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1、数理方程课件.第1页，共24页，编辑于2022年，星期六1求解矩形域的拉普拉斯方程求解矩形域的拉普拉斯方程使其满足边界条件使其满足边界条件解：解：令令代入式代入式(2.2.1)，得，得(2.2.1)(2.2.2)(2.2.3)(2.2.4)(2.2.5)令令可得：可得：第2页，共24页，编辑于2022年，星期六由边界条件由边界条件(2.2.3)得：得：(2.2.6)本征值问题：本征值问题：(2.2.5)(2.2.6)（1）当）当 时，式时，式(2.2.5)的通解为：的通解为：由式由式(2.2.6)有：有：由此得：由此得：即式即式(2.2.5)、(2.2.6)无非零解。无非零解。所以所以第3页，
2、共24页，编辑于2022年，星期六(2.2.5)(2.2.6)（2）当）当 时，式时，式(2.2.5)的通解为：的通解为：从而从而由由 可得：可得：故得故得（常数）（常数）（3）当）当 时，式时，式(2.2.5)的通解为：的通解为：从而从而由由 得：得：由由 得：得：第4页，共24页，编辑于2022年，星期六故有故有即即综合综合 和和 两种情况，可知：两种情况，可知：本征值为：本征值为：本征函数为：本征函数为：将将 的值代入式的值代入式(2.2.4)：解得解得第5页，共24页，编辑于2022年，星期六故问题的一般解为：故问题的一般解为：由边界条件由边界条件 得：得：第6页，共24页，编辑于20
3、22年，星期六一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。因此：因此：又由又由 得：得：将将 展开成展开成Fourier余弦级数，并比较系数有：余弦级数，并比较系数有：由此得：由此得：第7页，共24页，编辑于2022年，星期六解得：解得：代入式代入式(2.2.7)得问题的解为：得问题的解为：注意：采用分离变量法求解时，用齐次边界条件构成本征值问题，用非齐次注意：采用分离变量法求解时，用齐次边界条件构成本征值问题，用非齐次边界条件定叠加系数。边界条件定叠加系数。第8页，共24页，编辑于2022年，星期六2求解圆形域的拉普拉斯方程求解圆形域的拉普拉斯方程例：带电
4、云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度例：带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 是铅是铅垂的水平架设的输电线处在这个静电场中输电线是导体圆柱柱面垂的水平架设的输电线处在这个静电场中输电线是导体圆柱柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是匀强的了由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是匀强的了不过，离圆柱不过，离圆柱“无限远无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究导体圆柱怎样处的静电场仍保持匀强，现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）解：解：导线导线第9页，共24页，编辑于2022年
5、，星期六建立如图所示坐标系，建立如图所示坐标系，Z-轴沿导线。轴沿导线。X轴平行轴平行由于导线无限长，可将电场看作沿由于导线无限长，可将电场看作沿z 方向不变。只需方向不变。只需要研究要研究 x-y 平面的状态平面的状态，平面问题平面问题。真空静电势满足拉普拉斯方程：真空静电势满足拉普拉斯方程：边界条件从云、地、导线三方面考虑。边界条件从云、地、导线三方面考虑。导线的表面是等势面，取其为电势导线的表面是等势面，取其为电势零点零点a为导线半径为导线半径云、地在无穷远处，静电场仍为云、地在无穷远处，静电场仍为 ，由由 有有由于由于X轴平行轴平行 ，有，有 所以所以第10页，共24页，编辑于2022
6、年，星期六根据导线边界条件，本题应取平面极坐标，根据导线边界条件，本题应取平面极坐标，坐标原点在导线中心。，坐标原点在导线中心。定解问题：定解问题：方程方程定解条件定解条件用分离变量法求解。用分离变量法求解。令令代入方程，得代入方程，得第11页，共24页，编辑于2022年，星期六两边除以两边除以u，乘以，乘以 得：得：令：令：得到：得到：自然周期边界条件：自然周期边界条件：得：得：第12页，共24页，编辑于2022年，星期六本征值问题：本征值问题：微分方程的通解是微分方程的通解是:不具周期性，所以舍去。不具周期性，所以舍去。1）2）微分方程的通解是微分方程的通解是:B=0时具周期性。时具周期性
