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1、第5章 扭转 材料力学本讲稿第一页，共二十七页ABABj jg gmm受力特点受力特点:外力偶作用平面和杆件横截面平行外力偶作用平面和杆件横截面平行5.1 圆轴扭转的概念圆轴扭转的概念扭转扭转扭转扭转变形特点变形特点:各个横截面均绕轴线发生相对转动各个横截面均绕轴线发生相对转动转角转角：任意两截面间相对转过的角度。：任意两截面间相对转过的角度。扭转变形扭转变形轴，圆轴轴，圆轴本讲稿第二页，共二十七页 5.2.1 外力偶矩的计算外力偶矩的计算5.2 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图转速转速：n(转转/分分)输入功率输入功率：P(kW)T1分钟输入功：分钟输入功：1分钟分钟m作功作功扭转扭转扭转扭转本讲稿
2、第三页，共二十七页 例例 传动轴如图所示，主动轮传动轴如图所示，主动轮A输入功率输入功率PA=50kW，从动轮，从动轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。，计算各轮上所受的外力偶矩。MAMBMCBCADMD解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩扭转扭转扭转扭转本讲稿第四页，共二十七页 5.2.2 横截面上的内力横截面上的内力扭矩扭矩 1.横截面上的内力：横截面上的内力：扭矩扭矩(MT)2.扭矩求法：截面法扭矩求法：截面法 3.扭矩符号规定：右手螺旋法则扭矩符号规定：右手螺旋法则 5.2.3 扭矩
3、图扭矩图 与轴力图作法完全相同与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小纵坐标改为扭矩大小)。例例 计算上例中所示轴的扭矩，并作扭矩图。计算上例中所示轴的扭矩，并作扭矩图。MAMBMCBCADMD解：已知解：已知477.5Nm955Nm637NmMT+-作扭矩图如左图示。作扭矩图如左图示。扭转扭转扭转扭转本讲稿第五页，共二十七页例例 图示传动轴，转速图示传动轴，转速n=500r/min，输，输入功率入功率PA=10kW，输出功率分别为，输出功率分别为PB=4kW与与PC=6kW。试计算轴的扭矩，。试计算轴的扭矩，并画扭矩图并画扭矩图解：解：1.扭力矩计算扭力矩计算2.扭矩计算扭矩计算3.作扭矩图
4、作扭矩图扭转扭转扭转扭转MTMT2MT1本讲稿第六页，共二十七页例例5-1 图示传动轴，其转速n=300r/min，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B，C，D输出功率分别为PB=30kW，PC=40 kW，PD=50 kW。试画出该轴的扭矩图。解解：（1）计算外力矩（2）计算扭矩 BA段 AC段 CD段（3）画扭矩图 扭转扭转扭转扭转MAMBMCMDMBMT1MBMAMT2MDMT3MAMBMCMDABCD+一一MT(N.m)0.9552.871.592x本讲稿第七页，共二十七页扭转实验前扭转实验前平面假设平面假设成立成立相邻截面绕轴线作相对转动相邻截面绕轴线作相对转动横截面上各点的切
5、应力的方向横截面上各点的切应力的方向必与圆周线相切。必与圆周线相切。纵线圆周线扭转实验后扭转实验后结论结论扭转扭转扭转扭转5.3 纯剪切纯剪切5.3.1薄壁圆管扭转时的切应力薄壁圆管扭转时的切应力本讲稿第八页，共二十七页得：得：Mer0 x扭转扭转扭转扭转5.3.2 切应力互等切应力互等 定律定律切应力互等定律切应力互等定律纯剪切：单元体面各面上只有切应力纯剪切：单元体面各面上只有切应力而无正应力的应力状态而无正应力的应力状态ot tt tdydzdxxyz本讲稿第九页，共二十七页剪切胡克定律剪切胡克定律（线弹性范围适用）（线弹性范围适用）O另外有另外有：G为材料的切变弹性模量为材料的切变弹性
6、模量扭转扭转扭转扭转5.3.3剪切胡克定律剪切胡克定律本讲稿第十页，共二十七页abdxabMTMT5.4.1 变形几何关系变形几何关系5.4 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力 扭转扭转扭转扭转g gMeMedxO2g gr rg gr r5.4.2物理关系物理关系(剪切虎克定律剪切虎克定律)Or5.4.3 静力学关系静力学关系极惯性矩极惯性矩dAdA本讲稿第十一页，共二十七页应力公式应力公式1)横截面上任意点：横截面上任意点：2)横截面边缘点：横截面边缘点：其中：其中：d/2OMT抗扭截面模量抗扭截面模量D/2OMTd/2空心圆空心圆空心圆空心圆实心圆实心圆实心圆实心圆扭转扭转
