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1、关于数学建模关于数学建模 种群模型种群模型数学建模种群模型1第1页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模2种群模型第三讲第三讲 种群模型种群模型【主要内容主要内容】介绍动物群体的种群模型，包括单介绍动物群体的种群模型，包括单 种群模型、多种群模型。种群模型、多种群模型。【主要目的主要目的】了解微分方程稳定性理论在数学建了解微分方程稳定性理论在数学建 模中的应用。模中的应用。建模目的是研究充分长时间以后过程的变化趋势建模目的是研究充分长时间以后过程的变化趋势建模目的是研究充分长时间以后过程的变化趋势建模目的是研究充分长时间以后过程的变化趋势 平平衡状态是否稳定。衡状态是否稳定。第2页，讲稿共41张
2、，创作于星期二数学建模3种群模型 单种群模型单种群模型 本节介绍本节介绍Malthus Malthus 模型、模型、Logistic Logistic 模型及可开模型及可开发的单种群模型，应用微分方程的数学工具来研发的单种群模型，应用微分方程的数学工具来研究种群的增长与变化规律。究种群的增长与变化规律。第3页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模4种群模型 1.1 1.1 Malthus Malthus 模型模型 设设 p(t)一给定的物种在时刻一给定的物种在时刻t的总数的总数 r(t,p)该物种在时刻该物种在时刻t出生率与死亡率之差，出生率与死亡率之差，称为自然增长率。称为自然增长率。假设假设
3、r为常数，则种群的增长规律可以用以下微分方为常数，则种群的增长规律可以用以下微分方程表出程表出 （1 1）第4页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模5种群模型 上式称为单一种群的上式称为单一种群的Malthus Malthus 模型，若设初值为模型，若设初值为 p(t0)=)=p0,则（则（1 1）式的解为）式的解为 由于其增长形式为指数形式，故该模型又称为指数增长由于其增长形式为指数形式，故该模型又称为指数增长模型。模型。第5页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模6种群模型 1.2 1.2 Logistic Logistic 模型模型 Malthus Malthus 模型的不合理性在于，它没
4、有反映出这样模型的不合理性在于，它没有反映出这样的事实，即当种群群体庞大到一定程度时，群体中个体的事实，即当种群群体庞大到一定程度时，群体中个体之间要为有限的生存空间及资源而进行竞争。因此线性之间要为有限的生存空间及资源而进行竞争。因此线性微分方程（微分方程（1 1）必须再加上一个竞争项。）必须再加上一个竞争项。有人用某种昆虫做实验，结果表明，单位时间内两个有人用某种昆虫做实验，结果表明，单位时间内两个成员发生冲突的次数的统计平均与成员发生冲突的次数的统计平均与p2成比例，故这个竞争成比例，故这个竞争项的一个合理的选择是项的一个合理的选择是-bp2，其中，其中b b是常数。是常数。第6页，讲稿
5、共41张，创作于星期二数学建模7种群模型 此模型称为阻滞增长模型，是由荷兰生物数学家此模型称为阻滞增长模型，是由荷兰生物数学家VerhulstVerhulst在在18371837年提出的，又称为年提出的，又称为Logistic Logistic 模型。模型。当初值当初值p(t0)=)=p0给定时，（给定时，（3 3）的解为）的解为 其变化曲线见下图。其变化曲线见下图。第7页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模8种群模型 注意到注意到 于是，不论初值怎样，群体规模总是小于并且趋于极限于是，不论初值怎样，群体规模总是小于并且趋于极限值值 r/b,这个极限值的实际意义是环境资源对该种群的最这个极限值
6、的实际意义是环境资源对该种群的最大容纳量，记大容纳量，记 N=r/b,则方程（则方程（3）可以写为更常见的形）可以写为更常见的形式式 第8页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模9种群模型 其中其中r是固有增长率，是固有增长率，N是环境资源对该种群的最是环境资源对该种群的最大容量。大容量。有人曾用上述有人曾用上述Logistic 模型对模型对17901950 年年美国人口的数量作过预测，与实际数据相当吻合，美国人口的数量作过预测，与实际数据相当吻合，误差不超过误差不超过2.5%。第9页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模10种群模型1.3 1.3 可开发的单种群模型可开发的单种群模型 考察一个渔
