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1、守恒定律 第一页，讲稿共四十四页哦3.2 绳长绳长l，质量质量M，t=0时绳悬下部分为时绳悬下部分为b，求绳全部离开光滑桌子时的瞬求绳全部离开光滑桌子时的瞬时速度。时速度。解一：由动能定理解一：由动能定理（1）其中其中 上两式代入式上两式代入式(1)中，得中，得方向垂直向下。方向垂直向下。解二：由牛顿第二定律得：解二：由牛顿第二定律得：第二页，讲稿共四十四页哦代入式代入式(1)得：得：其中其中 第三页，讲稿共四十四页哦3.3 一质点在重力作用下，在半径为一质点在重力作用下，在半径为R的光滑球面上的一点的光滑球面上的一点A由静止开始由静止开始下滑，在下滑，在B点离开球面。证明：点离开球面。证明：
2、A、B两点的高度差等于两点的高度差等于A点和球心高度差的点和球心高度差的1/3。证明：质点的过程只有保守力作功，所以机械能守恒，证明：质点的过程只有保守力作功，所以机械能守恒，选选B点为势能零点点为势能零点又在又在B点离开球面，点离开球面，N=0（支持力为支持力为0）（1）（2）由几何关系得：由几何关系得：联立联立(1)(3)式得：式得：（3）第四页，讲稿共四十四页哦3.4 一炮弹在轨道最高点炸成质量比一炮弹在轨道最高点炸成质量比m1:m2=3:1的两个碎片。其中的两个碎片。其中m1自由下自由下落，落地点与发射点的水平距离为落，落地点与发射点的水平距离为R0，m2继续向前飞行，与继续向前飞行，
3、与m1同时落地。同时落地。不计空气阻力，求不计空气阻力，求m2的落地点。的落地点。解解：炮炮弹弹炸炸裂裂前前后后所所受受外外力力始始终终是是重重力力，所所以以炮炮弹弹炸炸裂裂对对质质心心运运动动没有影响，没有影响，m1和和m2落地时，炮弹的质心坐标为落地时，炮弹的质心坐标为由由得得 将将代入得代入得 第五页，讲稿共四十四页哦3.5 质量为质量为m1=50kg的人站在一条质量为的人站在一条质量为m2=350kg，长为长为L=5.6m的船头，的船头，开始时船静止。忽略水的阻力，试求当人走到船尾时船移动的距离。开始时船静止。忽略水的阻力，试求当人走到船尾时船移动的距离。解解：水水平平方方向向不不受受
4、力力，质质心心速速度度不不变变，即即在在人人从从船船头头至至船船尾尾过过程程系系统质心位置不变。设船向左移动统质心位置不变。设船向左移动d，人在船头时：人在船头时：人在船尾时：人在船尾时：上面两式联立得：上面两式联立得：又由相对运动的位移变换式：又由相对运动的位移变换式：（1）第六页，讲稿共四十四页哦（2）得得 将式将式(2)代入式代入式(1)中得：中得：第七页，讲稿共四十四页哦3.6 质量分别为质量分别为m1和和m2的两个小钢球固定在一个长为的两个小钢球固定在一个长为a的轻质硬杆的两端，杆的轻质硬杆的两端，杆的中点有一轴使杆在水平面内自由转动，杆原来静止。另一泥球质量为的中点有一轴使杆在水平
5、面内自由转动，杆原来静止。另一泥球质量为m3，以水平速度以水平速度v0垂直于杆的方向与垂直于杆的方向与m2发生碰撞，碰后二者粘在一起。设发生碰撞，碰后二者粘在一起。设m1=m2=m3，求碰撞后转动的角速度。求碰撞后转动的角速度。解解：考考虑虑这这三三个个质质点点组组成成的的质质点点系系。相相对对于于杆杆的的中中点点，在在碰碰撞撞过过程程中中合合外外力力矩矩为为零零，因因此此对对此此点点的的角角动动量量守守恒恒。设设碰碰撞撞后后转转动动的的角角速速度度为为，则则碰碰撞撞后三质点的速率后三质点的速率v 1=v 2=v 3=a/2。碰撞前，此三质点系统的总角动量为碰撞前，此三质点系统的总角动量为碰撞
