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1、第七章第七章 一阶电路和一阶电路和二阶电路的时域分析二阶电路的时域分析第1页，本讲稿共61页7-8 7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应*7-9 *7-9 卷积积分卷积积分*7-10*7-10 状态方程状态方程*7-11*7-11 动态电路时域分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题7-7 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应第2页，本讲稿共61页 理解动态电路的概念；熟练掌握求解一阶电路的理解动态电路的概念；熟练掌握求解一阶电路的零输入、零状态和全响应的方法；掌握求解一阶电路零输入、零状态和全响应的方法；掌握求解一阶电路阶跃响应、冲
2、激响应的方法；了解求解二阶电路的各阶跃响应、冲激响应的方法；了解求解二阶电路的各种响应的经典法；了解二阶电路的过渡过程的性质和种响应的经典法；了解二阶电路的过渡过程的性质和物理意义。物理意义。应用三要素法分析一阶电路的零输入响应、零状应用三要素法分析一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应；求解一阶电路的阶跃响应、冲激响态响应和全响应；求解一阶电路的阶跃响应、冲激响应。应。第3页，本讲稿共61页 针对一阶或高阶电路，如何写出相应的微分方针对一阶或高阶电路，如何写出相应的微分方程；冲激响应的求解。程；冲激响应的求解。讲课讲课7 7学时，习题学时，习题1 1学时。学时。第4页，本讲稿共61页一、动
3、态电路的有关概念一、动态电路的有关概念 一阶一阶(动态动态)电路电路 仅含仅含一个动态元件一个动态元件，且无源元件都是线性和时不，且无源元件都是线性和时不变的电路，其电路方程是一阶线性常微分方程。变的电路，其电路方程是一阶线性常微分方程。7-1 7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 二阶二阶(动态动态)电路电路 含含两个动态元件两个动态元件的电路，其电路方程是二阶微分的电路，其电路方程是二阶微分方程。方程。第5页，本讲稿共61页7-1 7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 过渡过程过渡过程 当电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使当电路的结构或
4、元件的参数发生变化时，可能使电路从一种工作状态转变到另一种工作状态，期间所电路从一种工作状态转变到另一种工作状态，期间所经历的过程称为过渡过程。经历的过程称为过渡过程。换路换路 电路结构或参数变化引起的电路变化称为换路，电路结构或参数变化引起的电路变化称为换路，换路是瞬间完成的。换路是瞬间完成的。设设 t=0 时刻时刻换路，则换路，则 t=0-表示换路前的终了瞬间表示换路前的终了瞬间 t=0+表示换路后的初始瞬间表示换路后的初始瞬间（初始值）（初始值）第6页，本讲稿共61页7-1 7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件二、分析动态电路的方法二、分析动态电路的方法 经典法经
5、典法 三要素法三要素法 该方法仅适用于一阶动态电路该方法仅适用于一阶动态电路。建立以时间为自变量的线性常微分方程，然后求建立以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解，该方法是在时域中进行解，该方法是在时域中进行。三、动态电路的初始条件三、动态电路的初始条件 电路中所求变量电路中所求变量(电压或电流电压或电流)及其及其(n-1)阶导数在阶导数在t=0+时的值。时的值。初始条件初始条件(初始值初始值)第7页，本讲稿共61页7-1 7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 独立初始条件独立初始条件电容电压的初始值电容电压的初始值uC(0+)。令令 t0=0-，t=0+，则，则若换
6、路前后，若换路前后，i 为有限值，则为有限值，则换路瞬间，换路瞬间，电容电压不能突变电容电压不能突变。第8页，本讲稿共61页7-1 7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件电感电流的初始值电感电流的初始值iL(0+)。令令 t0=0-，t=0+，则，则若换路前后，若换路前后，uL 为有限值，则为有限值，则换路瞬间，换路瞬间，电感电流不能突变电感电流不能突变。第9页，本讲稿共61页7-1 7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 非独立初始条件非独立初始条件换路定则换路定则换路瞬间，换路瞬间，电容电压不能突变电容电压不能突变；电感电流不能突变电感电流不能突
