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1、第4章 拉氏变换本讲稿第一页，共三十九页1 傅里叶变换傅里叶变换 当信号满足绝对可积条件时，可以进行以下傅里当信号满足绝对可积条件时，可以进行以下傅里 叶变换和反变换：叶变换和反变换：一、从傅里叶到拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第四章第四章 连续系统的连续系统的s s域分析域分析本讲稿第二页，共三十九页 频域分析频域分析以以虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意信为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：应的求解得到简化。物理意义清楚。
2、但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如）有些重要信号不存在傅里叶变换，如 e2t(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。(3)傅里叶反变换不好求傅里叶反变换不好求 本讲稿第三页，共三十九页 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。广到复频域来解决这些问题。本章引入本章引入复频率复频率 s=+j,以复指数函数以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独的复指数分量之和。这里用于系统分析
3、的独立变量是立变量是复频率复频率 s，故称为，故称为s域分析域分析。所采用。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。的数学工具为拉普拉斯变换。2 2 拉普拉斯变换引入拉普拉斯变换引入本讲稿第四页，共三十九页有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号为实常数）乘信号f(t)，适当选取，适当选取 的值，使乘积信号的值，使乘积信号f(t)e-t当当t时信号幅度趋近于时信号幅度趋近于0，从而，从而使使f(t)e-t的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换相应的傅里叶逆变换 为为f
4、(t)e-t=F Fb b(+j+j)=)=f(t)e-t=令令s=+j,d =ds/j，有，有本讲稿第五页，共三十九页4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。的双边拉氏逆变换（或原函数）。二、收敛域二、收敛域 只有选择适当的只有选择适当的 值才能使积分收敛，信号值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯的双边拉普拉斯变换存在。变换存在。使使 f(t)拉氏变换存在拉氏变换存在 的取值范围称为的取值范围称为Fb(s)的收敛域。的收敛域。下面
5、举例说明下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。收敛域的问题。本讲稿第六页，共三十九页4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例1 因果信号因果信号f1(t)=e t (t)，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。解解 可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域如图所示。收敛域收敛域收敛边界收敛边界1 1 部分平面收敛部分平面收敛本讲稿第七页，共三十九页4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例2 反因果信号反因果信号f2(t)=e t(-t)，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。解解 可见，对于反因果信号，仅当可见
6、，对于反因果信号，仅当Res=时，其收敛域为时，其收敛域为 Res 2Res=3 3 2可见，象函数相同，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标双边拉氏变换必须标出收敛域。出收敛域。本讲稿第十页，共三十九页收敛域情况收敛域情况:1 1 部分平面收敛部分平面收敛2 2 整个整个s s平面均收敛平面均收敛3 3 在在s s平面均不收敛平面均不收敛本讲稿第十一页，共三十九页4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变
7、换。，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。三、单边拉氏变换三、单边拉氏变换 简记为简记为F(s)=f(t)f(t)=-1F(s)或或 f(t)F(s)本讲稿第十二页，共三十九页4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换 1、(t)1，-2、(t)或或1 1/s，03、指数函数、指数函数e-s0t -Res0cos 0t=(ej 0t+e e-j-j 0t)/2 sin 0t=(ej 0t e e-j-j 0t)/2j 本讲稿第十三页，共三十九页4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换4、周期信号、周期信号fT(t)特例特例：T(t)1/(1