6、后，它们的总角动量为碰撞后，它们的总角动量为第八页，讲稿共四十四页哦考考虑虑到到这这些些叉叉积积的的方方向向相相同同，角角动动量量守守恒恒给给出出下下列标量关系：列标量关系：因为因为所以所以值得注意的是，在此碰撞过程中，质点系的总动量并不守恒。值得注意的是，在此碰撞过程中，质点系的总动量并不守恒。这是因为在碰撞过程中，质点系还受到轴这是因为在碰撞过程中，质点系还受到轴O的冲量的缘故。的冲量的缘故。第九页，讲稿共四十四页哦B B先到达木桩先到达木桩由运动学公式由运动学公式动量守恒动量守恒相对运动相对运动一一质质量量为为M M，长长为为L L的的小小船船静静浮浮在在水水面面上上，船船的的两两头头各
7、各站站A A、B B两两人人，A A的的质质量量为为 M M，B B的的质质量量为为 m m（M M m m）。现现两两人人同同时时以以相相同同的的相相对对船船的的速速率率 v v0 0 向向位位于于船船正正中中，但但固固定在水中的木桩走去，则谁先到木桩处？所需的时间？定在水中的木桩走去，则谁先到木桩处？所需的时间？3.73.7解：解：A AM Mm mB BM Mv v0 0v v0 0V V第十页，讲稿共四十四页哦质量为质量为M M的滑块静止置于光滑的水平地面上，质量为的滑块静止置于光滑的水平地面上，质量为m m的的小球从静止开始沿滑块的圆弧下滑，圆弧半径为小球从静止开始沿滑块的圆弧下滑，
8、圆弧半径为R R。求求当小球滑至最低点当小球滑至最低点A A时，小球的运动轨迹（相对于地）时，小球的运动轨迹（相对于地）在该点的曲率半径。在该点的曲率半径。3.83.8解：解：M MA AR Rm m小球在小球在A A点时，地面参考系和点时，地面参考系和滑块参考系均是惯性系滑块参考系均是惯性系动量守恒动量守恒相对运动相对运动第十一页，讲稿共四十四页哦长长为为 L L=4.8m=4.8m的的轻轻车车厢厢静静止止于于光光滑滑水水平平轨轨道道上上，固固定定于于车车厢厢地地板板上上的的击击发发器器A A自自车车厢厢正正中中部部以以 u u0 0=2m/s=2m/s的的速速度度将将质质量量为为m m1
9、1=1kg=1kg的的物物体体击击出出，并并与与质质量量为为m m2 2=1kg=1kg的的物物体体碰碰撞撞并并粘粘在在一一起起，此此时时 m m2 2 恰恰好好与与一一端端固固定定于于车车厢厢的的水水平平放放置置的的轻轻弹弹簧簧接接触触，弹弹簧簧刚刚度度系系数数 k k=400N/m=400N/m，长长度度 l l=0.30m=0.30m，车车厢厢和和击击发发器器的的总总质质量量为为M M=2kg=2kg，求求车车厢厢从从静止至弹簧压缩最甚时的位移（静止至弹簧压缩最甚时的位移（m m1 1和和 m m2 2视作质点）。视作质点）。3.93.9解：解：m m1 1m m2 2A A击发器击发击
10、发器击发 m m1 1前后动量守恒前后动量守恒第十二页，讲稿共四十四页哦m m1 1与与 m m2 2碰撞前后动量守恒碰撞前后动量守恒m m1 1+m m2 2与车厢（通过弹簧）作用前后动量守恒与车厢（通过弹簧）作用前后动量守恒从从初初始始时时刻刻到到m m1 1+m m2 2与与车车厢厢（通通过过弹弹簧簧）作作用用之之前前，车车厢厢相对于地面位移为相对于地面位移为 x x1 1第十三页，讲稿共四十四页哦整个系统机械能守恒整个系统机械能守恒弹簧压到最甚的条件为小车与弹簧压到最甚的条件为小车与m m1 1+m m2 2相对速度为零。相对速度为零。从从m m1 1+m m2 2与与车车厢厢开开始始