7、。微分方程的通解是微分方程的通解是:3）以以 为周期，所以取为周期，所以取第13页，共24页，编辑于2022年，星期六本征函数为：本征函数为：本征值为：本征值为：将这个结果代入到关于将这个结果代入到关于R的方程：的方程：Euler方程方程本征值问题：本征值问题：得：得：Euler方程的一般形式：方程的一般形式：变系数的线性微分方程，变系数的线性微分方程，导数的阶数与系数的幂数相同导数的阶数与系数的幂数相同。第14页，共24页，编辑于2022年，星期六通解为：通解为：有：有：Euler方程可化为：方程可化为：变回原来的变量变回原来的变量 ，可得：，可得：对对Euler方程做变量变换：方程做变量变
8、换：解法：通过变换化为常系数线性微分方程解法：通过变换化为常系数线性微分方程二阶常系数线性齐次二阶常系数线性齐次第15页，共24页，编辑于2022年，星期六所以所以叠加得到一般解：叠加得到一般解：由边界条件定常数。由边界条件定常数。当当 时，有时，有第16页，共24页，编辑于2022年，星期六由此得：由此得：即：即：以及：以及：即：即：代入一般解：代入一般解：得：得：令令 ，略去，略去 和和 项后，得：项后，得：再由边界条件再由边界条件第17页，共24页，编辑于2022年，星期六比较等式两边的系数，有：比较等式两边的系数，有：于是得到导体周围的电势分布于是得到导体周围的电势分布代入代入上式中间
9、项为原来静电场的电势分布，上式中间项为原来静电场的电势分布，前面的一项与导体原来的带电量有关，如果导体不带电，则前面的一项与导体原来的带电量有关，如果导体不带电，则 ，这时圆柱，这时圆柱周围的电势是周围的电势是最后一项当最后一项当 时可以忽略，它代表在导体附近对匀强电场的修正，是柱面感时可以忽略，它代表在导体附近对匀强电场的修正，是柱面感应电荷的影响。应电荷的影响。第18页，共24页，编辑于2022年，星期六注：注：1.边界条件决定坐标系边界条件决定坐标系 2.自然边界条件自然边界条件 3.欧拉方程求解欧拉方程求解 4.模型应用模型应用A、B两点场强：两点场强：易击穿！场强大小与半径无关。易击
10、穿！场强大小与半径无关。y轴上场强：轴上场强：高压电容器极板必须刨得十分光滑！高压电容器极板必须刨得十分光滑！第19页，共24页，编辑于2022年，星期六n无初始条件的例子：长为无初始条件的例子：长为l的理想传输线，一端接于电动势为的理想传输线，一端接于电动势为 的交流电源，另一端短路，求解线上的稳恒电振荡。的交流电源，另一端短路，求解线上的稳恒电振荡。解：经历交流电的许多周期后解：经历交流电的许多周期后,初始条件所引起的自由振荡衰减到可以认为已初始条件所引起的自由振荡衰减到可以认为已经消失，这时的电振荡完全是由交流电源引起的，因此是没有初始条件的经消失，这时的电振荡完全是由交流电源引起的，因
11、此是没有初始条件的问题：问题：为了计算方便，将电动势为了计算方便，将电动势 写成写成 最后将得到的解取虚部。最后将得到的解取虚部。第20页，共24页，编辑于2022年，星期六由于振荡完全由交流电源引起，可以认为振荡的周期与交流电源相同，即令：由于振荡完全由交流电源引起，可以认为振荡的周期与交流电源相同，即令：代入方程代入方程得：得：即：即：其通解为：其通解为：因此，方程的一般解为：因此，方程的一般解为：第21页，共24页，编辑于2022年，星期六下面由边界条件定常数。下面由边界条件定常数。由由 ，得：，得：再由再由 ，得：，得：解出解出A和和B，有：，有：第22页，共24页，编辑于2022年，星期六代入到解的表达式，得：代入到解的表达式，得：取虚部，并以取虚部，并以 代入，得传输线内稳恒的电振荡：代入，得传输线内稳恒的电振荡：第23页，共24页，编辑于2022年，星期六总结总结n边界形状确定坐标系的选取边界形状确定坐标系的选取n矩形域：矩形域：q齐次边界条件齐次边界条件+非齐次边界条件非齐次边界条件q齐次边界条件用来解本征值，非齐次边界条件用来确定一齐次边界条件用来解本征值，非齐次边界条件用来确定一般解的系数般解的系数n圆形域：圆形域：q采用极坐标系采用极坐标系q自然边界条件用来解本征值问题自然边界条件用来解本征值问题q欧拉方程欧拉方程第24页，共24页，编辑于2022年，星期六