7、场，我们要建立一个在有捕捞条件考察一个渔场，我们要建立一个在有捕捞条件下鱼的总量所满足的方程，并且在稳定的前提下讨下鱼的总量所满足的方程，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量最大。论如何控制捕捞使持续产量最大。模型假设模型假设 记记t时刻渔场鱼的总量为时刻渔场鱼的总量为p(t)，r为固有增长率，为固有增长率，N为环境资源允许的最大鱼量。为环境资源允许的最大鱼量。第10页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模11种群模型 1)1)在无捕捞条件下，在无捕捞条件下，p(t)服从服从 Logistic Logistic 模型模型 2)2)单位时间的捕捞量单位时间的捕捞量h与渔场鱼量成正比，比例与
8、渔场鱼量成正比，比例 系数为系数为 k，表示单位时间捕捞率。于是，表示单位时间捕捞率。于是 第11页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模12种群模型 模型建立模型建立 ，则在有捕捞条件下渔场鱼量的增长模型为则在有捕捞条件下渔场鱼量的增长模型为 第12页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模13种群模型 模型讨论模型讨论 由本问题的目标出发，我们关心的是渔场中鱼量由本问题的目标出发，我们关心的是渔场中鱼量达到稳定的平衡状态时的情形，而不必知道每一时刻达到稳定的平衡状态时的情形，而不必知道每一时刻的鱼量变化情况，故不需要解出方程，只需要讨论方的鱼量变化情况，故不需要解出方程，只需要讨论方程程(7)的
9、平衡点并分析其稳定性。的平衡点并分析其稳定性。平衡点：满足平衡点：满足 的点称为方程的点称为方程(7)的平衡的平衡 点。点。第13页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模14种群模型解得解得(7)(7)的两个平衡点为：的两个平衡点为：容易算出容易算出 :第14页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模15种群模型 称平衡点称平衡点称平衡点称平衡点 p p p p*是稳定的是指：对方程是稳定的是指：对方程是稳定的是指：对方程是稳定的是指：对方程 (7)(7)(7)(7)的任的任的任的任 一个解一个解一个解一个解p p p p=p p p p(t t t t)，恒有，恒有，恒有，恒有 判断平衡点判断平衡
10、点判断平衡点判断平衡点p*p*p*p*是否稳定，可以通过（是否稳定，可以通过（是否稳定，可以通过（是否稳定，可以通过（8 8）式判别，但这需）式判别，但这需）式判别，但这需）式判别，但这需要解方程（要解方程（要解方程（要解方程（7 7 7 7）。）。）。）。另一种判别法是根据一阶近似方程判断另一种判别法是根据一阶近似方程判断另一种判别法是根据一阶近似方程判断另一种判别法是根据一阶近似方程判断 ：第15页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模16种群模型 近似方程近似方程(9)(9)的一般解为：的一般解为：于是有下述结论：于是有下述结论：，则，则p*p*是稳定平衡点。是稳定平衡点。，则，则p*p*
11、不是稳定平衡点。不是稳定平衡点。第16页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模17种群模型回到我们的问题，由于回到我们的问题，由于所以，所以，当当k rk rk r 时，时，是稳定平衡点是稳定平衡点,p0不是不是 ；第17页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模18种群模型 结果分析结果分析 当捕捞适度当捕捞适度(即：即：k r）时，渔场产量将减至）时，渔场产量将减至 p1=0 0，破坏性，破坏性捕捞，从而是不可持续的。捕捞，从而是不可持续的。第18页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模19种群模型 进一步讨论进一步讨论 如何控制捕捞强度如何控制捕捞强度k,使得持续产量使得持续产量 h(p0)=k
