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1、第四章拉氏变换及其性质第四章拉氏变换及其性质本讲稿第一页，共二十六页2022/9/20信号与系统4.1 引言引言一、拉普拉斯变换的历史背景一、拉普拉斯变换的历史背景 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是先在实际中应用，然后才经过严格论证是先在实际中应用，然后才经过严格论证的一种方法。是由英国工程师赫维赛德的一种方法。是由英国工程师赫维赛德1919世纪末世纪末提出的，称提出的，称为为“算子法算子法”。后来人们在拉普拉斯的著作中找到了可靠的。后来人们在拉普拉斯的著作中找到了可靠的数学依据，进行了数学依据，进行了严格的数学定义严格的数学定义，取之名为拉普拉斯变，取之名为拉普拉斯变换方法。换方法。本讲稿第二页，
2、共二十六页2022/9/20信号与系统引引引引 言言言言二、拉普拉斯变换是分析连续、线性、时不变系统二、拉普拉斯变换是分析连续、线性、时不变系统的强有力的工具：的强有力的工具：1.使求解微积分方程变得简单，将方程转化为使求解微积分方程变得简单，将方程转化为代数方程代数方程求解求解2.变换的函数（象函数）都比较简单，对信号的要求条件变换的函数（象函数）都比较简单，对信号的要求条件放放宽宽3.在系统分析中拉氏变换分析法能在系统分析中拉氏变换分析法能自动引入边界值自动引入边界值（初始（初始条件）条件）4.卷积运算转换为卷积运算转换为乘法乘法运算运算5.定义了系统函数，可以通过定义了系统函数，可以通过
3、系统函数系统函数分析系统的特性分析系统的特性本讲稿第三页，共二十六页2022/9/20信号与系统4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域1.从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换傅里叶变换：傅里叶变换：对因果信号对因果信号本讲稿第四页，共二十六页2022/9/20信号与系统从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换不满足狄利克雷条件的信号不满足狄利克雷条件的信号f(t)f(t)必然是发散的，可以考虑必然是发散的，可以考虑信号乘上一个衰减因子使其收敛就有信号乘上一个衰减因子使其收敛就有可能可能满足满足狄
4、利克雷条狄利克雷条件件。有几种情况不满足狄利克雷条件：阶跃信号 u(t)增长信号周期信号若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛，满足狄利克雷条件本讲稿第五页，共二十六页2022/9/20信号与系统从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换单边单边拉普拉斯变换及其逆变换：拉普拉斯变换及其逆变换：本讲稿第六页，共二十六页2022/9/20信号与系统例题：例题：对对 的要求？的要求？本讲稿第七页，共二十六页2022/9/20信号与系统2.拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域指数阶信号乘以衰减因子一定收敛，其拉普拉斯变换的收敛域指数阶信号
5、乘以衰减因子一定收敛，其拉普拉斯变换的收敛域为：为：特殊的：特殊的：有限区间信号及其能量有限信号其拉氏变换的收敛有限区间信号及其能量有限信号其拉氏变换的收敛域为整个域为整个S平面平面思考：思考：左边信号左边信号和和双边信号双边信号拉普拉斯变换的收敛域？拉普拉斯变换的收敛域？本讲稿第八页，共二十六页本讲稿第九页，共二十六页2022/9/20信号与系统3.3.典型信号的拉普拉斯变换及其收敛域典型信号的拉普拉斯变换及其收敛域典型信号的拉普拉斯变换及其收敛域典型信号的拉普拉斯变换及其收敛域其他函数见课本：其他函数见课本：其他函数见课本：其他函数见课本：P P P P181 181 181 181 表表
6、表表4 4 4 41 1 1 1本讲稿第十页，共二十六页2022/9/20信号与系统4.4.单边拉普拉斯变换的积分区间单边拉普拉斯变换的积分区间单边拉普拉斯变换的积分区间单边拉普拉斯变换的积分区间(1)(1)单边单边单边单边拉氏变换求解的拉氏变换求解的拉氏变换求解的拉氏变换求解的积分区间积分区间积分区间积分区间为：为：为：为：0,)0,)，这一点要特别注意。，这一点要特别注意。，这一点要特别注意。，这一点要特别注意。(-(-,0),0)区间的信号对求解单边拉普拉斯变换不影响，因此函数可能不一样，区间的信号对求解单边拉普拉斯变换不影响，因此函数可能不一样，区间的信号对求解单边拉普拉斯变换不影响，