7、扭转扭转本讲稿第十二页，共二十七页例例5-2 有两根横截面面积及载荷均相同的圆轴，其截面尺寸为实心轴d1=104mm；空心轴D2=120mm，d2=60mm，圆轴两端均受大小相等，方向相反的力偶M=10 kNm作用，试计算（1）实心轴最大切应力（2）空心轴最大切应力（3）实心轴最大切应力与空心轴最大切应力之比 解解：（1）计算抗扭截面模量（2）计算最大切应力实心轴空心轴（3）两轴最大切应力之比 即实心轴的最大应力约为空心轴的1.45倍 扭转扭转扭转扭转dDddAd本讲稿第十三页，共二十七页一、圆轴扭转变形一、圆轴扭转变形计算目的计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。：刚度计算、为解超静定问
8、题作准备。相对扭转角相对扭转角：GIp抗扭刚度抗扭刚度，表示圆轴抵抗扭转变形能力的强弱表示圆轴抵抗扭转变形能力的强弱。扭转扭转扭转扭转5-5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形本讲稿第十四页，共二十七页例例5-3 轴传递的功率为P=7.5kW，转速n=360 r/min。轴的AC段为实心圆截面，CB段为圆环截面，如图所示。已知D=30mm，d=20mm，轴各段的长度分别为lAC=100mm，lBC=200mm。材料的剪切弹性模量G=80GPa。试计算B截面相对于A截面的扭转角AB 解解：（1）计算扭矩（2）计算极惯性矩（3）计算扭转角AB扭转扭转扭转扭转MMABCDDd本讲稿第十五页，共二十七页
9、低碳钢扭转破坏低碳钢扭转破坏铸铁扭转破坏铸铁扭转破坏扭转扭转扭转扭转5.6 圆轴扭转时的强度与刚度计算圆轴扭转时的强度与刚度计算 扭转失效与扭转极限应力扭转失效与扭转极限应力扭转屈服应力扭转屈服应力s扭转强度极限扭转强度极限b扭转极限应力扭转极限应力0 5.6.1 强度计算强度计算根据强度条件可进行：根据强度条件可进行：强度校核强度校核;选择截面选择截面;计算许可荷载。计算许可荷载。强度条件强度条件：，t t许用切应力许用切应力；nWMT0 xttt=)(maxTma本讲稿第十六页，共二十七页 例例5-4 某某汽汽车车主主传传动动轴轴钢钢管管外外径径D=90mm，壁壁厚厚t=2.5mm，传传递
10、递扭扭矩矩MT=1.5kNm，t t=60MPa，试校核轴的强度。，试校核轴的强度。解解：计算截面参数：计算截面参数：由强度条件：由强度条件：故轴的强度满足要求。故轴的强度满足要求。同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理空心轴较实心轴合理。例例5-5 将上空心轴改成实心轴，强度不变将上空心轴改成实心轴，强度不变由上式解出：由上式解出：d=53.1mm。空心轴与实心轴的截面面积空心轴与实心轴的截面面积比比(重量比重量比)为：为：扭转扭转扭转扭转本讲稿第十七页，共二十七页例例5-6 两空心圆轴，通过联轴器用四个螺钉联接
11、，螺钉对称地安排在直径D1=140mm的圆周上。已知轴的外径D=80mm，内径d=60mm，螺钉的直径d1=12mm，轴的许用切应力=40MPa，螺钉的许用切应力=80MPa，试确定该轴允许传递的最大扭矩。解解：(1)计算抗扭截面模量(2)计算轴的许可载荷 该轴的扭矩即为作用在轴上的转矩，其许可转矩为(3)计算联轴器的许可载荷要使轴的扭转强度和螺钉的剪切强度同时被满足，最大许可转矩应小于2530N m。本讲稿第十八页，共二十七页 例例 某某传传动动轴轴，传传递递最最大大扭扭矩矩M=1.5kNm，许许用用切切应应力力t t=50MPa，试试按按下下列列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较重量。两种
12、方案确定轴的横截面尺寸，并比较重量。（1）实心圆截面轴）实心圆截面轴 （2）空心圆截面轴，其内外径比值）空心圆截面轴，其内外径比值di/d0=0.9解解：1.确定实心圆轴直径：确定实心圆轴直径：取取 d=54mm取取d0=76mm，d1=68mm。空心轴与实心轴截面的重量比（面积比空心轴与实心轴截面的重量比（面积比)为：为：扭转扭转扭转扭转2.确定空确定空 心圆轴内外径：心圆轴内外径：本讲稿第十九页，共二十七页扭转扭转扭转扭转 例例 图图示示阶阶梯梯形形传传动动轴轴，圆圆管管承承受受均均匀匀分分布布的的扭扭力力偶偶作作用用。校校核核圆圆管管强强度度。已已知知扭扭转转力力偶偶矩矩m=3500Nm