12、p0 最大？最大？第19页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模20种群模型对应的对应的 结论结论 控制捕捞强度控制捕捞强度k=r/2，使渔场产量，使渔场产量pm保持在最保持在最大鱼量大鱼量N 的一半时，可以获得最大的持续产量的一半时，可以获得最大的持续产量hm=rN/4。第20页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模21种群模型 多种群模型多种群模型 多种群模型包含相互竞争模型、相互依存模型多种群模型包含相互竞争模型、相互依存模型及弱肉强食模型，前两个模型可以统一用微分方程及弱肉强食模型，前两个模型可以统一用微分方程组描述为组描述为 第21页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模22种群模型 在该
13、系统中，在该系统中，的不同取值便决定了这两个的不同取值便决定了这两个种群的不同关系。种群的不同关系。，0 0，表示该模型为种群，表示该模型为种群间相互竞争模型；间相互竞争模型；，0 0，则意味着该模型为种，则意味着该模型为种群间相互依存模型。若群间相互依存模型。若 0,0,则该模型可变则该模型可变化为弱肉强食模型，我们在这里只讨论第三种模化为弱肉强食模型，我们在这里只讨论第三种模型的建立及解的表现。型的建立及解的表现。第22页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模23种群模型 先介绍一些微分方程定性理论中的结论。考虑微分方程先介绍一些微分方程定性理论中的结论。考虑微分方程先介绍一些微分方程定性理
14、论中的结论。考虑微分方程先介绍一些微分方程定性理论中的结论。考虑微分方程组组组组 二元方程组二元方程组二元方程组二元方程组 的根称为微分方程组（的根称为微分方程组（的根称为微分方程组（的根称为微分方程组（11111111）的平衡点）的平衡点）的平衡点）的平衡点。第23页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模24种群模型 设设设设(x x*,y,y*)是方程组（是方程组（是方程组（是方程组（1111）的一个平衡点）的一个平衡点,令令 将将将将P(x,yx,y),Q Q(x,y)在在在在(x x*,y,y*)附近展开，略去高阶项，可得附近展开，略去高阶项，可得近似线性系统：近似线性系统：第24页，讲
15、稿共41张，创作于星期二数学建模25种群模型 设系数矩阵设系数矩阵设系数矩阵设系数矩阵 的特征根为的特征根为的特征根为的特征根为 1 1 1 1，2 2，则有以下结论：，则有以下结论：1 1 1 1 ，2 2 2 2是同号实数时：是同号实数时：i i 0 0 (x x*,y*)不是稳定点。不是稳定点。不是稳定点。不是稳定点。1 1 1 1 ，2 2 2 2是异号实数时，是异号实数时，是异号实数时，是异号实数时，(x*,y*)(x*,y*)点不是稳定点，称为鞍点不是稳定点，称为鞍点。点。第25页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模26种群模型 1 1 ，2 2是共轭复数时：是共轭复数时：1 1
16、，2 2 abi a 0 (x*,y*)不不 是稳定点。是稳定点。微分方程组（微分方程组（1111）的平衡点）的平衡点(x*,y*)的稳定的稳定性，可以应用上述三条结论判定。性，可以应用上述三条结论判定。第26页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模27种群模型 弱肉强食模型弱肉强食模型 弱肉强食模型，生态学弱肉强食模型，生态学弱肉强食模型，生态学弱肉强食模型，生态学 上称为食饵（上称为食饵（上称为食饵（上称为食饵（PreyPrey）捕食捕食 者（者（者（者（PredaterPredater）系统，简称）系统，简称）系统，简称）系统，简称 为为为为PPPP系统。系统。系统。系统。二十世纪二十世纪
17、二十世纪二十世纪20年代中期，年代中期，年代中期，年代中期，意大利生物学家意大利生物学家意大利生物学家意大利生物学家DAnconaDAncona研究鱼类种群间的制约关系。在研研究鱼类种群间的制约关系。在研研究鱼类种群间的制约关系。在研研究鱼类种群间的制约关系。在研究过程中，他偶然注意到了在第一次世界大战时期，地中海究过程中，他偶然注意到了在第一次世界大战时期，地中海究过程中，他偶然注意到了在第一次世界大战时期，地中海究过程中，他偶然注意到了在第一次世界大战时期，地中海各个港口的捕鱼资料中，鲨鱼等（捕食者）鱼类的比例有明各个港口的捕鱼资料中，鲨鱼等（捕食者）鱼类的比例有明各个港口的捕鱼资料中，鲨