8、e-sT)本讲稿第十四页，共三十九页4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 Res 0 要讨论其关系，要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。必须为因果信号。根据收敛坐标根据收敛坐标 0的值可分为以下三种情况：的值可分为以下三种情况：（1）0-2；则则 F(j)=1/(j+2)本讲稿第十五页，共三十九页4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换（2）0=0，即即F(s)的收敛边界为的收敛边界为j 轴，轴，如如f(t)=(t)F(s)=1/s=()+1/j （3）0 0，F(j)不存在。不存在。例例f(t)=e2t(t)F(s)=
9、1/(s 2),2；其傅里叶变换；其傅里叶变换不存在。不存在。本讲稿第十六页，共三十九页4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质一、线性性质一、线性性质若若f1(t)F1(s)Res 1,f2(t)F2(s)Res 2则则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)Resmax(1,2)例例f(t)=(t)+(t)1+1/s，0 二、尺度变换二、尺度变换若若f(t)F(s),Res 0，且有实数，且有实数a0，则则f(at)Resa 0 本讲稿第十七页，共三十九页4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例：如图信
10、号例：如图信号f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(s)=求图中信号求图中信号y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)。解：解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=42 F(2s)本讲稿第十八页，共三十九页4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质三、时移（延时）特性三、时移（延时）特性 若若f(t)F(s),Res 0,且有实常数且有实常数t00,则则f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s),Res 0 与尺度变换相结合与尺度变换相结合f(at-t0)(at-t0)例例1:求如图信号的单边拉氏变换。求如图信号的单边拉氏变换。解：解：f1(t)=(t)(t-1)，f2(t)=(t+1)(t-1
11、)F1(s)=F2(s)=F1(s)本讲稿第十九页，共三十九页4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2:已知已知f1(t)F1(s),求求f2(t)F2(s)解：解：f2(t)=f1(0.5t)f1 0.5(t-2)f1(0.5t)2F1(2s)f1 0.5(t-2)2F1(2s)e-2sf2(t)2F1(2s)(1 e-2s)例例3:求求f(t)=e-2(t-1)(t)F(s)=?本讲稿第二十页，共三十九页4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质四、复频移（四、复频移（s s域平移）特性域平移）特性 若若f(t)F(s),Res 0 ,且有复常数且有复常数sa=a+j
12、a,则则f(t)esat F(s-sa),Res 0+a 例例1:已知因果信号已知因果信号f(t)的象函数的象函数F(s)=求求e-tf(3t-2)的象函数。的象函数。解：解：e-tf(3t-2)例例2:f(t)=cos(2t/4)F(s)=?解解cos(2t/4)=cos(2t)cos(/4)+sin(2t)sin(/4)本讲稿第二十一页，共三十九页4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质五、时域的微分特性（微分定理）五、时域的微分特性（微分定理）若若f(t)F(s),Res 0,则则f(t)sF(s)f(0-)f(t)s2F(s)sf(0-)f(0-)f(n)(t)snF(s)若若
13、f(t)为因果信号，则为因果信号，则f(n)(t)snF(s)例例1:(n)(t)?例例2:例例3:本讲稿第二十二页，共三十九页4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质六、时域积分特性（积分定理）六、时域积分特性（积分定理）若若f(t)F(s),Res 0,则则 例例1:t2(t)?本讲稿第二十三页，共三十九页4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2:已知因果信号已知因果信号f(t)如图如图,求求F(s)解解：对：对f(t)求导得求导得f(t)，如图，如图由于由于f(t)为因果信号，故为因果信号，故f(0-)=0f(t)=(t)(t 2)(t 2)F1(s)结论：若结论：
14、若f(t)为因果信号，已知为因果信号，已知f(n)(t)Fn(s)则则 f(t)Fn(s)/sn本讲稿第二十四页，共三十九页4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质七、卷积定理七、卷积定理 时域卷积定理时域卷积定理 若因果函数若因果函数 f1(t)F1(s),Res 1 ,f2(t)F2(s),Res 2则则 f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s)复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理 例例1：t(t)?例例2：已知：已知F(s)=例例3：本讲稿第二十五页，共三十九页4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质八、八、s s域微分和积分域微分和积分 若若f(t)F(s),R