11、作作用用到到弹弹簧簧压压至至最最甚甚车车厢厢相相对对于于地地面面位位移为移为 x x2 2第十四页，讲稿共四十四页哦注意：注意：1)1)列机械能守恒方程时，初始时刻是列机械能守恒方程时，初始时刻是 m m1 1+m m2 2 与弹簧碰撞与弹簧碰撞前对应的时刻，末时刻是指弹簧压至最甚时刻。前对应的时刻，末时刻是指弹簧压至最甚时刻。2)2)弹簧压到最甚的条件为小车与弹簧压到最甚的条件为小车与m m1 1+m m2 2相对速度为零。相对速度为零。3)3)运算时速度和位移是代数量，有正负。运算时速度和位移是代数量，有正负。第十五页，讲稿共四十四页哦质质量量为为M M的的铁铁道道平平板板车车，沿沿一一水
12、水平平直直线线轨轨道道运运动动（忽忽略略摩摩擦擦），开始时车静止，有开始时车静止，有N N个人立于车上，每个人的质量均为个人立于车上，每个人的质量均为m m。1 1）当当N N个个人人一一起起跑跑向向车车的的一一端端，所所有有人人沿沿铁铁轨轨，同同方方向向同同时时跳跳下下，在在他他们们正正要要跳跳车车时时，所所有有人人相相对对车车速速度度均均为为v v0 0，求求N N个个人人跳跳车车后后，车的速度？车的速度？2 2）若若N N个个人人以以相相对对于于车车v v0 0的的速速度度沿沿铁铁轨轨同同方方向向一一个个接接一一个个跳跳离车，求离车，求N N个人跳车后，车的速度？个人跳车后，车的速度？3
13、.103.10解：解：解法解法1 1：(1)(1)动量守恒动量守恒相对运动相对运动第十六页，讲稿共四十四页哦解法解法2 2：质心运动定理质心运动定理相对运动相对运动(2)(2)第一人跳车前后动量守恒第一人跳车前后动量守恒第十七页，讲稿共四十四页哦第二人跳车前后动量守恒第二人跳车前后动量守恒第第N N人跳车后人跳车后讨论：讨论：一个一个跳离车时，车获得的速度比同时跳时一个一个跳离车时，车获得的速度比同时跳时获得的速度大。获得的速度大。第十八页，讲稿共四十四页哦内内部部连连有有弹弹簧簧的的架架子子静静止止于于光光滑滑的的水水平平面面上上，架架子子的的质质量量为为 M M，弹弹簧簧的的掘掘强强系系数
14、数为为 k k，现现有有一一质质量量为为 m m的的小小球球以以 v v0 0的的速速度度射射入入架架子子内内，并并开开始始压压缩缩弹弹簧簧，设设小小球球与与架架子子内内壁壁间间无无摩摩擦擦，试试求：求：1 1）弹弹簧簧的的最最大大压压缩缩量量 l l；2 2）从从弹弹簧簧开开始始被被压压缩缩到到弹弹簧簧达达最最大大压压缩缩所所需需的的时时间间 t t；3 3）从从弹弹簧簧开开始始被被压压缩缩到到弹弹簧簧达达最最大大压压缩缩期间架子的位移期间架子的位移 x xM M。3.113.11解：解：(1)(1)动量守恒动量守恒机械能守恒机械能守恒M Mk kv v0 0m m第十九页，讲稿共四十四页哦
15、(2)(2)牛顿定律牛顿定律简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程其中其中 M M和和m m为二体问题，可以直接得到运动周期，结果同上。为二体问题，可以直接得到运动周期，结果同上。第二十页，讲稿共四十四页哦相对运动相对运动(3)(3)质心运动定理质心运动定理第二十一页，讲稿共四十四页哦质质量量为为 m m的的小小圆圆环环套套在在一一长长为为 l l，质质量量为为 M M的的光光滑滑均均匀匀杆杆ABAB上上，杆杆可可以以绕绕过过其其A A端端的的固固定定轴轴在在水水平平面面上上自自由由旋旋转转。开开始始时时杆杆旋旋转转的的角角速速度度为为 0 0，而而小小环环位位于于A A点点处处。试试求求小
