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1、数学物理方程与特殊函数课件1第1页，共33页，编辑于2022年，星期六本次课主要内容本次课主要内容(一一)、常微分方程求解、常微分方程求解(二二)、积分方程求解、积分方程求解拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用(三三)、偏微分方程定解问题求解、偏微分方程定解问题求解2第2页，共33页，编辑于2022年，星期六内容回顾内容回顾1、Laplace变换与逆变换的定义变换与逆变换的定义2、常用函数的、常用函数的Laplace变换变换 3第3页，共33页，编辑于2022年，星期六3、Laplace变换的几个主要性质变换的几个主要性质(1).线性性质线性性质4第4页，共33页，编辑于2022年，星期六(5
2、).积分定理积分定理(6).象函数的微分定理象函数的微分定理(7).象函数的积分定理象函数的积分定理 5第5页，共33页，编辑于2022年，星期六(2).延迟定理延迟定理(3).位移定理位移定理(4）.微分定理微分定理 6第6页，共33页，编辑于2022年，星期六(8).卷积定理卷积定理 关于卷积的说明：关于卷积的说明：7第7页，共33页，编辑于2022年，星期六4.展开定理展开定理(1)极点极点z0的阶：若的阶：若则极点则极点z0的阶为的阶为m。8第8页，共33页，编辑于2022年，星期六(2)，留数公式，留数公式 若若z0为为f(x)的的m阶极点，则：阶极点，则：(一一)、常微分方程求解、
3、常微分方程求解 例例1、求解常微分方程：、求解常微分方程：9第9页，共33页，编辑于2022年，星期六(1)、对方程两边作拉氏变换：、对方程两边作拉氏变换：由线性性质有：由线性性质有：由像函数微分定理得：由像函数微分定理得：又由微分定理得：又由微分定理得：所以：所以：10第10页，共33页，编辑于2022年，星期六 所以，得变换后的方程为：所以，得变换后的方程为：(2)、求像函数：、求像函数：(3)、求原像函数：、求原像函数：对像函数作幂级数展开：对像函数作幂级数展开：11第11页，共33页，编辑于2022年，星期六 因为：因为：所以：所以：于是由展开定理得方程通解为：于是由展开定理得方程通解
4、为：由初始条件得：由初始条件得：12第12页，共33页，编辑于2022年，星期六例例2 求解积分方程：求解积分方程：解：由卷积定义，将方程写成：解：由卷积定义，将方程写成：(二二)、积分方程求解、积分方程求解13第13页，共33页，编辑于2022年，星期六(1)、对方程两边作拉氏变换：、对方程两边作拉氏变换：(2)、求像函数：、求像函数：(3)、由展开定理可求出原像函数：、由展开定理可求出原像函数：14第14页，共33页，编辑于2022年，星期六 首先指出：利用积分变换求解偏微分方程定解问题时，如果是初首先指出：利用积分变换求解偏微分方程定解问题时，如果是初值问题，常采用针对空间变量的傅立叶变
5、换求解，而如果是带有边值问题，常采用针对空间变量的傅立叶变换求解，而如果是带有边界条件的定解问题，则常采用针对时间变量的拉氏变换求解。界条件的定解问题，则常采用针对时间变量的拉氏变换求解。(三三)、偏微分方程定解问题求解、偏微分方程定解问题求解例例3、求解硅片的恒定表面浓度扩散问题，在恒定表面浓度扩求解硅片的恒定表面浓度扩散问题，在恒定表面浓度扩散中，包围硅片的气体中含有大量杂质原子，它们源源不断散中，包围硅片的气体中含有大量杂质原子，它们源源不断穿过硅片表面向硅片内部扩散。由于气体中杂质原子供应充穿过硅片表面向硅片内部扩散。由于气体中杂质原子供应充分，硅片表面浓度得以保持某个常数分，硅片表面
6、浓度得以保持某个常数 N0，这里所求的是半无限，这里所求的是半无限空间空间x0中定解问题中定解问题.解：定解问题为：解：定解问题为：15第15页，共33页，编辑于2022年，星期六(1)、对定解问题作针对于时间变量的拉氏变换：、对定解问题作针对于时间变量的拉氏变换：(2)、求像函数：、求像函数：注意到：注意到：16第16页，共33页，编辑于2022年，星期六 所以有：所以有：(3)、求原像函数：、求原像函数：查逆变换表得：查逆变换表得：所以得：所以得：17第17页，共33页，编辑于2022年，星期六问问题题：有有同同学学认认为为：在在上上面面定定解解问问题题中中，x与与t的的变变化化范范围围都
7、都是是(0,+)，所所以以，求求解解时时，对对x与与t均均可可以以作作拉拉氏氏变变换换，对对吗吗？为为什什么？么？解：所提问题归结为解定解问题解：所提问题归结为解定解问题 答：不能！因为方程中含有答：不能！因为方程中含有uxx，而在，而在x=0处，只给出了处，只给出了u(0,t)的值，而没有给出的值，而没有给出ux(0,t)的值，所以，不能作针对空间变量的值，所以，不能作针对空间变量 x 的拉氏变换。的拉氏变换。例例4 一一条条半半无无限限长长的的杆杆，端端点点的的温温度度变变化化为为已已知知，杆杆的的初初始始温温度为零。求杆上的温度分布规律。度为零。求杆上的温度分布规律。18第18页，共33
8、页，编辑于2022年，星期六(1)、对定解问题作针对于时间变量的拉氏变换：、对定解问题作针对于时间变量的拉氏变换：(2)、求像函数：、求像函数：(3)、求原像函数：、求原像函数：19第19页，共33页，编辑于2022年，星期六由卷积定理由卷积定理下面求下面求由查表得：由查表得：所以：所以：20第20页，共33页，编辑于2022年，星期六令：令：则：则：由于：由于：注意到：注意到：21第21页，共33页，编辑于2022年，星期六所以：所以：由微分定理：由微分定理：所以：所以：22第22页，共33页，编辑于2022年，星期六即：即：所以所以,由卷积定理得到：由卷积定理得到：23第23页，共33页，
9、编辑于2022年，星期六例例5 求解半无界弦的纯强迫振动定解问题：求解半无界弦的纯强迫振动定解问题：解解:(1)作针对于时间变量的作针对于时间变量的Laplace变换变换 (2)、求像函数：、求像函数：24第24页，共33页，编辑于2022年，星期六由条件：由条件：(3)、求原像函数：、求原像函数：25第25页，共33页，编辑于2022年，星期六26第26页，共33页，编辑于2022年，星期六 所以原像函数为：所以原像函数为：例例6、求解如下定解问题：、求解如下定解问题：27第27页，共33页，编辑于2022年，星期六解解:(1)作针对于时间变量的作针对于时间变量的Laplace变换变换 (2
10、)、求像函数：、求像函数：28第28页，共33页，编辑于2022年，星期六(3)、求原像函数：、求原像函数：例例7、求解如下定解问题、求解如下定解问题(习题习题5.4第第5题题)：29第29页，共33页，编辑于2022年，星期六解解:(1)作针对于时间变量的作针对于时间变量的Laplace变换变换 (2)、求像函数：、求像函数：30第30页，共33页，编辑于2022年，星期六(3)、求原像函数：、求原像函数：由延迟定理：由延迟定理：31第31页，共33页，编辑于2022年，星期六作业作业P128习题习题5.4第第1、3、4、6题题32第32页，共33页，编辑于2022年，星期六Thank You!33第33页，共33页，编辑于2022年，星期六