7、变。根据独立初始条件，采用根据独立初始条件，采用t=0+时的等效电路：时的等效电路：电容元件用理想电压源代替电容元件用理想电压源代替，其电压值为，其电压值为uC(0+)；电感元件用理想电流源代替电感元件用理想电流源代替，其电流值为，其电流值为iL(0+)。第10页，本讲稿共61页例：例：换路前电路处于稳态，试求图示电路中元件电压换路前电路处于稳态，试求图示电路中元件电压和电流的初始值。和电流的初始值。解：解：由由t=0-等效电路求等效电路求 uC(0)、iL(0)624Vt=0iSiCuCuLiL12i16i2+-+-+-t=0-等效电路 624VuC(0-)126+-+-iL(0-)7-2
8、7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应第11页，本讲稿共61页由由t=0+等效电路求非独立初始值等效电路求非独立初始值t=0+等效电路 624VuC(0+)126+-+-iL(0+)i1(0+)i2(0+)iS(0+)iC(0+)uL(0+)+-7-2 7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应第12页，本讲稿共61页7-2 7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应一、一、RC电路的零输入响应电路的零输入响应零输入响应：零输入响应：换路后，动态电路中无外施激励电源，换路后，动态电路中无外施激励电源，仅由动态元件初始储能所产生的响应。仅由动态元件初始储能所产生的响应。Ut
9、=0C+-+-RuRuCiRC放电电路一阶齐次微分方程 电容电压电容电压 uC 的变化规律的变化规律(t 0)第13页，本讲稿共61页7-2 7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应令方程通解为：令方程通解为：特征方程：特征方程：将其带入方程得将其带入方程得由初始值确定由初始值确定积分常数积分常数A方程通解为：方程通解为：根据换路定则：根据换路定则：t=0+时，则时，则 A=U电容电压电容电压 uC 的变化规律（的变化规律（t 0）为）为第14页，本讲稿共61页7-2 7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 电容电压电容电压uC按指数规律从初始值按指数规律从初始值U衰减而趋于
10、零，衰减而趋于零，衰减的快慢由电路的衰减的快慢由电路的时间常数时间常数决定。决定。i、uR的变化规律的变化规律 uC、i、uR的变化曲线的变化曲线U-UtOuC，i，uR第15页，本讲稿共61页7-2 7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应物理意义物理意义令:单位单位:秒（秒（S）时间常数时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢。决定电路暂态过程变化的快慢。当 时，时间常数时间常数等于电压等于电压uC衰减到衰减到初始值初始值U的的36.8%所需的时间。所需的时间。时间常数时间常数tOuCU36.8%U第16页，本讲稿共61页7-2 7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应经过经过
11、 t=5 的时间，就足可认为电路达到稳态。的时间，就足可认为电路达到稳态。理论上理论上 t 电路才能达到稳态。电路才能达到稳态。工程上认为 电路就可认为达到稳态。几何意义：几何意义：指数曲线上任意点指数曲线上任意点的次切距的长度都等于的次切距的长度都等于 。暂态时间暂态时间tOuCU36.8%U0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U随时间而衰减第17页，本讲稿共61页二、二、RL电路的零输入响应电路的零输入响应 电感电流电感电流 iL 的变化规律的变化规律t=0时开关时开关S由由1合到合到2一阶线性齐次微分方程令方程通解为：令方程通解为：由特征方程：
12、由特征方程：Ut=0L+-+-RuRuLiL7-2 7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应第18页，本讲稿共61页7-2 7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应由初始值确定由初始值确定积分常数积分常数 A方程通解为：电感电流电感电流 iL 按指数规律从初始值衰减至零，衰按指数规律从初始值衰减至零，衰减的快慢由减的快慢由决定。决定。根据换路定则：t=0+时，则 第19页，本讲稿共61页7-2 7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 uL、uR的变化规律的变化规律 iL、uL、uR的变化曲线的变化曲线O-UuRtiL，uL，uRiLUuL 第20页，本讲稿共61页7-
13、2 7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 eL可能使开关两触点之可能使开关两触点之间的空气击穿而造成电弧以间的空气击穿而造成电弧以延缓电流的中断，开关触点延缓电流的中断，开关触点因而被烧坏。因而被烧坏。用开关用开关S将线圈从电源断开而未加以短路将线圈从电源断开而未加以短路 解决方法：解决方法：与线圈串接与线圈串接低值低值泄放电阻泄放电阻R1。Ut=0L+-+-RuRLiUt=0L+-+-RuRLiR1与线圈连接泄放电阻 因为电流变化率 很大所以 很大第21页，本讲稿共61页7-2 7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应例例7-2 图示是一台图示是一台300kW汽轮发电机的