15、es 0,则则 例例1：t2e-2t(t)?e-2t(t)1/(s+2)t2e-2t(t)本讲稿第二十六页，共三十九页4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2：例例3：本讲稿第二十七页，共三十九页4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f(），而不），而不必求出原函数必求出原函数f(t)初值定理初值定理设函数设函数f(t)不含不含(t)及其各阶导数（即及其各阶导数（即F(s)为真分式，若为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），为假分式化为真
16、分式），则则 终值定理终值定理 若若f(t)当当t 时存在，并且时存在，并且 f(t)F(s),Res 0,00，则则 本讲稿第二十八页，共三十九页4.2 4.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例1：例例2：本讲稿第二十九页，共三十九页5.4 5.4 复复频频域分析域分析 4.4 4.4 复复频频域域系统系统分析分析 一、微分方程的变换解一、微分方程的变换解 描述描述n阶系统的微分方程的一般形式为阶系统的微分方程的一般形式为 系统的初始状态为系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),，y(n-1)(0-)。思路思路：用：用拉普拉斯变换微分特性拉普拉斯变换微分特性若若f(t)在在t=0时
17、接入系统，则时接入系统，则 f(j)(t)s j F(s)本讲稿第三十页，共三十九页4.4 4.4 复复频频域分析域分析例例1 描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+6 f(t)已知初始状态已知初始状态y(0-)=1，y(0-)=-1，激励，激励f(t)=5cost(t)，求系统的全响应求系统的全响应y(t)解解：方程取拉氏变换，并整理得方程取拉氏变换，并整理得y(t)，yx(t)，yf(t)s域的代数方程Yx(s)Yf(s)本讲稿第三十一页，共三十九页4.4 4.4 复复频频域分析域分析y(t)=2e2t (t)e3t (t)-4e
18、2t (t)+yx(t)yf(t)暂态分量暂态分量yt(t)稳态分量稳态分量ys(t)若已知若已知y(0+)=1，y(0+)=9Yx(s)Yf(s)本讲稿第三十二页，共三十九页4.4 4.4 复复频频域分析域分析二、系统函数二、系统函数 系统函数系统函数H(s)定义为定义为 它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。态无关。yf(t)=h(t)*f(t)H(s)=L h(t)Yf(s)=L h(t)F(s)本讲稿第三十三页，共三十九页4.4 4.4 复复频频域分析域分析例例2 已知当输入已知当输入f(t)=e-t(t)时，某时，某L
19、TI因果系统的零状态响因果系统的零状态响应应 yf(t)=(3e-t -4e-2t +e-3t)(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。解解h(t)=(4e-2t-2e-3t)(t)微分方程为微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t)s2Yf(s)+5sYf(s)+6Yf(s)=2sF(s)+8F(s)取逆变换取逆变换 yf(t)+5yf(t)+6yf(t)=2f(t)+8f(t)本讲稿第三十四页，共三十九页4.4 4.4 复复频频域分析域分析三、系统的三、系统的s域框图域框图 时域框图基本单元时域框图基本单元f(t)
20、af(t)y(t)=a f(t)s域框图基本单元域框图基本单元s1F(s)Y(s)=s1F(s)aF(s)Y(s)=a F(s)f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)+F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)+本讲稿第三十五页，共三十九页4.4 4.4 复复频频域分析域分析X(s)s-1X(s)s-2X(s)例例3 如图框图，列出其微分方程如图框图，列出其微分方程解解 画出画出s域框图域框图,s-1s-1F(s)Y(s)设左边加法器输出为设左边加法器输出为X(s)，如图，如图X(s)=F(s)3s-1X(s)2s-2X(s)s域的代数方程Y(s)=X(s)+4s-2X
21、(s)微分方程为微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)+4f(t)再求再求h(t)?本讲稿第三十六页，共三十九页4.4 4.4 复复频频域分析域分析四、电路的四、电路的s域模型域模型 对时域电路取拉氏变换对时域电路取拉氏变换 1、电阻、电阻 u(t)=R i(t)2、电感、电感 U(s)=sLIL(s)LiL(0-)U(s)=R I(s)元件的元件的s域模域模型型本讲稿第三十七页，共三十九页4.4 4.4 复复频频域分析域分析3、电容、电容 I(s)=sCUC(s)CuC(0-)4、KCL、KVL方程方程本讲稿第三十八页，共三十九页4.4 4.4 复复频频域分析域分析例例4 如图所示电路，已知如图所示电路，已知uS(t)=(t)V，iS(t)=(t)，起始状态起始状态uC(0-)=1V，iL(0-)=2A，求电压，求电压u(t)。解解 画出电路的画出电路的s域模型域模型Us(s)=1/s，Is(s)=1u(t)=et(t)3tet(t)V 若求若求ux(t)和和uf(t)本讲稿第三十九页，共三十九页