18、鱼等（捕食者）鱼类的比例有明各个港口的捕鱼资料中，鲨鱼等（捕食者）鱼类的比例有明显的提高（见下表）。显的提高（见下表）。显的提高（见下表）。显的提高（见下表）。第27页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模28种群模型 他无法解释这种现象，于是求助于著名意大利数学家他无法解释这种现象，于是求助于著名意大利数学家V.Volterra，希望他能帮助建立一个，希望他能帮助建立一个PP系统的数学模系统的数学模型，来解释这种现象。型，来解释这种现象。模型建立模型建立（Volterra模型）模型）设食饵数量为设食饵数量为x1(t)，捕食者数量为，捕食者数量为x2(t)。年份年份年份年份19141914191
19、4191419151915191519151916191619161916191719171917191719181918191819181919191919191919192019201920192019211921192119211922192219221922鲨鱼比例鲨鱼比例鲨鱼比例鲨鱼比例11.911.911.911.921.4 21.4 21.4 21.4 22.1 22.1 22.1 22.1 21.2 21.2 21.2 21.2 36.4 36.4 36.4 36.4 27.3 27.3 27.3 27.3 16.0 16.0 16.0 16.0 15.9 15.9 15.9
20、15.9 14.8 14.8 14.8 14.8 第28页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模29种群模型 第一步：只考虑食饵。假定大海的资源非常丰第一步：只考虑食饵。假定大海的资源非常丰富，食饵之间不存在竞争，则富，食饵之间不存在竞争，则x1(t)将以固有增长率将以固有增长率r1的速度无限增长，即：的速度无限增长，即：x1=r1 x1.第二步：考虑到捕食者的存在，食饵的增长将受第二步：考虑到捕食者的存在，食饵的增长将受到限制，设降低的程度与捕食者数量成正比到限制，设降低的程度与捕食者数量成正比,即：即：x1=x1(r1 1 x2)(14)(14)比例系数比例系数1 反映捕食者的捕食能力。反映
21、捕食者的捕食能力。第29页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模30种群模型 第三步：捕食者离开食饵无法生存，设其自然死亡率为第三步：捕食者离开食饵无法生存，设其自然死亡率为第三步：捕食者离开食饵无法生存，设其自然死亡率为第三步：捕食者离开食饵无法生存，设其自然死亡率为r r2 2(0)(0)，则则则则x x2 2 =r r2x2 2。而食饵为它提供食物的作用相当于使其死亡而食饵为它提供食物的作用相当于使其死亡而食饵为它提供食物的作用相当于使其死亡而食饵为它提供食物的作用相当于使其死亡率降低，率降低，率降低，率降低，促进了其增长。设这个作用与食饵数量成正比，于是：促进了其增长。设这个作用与食饵数
22、量成正比，于是：促进了其增长。设这个作用与食饵数量成正比，于是：促进了其增长。设这个作用与食饵数量成正比，于是：x x2 2 =x=x2 2(-(-r r2 2 2 2x1 1)(15)(15)比例系数比例系数比例系数比例系数 2 2 反映食饵对捕食者的供养能力。反映食饵对捕食者的供养能力。反映食饵对捕食者的供养能力。反映食饵对捕食者的供养能力。方程（方程（方程（方程（14141414）、（）、（）、（）、（15151515）表示在正常的情况下，两类鱼相互之间）表示在正常的情况下，两类鱼相互之间）表示在正常的情况下，两类鱼相互之间）表示在正常的情况下，两类鱼相互之间的影响关系。的影响关系。的影
23、响关系。的影响关系。第30页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模31种群模型模型分析模型分析 解方程组解方程组 x1(r1 1 x2)=0 x2(-r2 2 x1)=0得到方程组（得到方程组（14）、（）、（15）的平衡点为）的平衡点为 仍用线性化的方法研究平衡点的稳定性仍用线性化的方法研究平衡点的稳定性。第31页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模32种群模型对于对于P1(0,0)点点,两个特征根为异号实数，故两个特征根为异号实数，故P1(0,0)点不稳定点不稳定。第32页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模33种群模型 对于对于 ：特征方程为特征方程为 此时，两个特征根是共轭复数，实部为此