14、励磁回路。已汽轮发电机的励磁回路。已知励磁绕组的电阻知励磁绕组的电阻R=0.189，电感，电感L=0.398H，直流，直流电压电压U=35V。电压表的量程为。电压表的量程为50V，内阻，内阻 RV=5k。开关未断开时，电路中电流已经恒定不变。在开关未断开时，电路中电流已经恒定不变。在 t=0 时时断开开关。求：断开开关。求：电阻、电感回路的时间常数；电阻、电感回路的时间常数；电电流流 i 的初始值；的初始值；电流电流 i和电压表处的电压和电压表处的电压uV；开关开关刚断开时，电压表处的电压。刚断开时，电压表处的电压。+-RViLRV+-uVU解：解：第22页，本讲稿共61页7-2 7-2 一阶
15、电路的零输入响应一阶电路的零输入响应第23页，本讲稿共61页7-2 7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应例例7-3 图示电路，开关图示电路，开关S合在位置合在位置1时电路已达稳态，时电路已达稳态，t=0时开关由位置时开关由位置1合向位置合向位置2，试求，试求t0时的电流时的电流i(t)。解：解：用加压求流法求等效电阻 R+-2i+-i9V0.25F第24页，本讲稿共61页7-3 7-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应一、一、RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应：零状态响应：换路后，动态电路中动态元件初始储能换路后，动态电路中动态元件初始储能为零，由外施激励引起的
16、响应。为零，由外施激励引起的响应。Ut=0C+-+-RuRuCiRC充电电路+-u一阶线性非齐次微分方程 电容电压电容电压uC的变化规律的变化规律第25页，本讲稿共61页方程的解方程的解=特解特解+通解通解特解特解：通解：通解：即：即：7-3 7-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应根据初始值确定根据初始值确定积分常数积分常数 A根据换路定则：根据换路定则：t=0+时，则时，则 A=U第26页，本讲稿共61页 i、uR的变化规律的变化规律7-3 7-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应稳态分量(强制分量)：电路到达稳定状态时的电压，其变化规律和大小都与电源电压U有关。-UU瞬态
17、分量(自由分量)：仅存在于暂态过程中，其变化规律与电源电压U无关，但其大小与U有关。-36.8%U uC、i、uR的变化曲线的变化曲线touC63.2%U第27页，本讲稿共61页 表示电容电压表示电容电压 uC 从初始值从初始值上升到稳态值的上升到稳态值的63.2%时所需的时间。时所需的时间。7-3 7-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应UtOuC，i，uR第28页，本讲稿共61页7-3 7-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 电感电流电感电流iL的变化规律的变化规律特解补函数Ut=0L+-+-RuRuLiLu+-RL电路与恒定电压接通电路与恒定电压接通令通解令二、二、RL
18、电路的零状态响应电路的零状态响应第29页，本讲稿共61页7-3 7-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应根据初始值确定根据初始值确定积分常数积分常数 A微分方程的通解为：微分方程的通解为：根据换路定则：根据换路定则：t=0+时，则第30页，本讲稿共61页7-3 7-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 uL、uR的变化规律的变化规律 iL、uL、uR的变化曲线的变化曲线OtiL，uL，uRiLUuLuR第31页，本讲稿共61页UtOuC，i，uR7-3 7-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应第32页，本讲稿共61页7-4 7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应U0t
19、=0C+-+-RuRuCiU+-全响应：全响应：换路后，外施激励及储能元件的初始状态均换路后，外施激励及储能元件的初始状态均不为零时电路的响应。不为零时电路的响应。一、一、RC电路的全响应电路的全响应 电容电压电容电压uC的变化规律的变化规律t=0 时开关时开关S由由1切换到切换到2微分方程的通解为：微分方程的通解为：第33页，本讲稿共61页零输入响应零输入响应这是叠加定理在电路暂态分析中的体现。这是叠加定理在电路暂态分析中的体现。根据初始值确定根据初始值确定积分常数积分常数A根据换路定则：根据换路定则：t=0+时，则时，则 A=U0U 全响应全响应=+零状态响应零状态响应第34页，本讲稿共6