16、小环环脱脱离离杆杆时时的的速度（方向用与杆的夹角速度（方向用与杆的夹角 表示）表示）3.123.12解：解：l l 0 0v v M MA Am m角动量守恒角动量守恒机械能守恒机械能守恒第二十二页，讲稿共四十四页哦第二十三页，讲稿共四十四页哦解：元功解：元功3.13 3.13 物体由静止出发作直线运动，质量为物体由静止出发作直线运动，质量为m m，受力受力btbt，b b为常量，求为常量，求在在T T秒内，此力所作的功。秒内，此力所作的功。根据牛顿定律和加速度的定义求根据牛顿定律和加速度的定义求第二十四页，讲稿共四十四页哦1 1m m5 5N N3.14 3.14 如图所示，一绳索跨过无摩擦
17、的滑轮系在质量为如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮系在质量为1.01.0千克的物体上，千克的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平面上，若用起初物体静止在无摩擦的水平面上，若用5.05.0牛顿的恒力作用在绳索的另一牛顿的恒力作用在绳索的另一端，使物体向右作加速运动，当系在物体上的绳索从与水平面成端，使物体向右作加速运动，当系在物体上的绳索从与水平面成 角变为角变为 时，力对物体所作的功为多少？已知滑轮与水平面间的距离为时，力对物体所作的功为多少？已知滑轮与水平面间的距离为1 1m m第二十五页，讲稿共四十四页哦解解:建立坐标系建立坐标系X XO O1 1m m5 5N N第二十六页，讲稿共四十四页哦
18、3.15 3.15 如图，求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率如图，求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率t t=0=0，v=0v=0M M，L Lb bx xo o解：方法（解：方法（1 1）利用动能定理）利用动能定理建立坐标系，重力所作元功为：建立坐标系，重力所作元功为：由动能定理得：由动能定理得：第二十七页，讲稿共四十四页哦方法（方法（2 2）：利用牛顿定律）：利用牛顿定律t t=0=0，v=0v=0M M，L Lb bx xo o由由 得：得：第二十八页，讲稿共四十四页哦A AB B3.16 3.16 3.16 3.16 在光滑的水平面上，有一质量为在光滑的水平面上，有一质量为 的静止的静止 物
19、体物体B B，在在B B上又有一质量为上又有一质量为 的静止物体的静止物体A A，A A受冲击，受冲击，以以 （相对于水平面向右运动，（相对于水平面向右运动，A A和和B B之间的摩擦系数为之间的摩擦系数为 ，A A逐渐带动逐渐带动B B一起运动，问一起运动，问A A从开始运动到相对于从开始运动到相对于B B静止时，在静止时，在B B上运动多远？上运动多远？第二十九页，讲稿共四十四页哦内力做功不为零，由系统的动能定理内力做功不为零，由系统的动能定理解解解解：取：取A A和和B B组成的系统，根据动量守恒组成的系统，根据动量守恒A AB B第三十页，讲稿共四十四页哦3.17 3.17 假定地球的
20、密度是均匀的，并沿地球的直径钻一个洞，质点从很假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直径钻一个洞，质点从很高的位置高的位置h h落入洞中，求质点通过地心的速度。落入洞中，求质点通过地心的速度。O Or rm mh h.R R 由动能定理：由动能定理：解：设通过地心的速度为解：设通过地心的速度为第三十一页，讲稿共四十四页哦又质点在地球内、外受力不同又质点在地球内、外受力不同第三十二页，讲稿共四十四页哦3.18 一一轻轻绳绳绕绕过过一一质质量量可可以以不不计计且且轴轴光光滑滑的的滑滑轮轮，质质量量皆皆为为m的的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬。甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静
