概率率结构，这这样模型型参数就就具有了了随时间间和状态态变化而而变化的的特征，从从而可以以更好地地刻画时时间序列列可能发发生的结结构性变变化。将将马尔可可夫转换换模型和和金融波波动模型型相结合合最早可可追溯于于Caii(19994)和Haamilltonn & Sussmell（19994），他他们将马马尔可夫夫转换模模型和一一元ARRCH模模型相结结合构建建了SWWARCCH模型型，其研研究均发发现加入入马尔可可夫转换换后ARRCH模模型的持持续性有有所降低低。这是是因为马马尔可夫夫转换模模型可以以有效地地将样本本期间发
48、发生的结结构性变变化加以以提炼，故故能有效效降低模模型中纯纯ARCCH成分分的持续续性（LLin& Chhen(19999)）。国内一些学者如蒋祥林、王春峰和吴晓霖（2004）、丁志国、苏治、 杜晓宇（2007）等也利用SWARCH模型对中国金融市场进行了实证研究。但是将马尔可夫转换模型和GARCH模型相结合（MSGARCH）则有可能面临严重的路径依赖问题，Gray(1996) 和Klaassen(2002)提出用滞后方差的条件期望值来代替滞后的波动值。另一种马马尔可夫夫转换金金融波动动模型便便是将马马尔可夫夫转换模模型与随随机波动动模型相相结合构构建马尔尔可夫转转换随机机波动模模型（MMSSVV），国国外这方方面的研研究包括括So,Lamm,Lii(19998)、Smiith(20002)、Kallimiipallli（20004）和Hwaang(20007)等等。但目前前国内尚尚无文献献探讨MMSSVV模型的的特征与与建模方方法，本本文拟填填补此空空白并在在国外模模型基础础上进行行适当推推广。MSSVV-Noormaal模型型的基本本框