13、/m，轴轴长长l=1m，管管平平均均半半径径R0=50mm，左左段段管管壁壁厚厚1=5mm，右右段段管管壁壁厚厚2=4mm，许用切应力，许用切应力t t=50MPa。解解：1.扭矩分析扭矩分析 固定端支反力MA=mlx截面扭矩 MT=m(l-x)扭矩图如图，最大扭矩扭矩图如图，最大扭矩MTmax=ml2.强度校核强度校核 截面截面A为危险截面为危险截面截面截面B也为危险截面，也为危险截面，TB=ml/2圆管强度足够圆管强度足够本讲稿第二十页，共二十七页例 阶梯形圆轴d1=4cm，d2=7cm，输入功率P3=30kW，输出P1=17kW，轴匀速转动n=200r/min，材料许用切应力=60MPa
14、，G=80GPa，试校核轴强度。解解：（1）计算扭矩(2)强度校核强度满足扭转扭转扭转扭转M1M2M3本讲稿第二十一页，共二十七页 其中：其中：q q许用扭转角，许用扭转角，取值可根据有关设计标淮或规范确定。取值可根据有关设计标淮或规范确定。扭转扭转扭转扭转5.6.2 刚度计算刚度计算单位长度的扭转角单位长度的扭转角：或或刚度条件刚度条件本讲稿第二十二页，共二十七页例例5-7一传动轴如图所示，已知轴的转速n=208r/min，主动轮A传递功率为PA=6kW，而从动轮B、C输出功率分别为PB=4kW，PC=2kW，轴的许用切应力=30MPa，许用单位扭转角=1/m，剪切弹性模量G=80 103M
15、Pa。试按强度条件及刚度条件设计轴的直径。解解：（1）计算轴的外力矩（2）画扭矩图（3）按强度条件设计轴的直径（4）按刚度条件设计轴的直径 为了满足刚度和强度的要求，应取两个直径中的较大值，即取轴的直径d=34mmABCMAMBMC本讲稿第二十三页，共二十七页例例5-8 两空心轴通过联轴器用四个螺栓联结，螺栓对称安排在直径D1=140mm的圆周上。已知轴的外径D=80mm，内径d=60mm，轴的许用剪应力=40MPa，剪切弹性模量G=80GPa，许用单位扭转角=1/m，螺栓的许用剪应力=80MPa。试确定该结构允许传递的最大转矩。解解：（1）在例5-6中已解出，按强度设计允许传递的最大转矩为（
16、2）按刚度条件确定轴所传递的扭矩 要使轴的强度、刚度和螺栓的强度同时满足，该结构所传递的最大转矩为：Mo=2530N m本讲稿第二十四页，共二十七页 例例 图示圆截面轴图示圆截面轴AC，承受扭力矩，承受扭力矩MA，MB与与MC 作用，试计算该轴的作用，试计算该轴的总扭转角总扭转角AC(即截面即截面C对截面对截面A的相对转角的相对转角)，并校核轴的刚度。，并校核轴的刚度。已知已知MA180Nm，MB320 N m，MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：解：1扭转变形分析扭转变形分析利用截面法，得利用截面法，得AB段段BC段的扭矩分别为：段的扭矩分别为：MT
17、1180 Nm，MT2-140 Nm设其扭转角分别为设其扭转角分别为AB和和BC，则：，则：扭转扭转扭转扭转本讲稿第二十五页，共二十七页 各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。由此得轴由此得轴AC的总扭转角为的总扭转角为 2 刚度校核刚度校核 轴轴AC为等截面轴，而为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭段的扭转角变化率为：转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度可见，该轴的扭转刚度符合要求符合要求。扭转扭转扭转扭转本讲稿第二十六页，共二十七页例例 某传动轴，扭矩某传动轴，扭
18、矩MT=200kNm，若单位长度许用扭转角，若单位长度许用扭转角0.50m，切变模量，切变模量G80GPa，试根据刚度要求设计，试根据刚度要求设计轴径轴径d。扭转扭转扭转扭转解：按解：按 实心轴扭转刚度要求实心轴扭转刚度要求 例例 图示圆锥形轴，两端承受扭力偶图示圆锥形轴，两端承受扭力偶矩矩M作用。设轴长为作用。设轴长为l，左、右端直径，左、右端直径分别为分别为d1与与d2，材料切变模量为，材料切变模量为G,试试计算轴的总扭转角。计算轴的总扭转角。解：设解：设x截面的直径截面的直径d(x)该截面极惯性矩该截面极惯性矩轴总扭转角轴总扭转角该截面扭矩该截面扭矩 MT=M本讲稿第二十七页，共二十七页