21、止开始加速上爬。1)二二人人是是否否同同时时到到达达顶顶点点？以以甲甲、乙乙二二人人为为系系统统，在在运运动动中中系系统统的的动动量量是否守恒？机械能是否守恒？系统对滑轮轴的角动量是否守恒？是否守恒？机械能是否守恒？系统对滑轮轴的角动量是否守恒？2)当当甲甲相相对对绳绳的的运运动动速速度度u是是乙乙相相对对绳绳的的速速度度2倍倍时时，甲甲、乙乙二二人人的的速度各是多少？速度各是多少？解：解：1)甲、乙二人受力情况相同，故运动相同，甲、乙二人受力情况相同，故运动相同，即有相同的加速度和速度即有相同的加速度和速度m甲甲乙乙mR第三十三页，讲稿共四十四页哦二人在任一时刻的速度相同，上升的高度相同，所
22、以同时到达顶点。二人在任一时刻的速度相同，上升的高度相同，所以同时到达顶点。以以二二人人为为系系统统，因因二二人人是是加加速速上上升升，所所受受合合外外力力2(T-mg)0，故故系系统的动量不守恒。统的动量不守恒。以以人人和和地地球球为为系系统统，张张力力T对对系系统统做做功功，因因而而系系统统的的机机械械能能不不守守恒恒。显显然然人在上升过程中机械能在增加。人在上升过程中机械能在增加。甲、乙二人相对滑轮轴的合外力矩等于甲、乙二人相对滑轮轴的合外力矩等于0，系统对轴的角动量守恒。，系统对轴的角动量守恒。2)设设绳绳子子的的牵牵连连速速度度为为v0，滑滑轮轮左左侧侧绳绳子子的的v0向向下下，滑滑
23、轮轮右右侧侧绳绳子子的的v0向上。而甲、乙相对地面的速度分别为向上。而甲、乙相对地面的速度分别为v甲甲和和v乙乙。第三十四页，讲稿共四十四页哦所以所以讨讨论论：由由于于人人用用力力向向上上爬爬时时，人人对对绳绳子子的的拉拉力力可可能能改改变变，因因此此绳绳对对人人的的拉拉力力也也可可能能改改变变，但但甲甲、乙乙二二人人受受力力情情况况总总是是相相同同，因因此此同同一一时时刻刻甲甲、乙乙二二人人的的加加速速度度和和速速度度皆皆相相同同，二二人人总总是是同同时时到到达达顶顶点点，与与人人相相对绳的速度无关。对绳的速度无关。第三十五页，讲稿共四十四页哦3.19 地地球球可可看看作作是是半半径径R=6
24、400km的的球球体体，一一颗颗人人造造地地球球卫卫星星在在地地面面上上空空h=800km的的圆圆形形轨轨道道上上，以以v1(v1=7.5km/s)的的速速度度绕绕地地球球运运动动。今今在在卫卫星星外外侧侧点点燃燃一一支支火火箭箭，其其反反冲冲力力指指向向地地心心，因因而而给给卫卫星星附附加加一一个个指指向向地地心心的的分分速速度度v2=0.2km/s。求求此此后后卫卫星星轨轨道道的的最最低低点点和和最最高高点点位位于于地面上空多少千米？地面上空多少千米？提提示示：由由于于火火箭箭的的反反冲冲力力，使使卫卫星星在在当当时时的的速速度度变变为为v1+v2，合合速速度度不不与与地地心心引引力力垂垂
25、直直，从从而而使使卫卫星星轨轨道道改改作作椭椭圆圆运运动动，由由于于引引力力始始终终通通过地心，因此在作椭圆运动时角动量守恒过地心，因此在作椭圆运动时角动量守恒解解：火火箭箭点点燃燃后后瞬瞬时时，可可认认为为卫卫星星对对地地心心的的位位矢矢r不不变变，卫卫星星绕绕行行在远地点（或近地点）位矢在远地点（或近地点）位矢r ，r 与该处的速度与该处的速度v 垂直。垂直。第三十六页，讲稿共四十四页哦由角动量守恒有由角动量守恒有卫星运动时，卫星和地球系统的机械能守恒卫星运动时，卫星和地球系统的机械能守恒(1)(2)对于卫星原来的圆轨道对于卫星原来的圆轨道(3)(1)(3)联立求解，联立求解，第三十七页，