24、时，两个特征根是共轭复数，实部为0，故无法直接，故无法直接判断平衡点稳定性。判断平衡点稳定性。为分析解的渐进行为，一种变通方法是到相空间中去为分析解的渐进行为，一种变通方法是到相空间中去分析解轨迹的图形。在（分析解轨迹的图形。在（14）、（）、（15）中消去）中消去dt，得：得：第33页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模34种群模型第34页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模35种群模型n n定理定理当当x1,x2 0 时，方程时，方程 定义了一族封闭曲线。定义了一族封闭曲线。第35页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模36种群模型P0T1T2T2T2第36页，讲稿共41张，创作于星期二数学
25、建模37种群模型n n轨线是一族以平衡点轨线是一族以平衡点P P0 0 为中心的封闭曲线为中心的封闭曲线,方向为逆时针方向为逆时针方向（由导数符号确定）。方向（由导数符号确定）。n n封闭轨线对应着方程封闭轨线对应着方程(16)(16)的周期解的周期解,所以所以P P0 0 是不稳定的，是不稳定的，我们用一个周期内的平均值作为食饵与捕食者的近似值。我们用一个周期内的平均值作为食饵与捕食者的近似值。第37页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模38种群模型模型解释模型解释 1.1.1.1.捕食者死亡率的下降捕食者死亡率的下降(r r r r2 2 2 2 ),),或食饵对捕食者的供或食饵对捕食者的
26、供或食饵对捕食者的供或食饵对捕食者的供 养能力的养能力的养能力的养能力的增加增加增加增加 (2 2 ),),),),都将导致食饵的减少都将导致食饵的减少都将导致食饵的减少都将导致食饵的减少 (x x x x1 1 )。2.2.食饵增长率的下降食饵增长率的下降食饵增长率的下降食饵增长率的下降 （r r1 1 1 1 ），或捕食者的掠食能力的增），或捕食者的掠食能力的增加加 (1 1 ),),),),都将导致捕食者数量的减少都将导致捕食者数量的减少都将导致捕食者数量的减少都将导致捕食者数量的减少 (x x2 2 )。3.3.3.3.周期性可以解释为当食用鱼大量增加时，鲨鱼由于有了丰富周期性可以解释
27、为当食用鱼大量增加时，鲨鱼由于有了丰富周期性可以解释为当食用鱼大量增加时，鲨鱼由于有了丰富周期性可以解释为当食用鱼大量增加时，鲨鱼由于有了丰富的食物而大量增加，从而大量的食用鱼被吞吃，数量急剧减的食物而大量增加，从而大量的食用鱼被吞吃，数量急剧减的食物而大量增加，从而大量的食用鱼被吞吃，数量急剧减的食物而大量增加，从而大量的食用鱼被吞吃，数量急剧减少，少，少，少，反过来造成鲨鱼的减少，而鲨鱼的减少又促使食用鱼反过来造成鲨鱼的减少，而鲨鱼的减少又促使食用鱼反过来造成鲨鱼的减少，而鲨鱼的减少又促使食用鱼反过来造成鲨鱼的减少，而鲨鱼的减少又促使食用鱼大量增加，如此循环往复，形成周期性。大量增加，如此
28、循环往复，形成周期性。大量增加，如此循环往复，形成周期性。大量增加，如此循环往复，形成周期性。第38页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模39种群模型 下面用这个模型解释为什么战争时期捕捞量下下面用这个模型解释为什么战争时期捕捞量下降有利于鲨鱼繁殖的问题。降有利于鲨鱼繁殖的问题。设表示捕捞能力的系数为设表示捕捞能力的系数为e e,则相当于食饵的自则相当于食饵的自然增长率由然增长率由r r1 1 下降为下降为r r1 1-e e ,捕食者的死亡率由捕食者的死亡率由r r2 2 增增加为加为r r2 2+e e 。用。用y y1 1(t t)和和y y2 2(t t)表示这种情况下食表示这种情况下
29、食饵和捕食者的数量，平均数量为饵和捕食者的数量，平均数量为 第39页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模40种群模型 于是，于是，关于关于e e 递增，递增，关于关于e e 递减。捕捞的递减。捕捞的越多，则食用鱼数量增加越多，则食用鱼数量增加;捕捞的越少，则食用鱼捕捞的越少，则食用鱼数量减少。这样，数量减少。这样，Voltera Voltera 模型便解释了模型便解释了 D DAncona Ancona 提出的问题。提出的问题。模型的进一步讨论模型的进一步讨论 1.1.系统受到外界干扰后的恢复能力？系统受到外界干扰后的恢复能力？2.2.自然界中此类周期现象的例子？自然界中此类周期现象的例子？第40页，讲稿共41张，创作于星期二数学建模感感谢谢大大家家观观看看第41页，讲稿共41张，创作于星期二