《数值分析解线性方程组的迭代法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析解线性方程组的迭代法.ppt（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、现在学习的是第1页，共28页一、迭代法的一般形式一、迭代法的一般形式同解变形构造迭代公式任取初始向量任取初始向量x(0)，代入迭代公式，产代入迭代公式，产生向量序列生向量序列x(k)，若若x(k)收敛，则当收敛，则当k 充分大时，以充分大时，以x(k)作作为方程组的近似解，为方程组的近似解，就是迭代法就是迭代法.现在学习的是第2页，共28页二、向量序列的收敛性二、向量序列的收敛性定义定义1设设 x(k)为为Rn中的向量序列，中的向量序列，xRn，如果如果其中其中|.|为向量范数，则称序列为向量范数，则称序列 x(n)收敛于收敛于 x，记为，记为 现在学习的是第3页，共28页定理定理1Rn中的向
2、量序列中的向量序列 x(k)收敛于收敛于Rn中的中的向量向量 x 当且仅当当且仅当其中其中现在学习的是第4页，共28页三、矩阵序列的收敛性三、矩阵序列的收敛性定义定义2设设 A(k)为为 n 阶方阵序列，阶方阵序列，A为为n阶阶方阵，如果方阵，如果其中其中|.|为矩阵范数，则称序列为矩阵范数，则称序列 A(n)收敛于收敛于A，记为，记为 现在学习的是第5页，共28页定理定理2设设 A(k)=(aij)(k=1,2,)，A=(aij)均均为为 n 阶方阵，则矩阵序列阶方阵，则矩阵序列A(n)收敛于收敛于矩阵矩阵A的充要条件为的充要条件为现在学习的是第6页，共28页请请回回答答:对对于于任任何何一
3、一个个方方程程组组 x=Bx+f x=Bx+f(由由 Ax=b Ax=b 变变形形得得到到的的等等价价的的方方程程组组)，按按迭迭代代法法作作出出的的向向量量序序列列 x x(k)(k)是是否否一一定定逐逐步步逼逼近近方程组的解方程组的解 x x*呢？呢？答：答：不一定！例如用迭代法解方程组不一定！例如用迭代法解方程组其精确解为其精确解为若选初值若选初值 x(0)=(0,0)T进行迭代，则进行迭代，则不可能收敛到精确解不可能收敛到精确解.现在学习的是第7页，共28页因此下面我们将要研究几个问题：因此下面我们将要研究几个问题：(1)如何构造迭代公式？如何构造迭代公式？(2)如何判断迭代公式收敛？
4、如何判断迭代公式收敛？(3)在收敛条件下，如何判断收敛速度？在收敛条件下，如何判断收敛速度？现在学习的是第8页，共28页一、一、JacobiJacobi迭代法迭代法 迭代法（迭代法（2 2）二、二、Gauss-SeidelGauss-Seidel迭代法迭代法三、超松弛迭代法三、超松弛迭代法现在学习的是第9页，共28页一、一、Jacobi迭代法迭代法1.Jacobi迭代法举例迭代法举例例：例：求解方程组求解方程组其中其中精确解是精确解是x*=(3,2,1)T现在学习的是第10页，共28页解：解：将原方程组改写为将原方程组改写为则迭代公式为：则迭代公式为：若选若选 x(0)=(0,0,0)T,则迭
5、代则迭代10次有次有x(10)=(3.000032,1.999838,0.9998813)T这就是Jacobi迭代法！现在学习的是第11页，共28页2.Jacobi迭代法一般形式迭代法一般形式由方程组由方程组的系数矩阵的系数矩阵A非奇异，不妨设非奇异，不妨设 aii0，方程组，方程组变形为变形为现在学习的是第12页，共28页对应上述的方程组，可得迭代公式为对应上述的方程组，可得迭代公式为其中其中 x(k)为第为第 k 次迭代向量次迭代向量.Jacobi迭代法的一般公式现在学习的是第13页，共28页3.Jacobi迭代法的矩阵形式迭代法的矩阵形式将方程组记为将方程组记为 Ax=b其中其中A非奇异