20、1页稳态分量瞬态分量全响应全响应=稳态分量稳态分量+瞬态分量瞬态分量第35页，本讲稿共61页（三要素）（三要素）在直流电源激励下，分析一阶电路的全响应的一在直流电源激励下，分析一阶电路的全响应的一般公式为般公式为初始值稳态值时间常数 一阶线性电路均可应用三要素法求解，即只要求得 、和 这三个要素的基础上，就能直接写出电路的响应（电压或电流）。7-4 7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应第36页，本讲稿共61页由由t=0-等效电路求等效电路求 。根据换路定则：由由t=0+等效等效电路求其它非独立初始值。电路求其它非独立初始值。在在t=0+等效电路中等效电路中初始值初始值 的求法的求法 如何求
21、三要素如何求三要素若若 ，则电容元件用理想电压源代替，其，则电容元件用理想电压源代替，其值为值为 ；若若 ，则电容元件视作短路。，则电容元件视作短路。若若 ，则电感元件用理想电流源代替，则电感元件用理想电流源代替，其其值为值为 ；若若 ，则电感元件视作开路。，则电感元件视作开路。7-4 7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应第37页，本讲稿共61页例：例：确定图示电路中各电流和电压的初始值，设开关确定图示电路中各电流和电压的初始值，设开关S闭合前电感元件和电容元件均未储能。闭合前电感元件和电容元件均未储能。解：解：46Vt=0iCuCuLiL42i+-+-+-46VuC(0+)42+-+-+
22、-uL(0+)iL(0+)iC(0+)i(0+)t=0+等效电路7-4 7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应第38页，本讲稿共61页 换路后，当换路后，当 t 时的等效电路中，电容视作开时的等效电路中，电容视作开路，电感视作短路。路，电感视作短路。稳态值稳态值 的求法的求法例：例：求开关求开关S闭合后闭合后i1、i2、iC和和uC的稳态值。的稳态值。解：解：39Vt=0i2uCiC6i1+-+-7-4 7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应第39页，本讲稿共61页 R0为换路后的电路为换路后的电路除源除源（即将理想电压源短接、（即将理想电压源短接、理想电流源开路）后，从储能元件两端理想电
23、流源开路）后，从储能元件两端（不含储能元（不含储能元件）件）看进去的无源二端网络间的等效电阻。看进去的无源二端网络间的等效电阻。时间常数时间常数 的求法的求法一阶RC电路：一阶RL电路：例：例：39Vt=0i2uC6i1+-+-47-4 7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应第40页，本讲稿共61页例例7-4 图示电路中图示电路中US=10V，IS=2A，R=2，L=4H。试求试求 S 闭合后电路中的电流闭合后电路中的电流 iL 和和 i。7-4 7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应解：解：+-RISiUSiLL第41页，本讲稿共61页7-4 7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应例例
24、7-5 图示电路，开关图示电路，开关 S 闭合前电路已达稳定状态，闭合前电路已达稳定状态，求求 t=0 时电容电压时电容电压 uC 的零状态响应、零输入响应和的零状态响应、零输入响应和全响应。全响应。解：解：+-+-0.5V+-u11.5u1uC0.5F1A用加压求流法求等效电阻 R第42页，本讲稿共61页7-4 7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应全响应全响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应第43页，本讲稿共61页7-5 7-5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应略略第44页，本讲稿共61页7-6 7-6 二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应略略第45页
25、，本讲稿共61页7-7 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应一、阶跃函数一、阶跃函数 单位阶跃函数单位阶跃函数定义任一时刻定义任一时刻t0起始的阶跃函数起始的阶跃函数1tO 延迟的单位阶跃函数延迟的单位阶跃函数1tOt0第46页，本讲稿共61页7-7 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应1VCR+-一般阶跃函数一般阶跃函数AtOt0二、阶跃函数的作用二、阶跃函数的作用 阶跃函数又称开关函数，可作为电路中开关的数学阶跃函数又称开关函数，可作为电路中开关的数学模型。模型。1tO第47页，本讲稿共61页 用阶跃函数构成闸门函数截取一个函数的某段