7、因此函数可能不一样，区间的信号对求解单边拉普拉斯变换不影响，因此函数可能不一样，但是但是但是但是单边单边单边单边拉普拉斯变换相同。今后不特殊说明都是指求解拉普拉斯变换相同。今后不特殊说明都是指求解拉普拉斯变换相同。今后不特殊说明都是指求解拉普拉斯变换相同。今后不特殊说明都是指求解单边拉普拉斯单边拉普拉斯单边拉普拉斯单边拉普拉斯变换变换变换变换。(2)(2)积分下限的取值积分下限的取值积分下限的取值积分下限的取值 取取取取0 0：0 0系统系统系统系统 取取取取0 0：0 0系统系统系统系统 0 0系统系统系统系统 ：考虑了系统在：考虑了系统在：考虑了系统在：考虑了系统在起始点跳变起始点跳变起始
8、点跳变起始点跳变的情况，更有利于系统分析的情况，更有利于系统分析的情况，更有利于系统分析的情况，更有利于系统分析 今后的下限都取今后的下限都取今后的下限都取今后的下限都取0 0本讲稿第十一页，共二十六页2022/9/20信号与系统一、线性一、线性二、原函数微分（时域微分）二、原函数微分（时域微分）4.3拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质本讲稿第十二页，共二十六页2022/9/20信号与系统o例题：本讲稿第十三页，共二十六页2022/9/20信号与系统三、原函数积分（时域积分）三、原函数积分（时域积分）三、原函数积分（时域积分）三、原函数积分（时域积分）利用时域微分、积分特性可以将时域微、积分
9、方程转化为代数利用时域微分、积分特性可以将时域微、积分方程转化为代数方程求解。方程求解。例例44：微分方程的拉氏变换求解：微分方程的拉氏变换求解例例:求图示信号的拉氏变换求图示信号的拉氏变换本讲稿第十四页，共二十六页2022/9/20信号与系统拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质四、象函数的微分、积分（四、象函数的微分、积分（四、象函数的微分、积分（四、象函数的微分、积分（S S域微分、积分特性）域微分、积分特性）域微分、积分特性）域微分、积分特性）本讲稿第十五页，共二十六页2022/9/20信号与系统o举例：本讲稿第十六页，共二十六页2022/9/20信号与系统五、延时（时域平移）五、延时（
10、时域平移）五、延时（时域平移）五、延时（时域平移）注意：延时（时域平移）性质的应用一定要注意信号原始的形状注意：延时（时域平移）性质的应用一定要注意信号原始的形状注意：延时（时域平移）性质的应用一定要注意信号原始的形状注意：延时（时域平移）性质的应用一定要注意信号原始的形状没有被改变，也就是说平移后的波形应该对应原始信号求解没有被改变，也就是说平移后的波形应该对应原始信号求解没有被改变，也就是说平移后的波形应该对应原始信号求解没有被改变，也就是说平移后的波形应该对应原始信号求解单边拉氏变换时的波形。单边拉氏变换时的波形。单边拉氏变换时的波形。单边拉氏变换时的波形。观察几个信号的波形的不同：观察
11、几个信号的波形的不同：拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质本讲稿第十七页，共二十六页2022/9/20信号与系统举例：举例：1.求图示信号的拉氏变换。求图示信号的拉氏变换。思考思考：周期信号的拉氏变换？：周期信号的拉氏变换？本讲稿第十八页，共二十六页2022/9/20信号与系统六、六、六、六、S S域平移域平移域平移域平移拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质本讲稿第十九页，共二十六页2022/9/20信号与系统七、尺度变换七、尺度变换七、尺度变换七、尺度变换拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质本讲稿第二十页，共二十六页20
12、22/9/20信号与系统八、初值、终值定理八、初值、终值定理八、初值、终值定理八、初值、终值定理1.1.初值定理初值定理初值定理初值定理2.2.终值定理终值定理终值定理终值定理拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质本讲稿第二十一页，共二十六页2022/9/20信号与系统o利用初值定理和终值定理需要注意的问题利用初值定理和终值定理需要注意的问题n象函数的形式是否为有理真分式象函数的形式是否为有理真分式象函数的形式是否为有理真分式象函数的形式是否为有理真分式oo真分式真分式真分式真分式oo假分式假分式假分式假分式n终值存在性的判断：通过终值存在性的判断：通过终值存在性的判断：通过终值存在性的判断：通过极点分布极点分布极点分布极点分布判断判断判断判断举例：举例：本讲稿第二十二页，共二十六页2022/9/20信号与系统本讲稿第二十三页，共二十六页2022/9/20信号与系统九、卷积定理九、卷积定理九、卷积定理九、卷积定理拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质本讲稿第二十四页，共二十六页2022/9/20信号与系统求图示信号的拉氏变换：求图示信号的拉氏变换：本讲稿第二十五页，共二十六页2022/9/20信号与系统作业作业：4-1(1)(6)(8)(13)(15)(18)4-3(1)(3)(5)本讲稿第二十六页，共二十六页