6、且非奇异且aii 0(I=1,2,n).将将A分裂为分裂为 A=D其中其中 现在学习的是第14页，共28页由此可将变形过程用矩阵表示为由此可将变形过程用矩阵表示为 Dx=(L+U)x+b即即 x=D-1(L+U)x+D-1b简记为简记为 x=B0 x+f故故Jacobi迭代公式的矩阵形式为迭代公式的矩阵形式为现在学习的是第15页，共28页二、二、Gauss-Seidel迭代法迭代法1.Gauss-Seidel迭代法举例迭代法举例例：例：求解方程组求解方程组精确解是精确解是x*=(3,2,1)T现在学习的是第16页，共28页解：解：将原方程组改写为将原方程组改写为则迭代公式为：则迭代公式为：若选
7、若选 x(0)=(0,0,0)T,则迭代则迭代5次有次有x(5)=(2.999843,2.000072,1.000061)T这就是Gauss-Seidel迭代法:认为最新计算出的分量可能比旧的分量要好些！现在学习的是第17页，共28页2.Gauss-Seidel迭代法一般形式迭代法一般形式对应于变形方程组对应于变形方程组G-S迭代公式可写为：迭代公式可写为：其中其中 x(k)为第为第 k 次迭代向量次迭代向量.现在学习的是第18页，共28页3.Gauss-Seidel迭代法的矩阵形式迭代法的矩阵形式将方程组记为将方程组记为 Ax=b其中其中A非奇异且非奇异且aii 0(I=1,2,n).将将A
8、分裂为分裂为 A=D其中其中 现在学习的是第19页，共28页由此可将方程组的变形过程用矩阵表示为由此可将方程组的变形过程用矩阵表示为 Dx=(L+U)x+b这这G-S迭代可表示为迭代可表示为 Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b整理得整理得 x(k+1)=(DL)1Ux(k)+(DL)1b故故G-S迭代公式的矩阵形式为迭代公式的矩阵形式为现在学习的是第20页，共28页注：注：1.对对有有些些问问题题Gauss-Seidel迭迭代代法法确确实实比比Jacobi迭代法收敛得快迭代法收敛得快;2.但但也也有有Gauss-Seidel迭迭代代法法比比Jacobi迭迭代代法收敛得慢法收敛得慢;
9、3.甚甚至至还还有有Jacobi迭迭代代法法收收敛敛，而而Gauss-Seidel迭代法发散的情形。迭代法发散的情形。现在学习的是第21页，共28页三、超松弛迭代法三、超松弛迭代法1.超松弛迭代法的一般形式超松弛迭代法的一般形式为为了了加加速速迭迭代代过过程程的的收收敛敛，我我们们通通过过引引入入参参数数，在在Gauss-Seidel迭迭代代的的基基础础上上得得到到一一种种新新的的迭迭代代法。法。记记其中其中x(k+1)由由G-S方法算出。于是有方法算出。于是有现在学习的是第22页，共28页（i=1,2,n）可以把可以把 x 看作看作G-S迭代的修正项，迭代的修正项，即第即第 k 次近似解次近
10、似解 x(k)以此项修正后得到新的以此项修正后得到新的近似解近似解 x(k+1)=x(k)+x 松弛法是松弛法是将将x 乘上一个参数因子乘上一个参数因子作为修作为修正项而得到新的近似值，正项而得到新的近似值，其具体公式为：其具体公式为：现在学习的是第23页，共28页x(k+1)=x(k)+x即即按上式计算方程组近似解序列的方法称为按上式计算方程组近似解序列的方法称为松弛法，松弛法，1时，称为超松弛法，简称时，称为超松弛法，简称SOR法法现在学习的是第24页，共28页2.超松弛迭代法举例超松弛迭代法举例例：例：用超松弛法求解下列方程组，取用超松弛法求解下列方程组，取=1.4精确解是精确解是x*=
11、(3,2,1)T现在学习的是第25页，共28页解：解：将原方程组改写为将原方程组改写为则迭代公式为：则迭代公式为：现在学习的是第26页，共28页3.超松弛迭代法的矩阵形式超松弛迭代法的矩阵形式用分解式用分解式 A=D，则可写为，则可写为迭代公式也可写为：迭代公式也可写为：即即显然对任何显然对任何值，值，(DL)非奇异，故非奇异，故现在学习的是第27页，共28页这就是松弛迭代法的矩阵表示。这就是松弛迭代法的矩阵表示。注：注：(1)松弛法是松弛法是G-S法的一种加速方法；法的一种加速方法；(2)具有计算公式简单，程序设计容易；具有计算公式简单，程序设计容易；(3)但需要选择较好的加速因子。但需要选择较好的加速因子。现在学习的是第28页，共28页