26、讲稿共四十四页哦远地点高度远地点高度近地点高度近地点高度第三十八页，讲稿共四十四页哦3.20 一一质质量量为为M具具有有半半球球形形凹凹陷陷面面的的物物体体静静止止在在光光滑滑的的水水平平桌桌面面上上，凹凹陷陷球球面面的的半半径径为为R，表表面面也也光光滑滑。今今在在凹凹陷陷面面的的上上缘缘B处处放放置置一一质质量量为为m的的小小球球，释释放放后后，小小球球下下滑滑，当当小小球球下下滑滑至至最最低低处处A时时，求求物物体体对对小球的作用力？小球的作用力？RmBAM解：系统水平方向动量守恒解：系统水平方向动量守恒(1)小球、物体和地球系统机械能守恒小球、物体和地球系统机械能守恒(2)小球到达小球
27、到达A点，由于点，由于M在水平方向不受力，故为惯性系，以在水平方向不受力，故为惯性系，以M为参考为参考系，对系，对m运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律第三十九页，讲稿共四十四页哦v 为小球相对为小球相对M的速度，由速度合成定理的速度，由速度合成定理上式代入上式代入(3)式，得式，得(3)(4)(1),(2),(4)三式联立得三式联立得N为小球运动到为小球运动到A处时，物体处时，物体M对小球的弹力。对小球的弹力。第四十页，讲稿共四十四页哦说明：相对于凹陷球面小球作圆周运动，但物体说明：相对于凹陷球面小球作圆周运动，但物体M有加速度，它有加速度，它是非惯性系。小球在一般位置处对它分析力时应考虑惯性力
28、，但是非惯性系。小球在一般位置处对它分析力时应考虑惯性力，但小球运动到小球运动到A处时，由于处时，由于M此时加速度为此时加速度为0（水平方向不受力），它是（水平方向不受力），它是瞬时惯性系，牛顿定律仍然成立。瞬时惯性系，牛顿定律仍然成立。第四十一页，讲稿共四十四页哦一一人人施施一一恒恒定定力力于于一一固固定定墙墙壁壁，他他对对墙墙壁壁不不做做机机械械功功。试问他这样做为什么感到疲倦？试问他这样做为什么感到疲倦？思考题一以速率一以速率v 前进的汽车中的驾驶员，突然看到，在他的前进的汽车中的驾驶员，突然看到，在他的正前方距离为正前方距离为d 的地方，有一短的砖墙。为了避免撞毁的地方，有一短的砖墙。
29、为了避免撞毁汽车，他是使劲刹车好，还是使车急速地绕过墙好？汽车，他是使劲刹车好，还是使车急速地绕过墙好？（考虑在这两种情况下所需要的力。）（考虑在这两种情况下所需要的力。）一人逆水划船，要使船相对于岸静止不动。试问：一人逆水划船，要使船相对于岸静止不动。试问：1)他是否要作功？他是否要作功？2)如果他停止划船，让船随流如果他停止划船，让船随流而下，则流水对船是否作功？而下，则流水对船是否作功？第四十二页，讲稿共四十四页哦将将一一个个弹弹簧簧的的两两端端，紧紧系系在在一一起起，使使它它处处于于压压缩缩状状态态。然然后后把把它它放放进进酸酸液液中中溶溶解解。问问弹弹簧簧所所储储藏藏的的势势能能变变
30、成成了了什么？什么？多级火箭的最后一级的最终速度，远大于总重量和燃料多级火箭的最后一级的最终速度，远大于总重量和燃料供给都相同的单级火箭的最终速度。试说明这个事实？供给都相同的单级火箭的最终速度。试说明这个事实？一只鸟被关在铁丝笼子里，笼子挂在弹簧秤上。一只鸟被关在铁丝笼子里，笼子挂在弹簧秤上。问当鸟在笼中飞绕时，弹簧秤的读数是否大于、问当鸟在笼中飞绕时，弹簧秤的读数是否大于、小于、或等于它立在笼中不动时的读数？小于、或等于它立在笼中不动时的读数？第四十三页，讲稿共四十四页哦在在拔拔河河游游戏戏中中，一一队队渐渐渐渐输输给给了了另另一一队队。问问在在这这游游戏戏中，作了什么功？是哪一队作的？中，作了什么功？是哪一队作的？第四十四页，讲稿共四十四页哦