26、波形。用阶跃函数构成闸门函数截取一个函数的某段波形。7-7 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应例：例：阶跃函数可起始任意一个阶跃函数可起始任意一个f(t)。tOt01tOt1t21tOt1-1tOt2第48页，本讲稿共61页7-7 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应三、阶跃响应三、阶跃响应初始状态为零的电路在阶跃电源作用下的响应。初始状态为零的电路在阶跃电源作用下的响应。阶跃响应是一种零状态响应，常用阶跃响应是一种零状态响应，常用s(t)表示单位阶表示单位阶跃响应跃响应。若电路的激励为 ，则电路的零状态响应为 。第49页，本讲稿共61
27、页7-7 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应例例7-11 图示电路，开关图示电路，开关S和在位置和在位置1时电路已达稳定状时电路已达稳定状态。态。t=0时，开关由位置时，开关由位置1合向位置合向位置2，在，在 t=RC 时时又由位置又由位置2合向位置合向位置1，求，求 t 0 时的电容电压时的电容电压uC(t)。解：解：US+-CR+-方法一方法一 在 区间为RC电路的零状态响应 在 区间为RC电路的零输入响应。第50页，本讲稿共61页7-7 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应方法二方法二UStOuS(t)UStOuS(t)-USRC
28、电路的单位阶跃响应为：电路的单位阶跃响应为：第51页，本讲稿共61页7-8 7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应一、冲激函数一、冲激函数 单位冲激函数单位冲激函数 一般冲激函数一般冲激函数1tOKtOt0表示一个强度为K，发生在t0时刻的冲激函数。第52页，本讲稿共61页7-8 7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应冲激函数的幅度趋于无穷大，但强度为有限值，它冲激函数的幅度趋于无穷大，但强度为有限值，它是用强度表征的。是用强度表征的。画冲激函数的波形时，在表示波形的箭头旁标注其画冲激函数的波形时，在表示波形的箭头旁标注其强度。强度。注意二、
29、冲激函数的两个性质二、冲激函数的两个性质 冲激函数与阶跃函数的关系冲激函数与阶跃函数的关系第53页，本讲稿共61页 “筛分筛分”性质性质7-8 7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应 冲激函数能把一个函数在某一时刻的值冲激函数能把一个函数在某一时刻的值“筛筛”出来。出来。三、电路的冲激响应三、电路的冲激响应 零状态电路在单位冲激电源作用下的响应称为单零状态电路在单位冲激电源作用下的响应称为单位冲激响应，常用位冲激响应，常用h(t)表示。表示。四、求取冲激响应的方法四、求取冲激响应的方法 根据阶跃响应求冲激响应根据阶跃响应求冲激响应第54页，本讲稿共61页7-8 7-8
30、 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应 将冲激响应转化为零输入响应求解将冲激响应转化为零输入响应求解 当单位冲激函数作用于零状态的一阶当单位冲激函数作用于零状态的一阶RC或或RL电电路，在路，在0-0+区间内它使电容电压或电感电流发生跃区间内它使电容电压或电感电流发生跃变，即变，即t0+时，时，uC(0+)或或 iL(0+)不为零，但此时冲激不为零，但此时冲激函数为零，因此电路中将产生相当于初始状态引起的函数为零，因此电路中将产生相当于初始状态引起的零输入响应。零输入响应。关键求冲激函数作用下的关键求冲激函数作用下的uC(0+)或或 iL(0+)。方法：方法：作出作出0+时
31、的等效电路，等效电路中电容视时的等效电路，等效电路中电容视作短路，电感视作开路，求得电容中的冲激电流或电作短路，电感视作开路，求得电容中的冲激电流或电感中的冲激电压后，再根据电容或电感各自的伏安关感中的冲激电压后，再根据电容或电感各自的伏安关系求得电路的初始状态系求得电路的初始状态uC(0+)或或iL(0+)。第55页，本讲稿共61页7-8 7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应例例1：求图示电路的冲激响应求图示电路的冲激响应iL和和uL。+-iL+-uL解：解：+-+-uL(0+)第56页，本讲稿共61页7-8 7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路
32、的冲激响应例例2：求图示电路的冲激响应求图示电路的冲激响应uC。解：解：+-i+-uC+-+-i+-用加压求流法求用加压求流法求R0第57页，本讲稿共61页7-9 7-9 卷积积分卷积积分略略第58页，本讲稿共61页7-10 7-10 状态方程状态方程略略第59页，本讲稿共61页*7-11 *7-11 动态电路时域分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题略略第60页，本讲稿共61页第七章作业P194 7-16P194 7-16P193 7-11P193 7-11 7-12 7-12P195 7-17P195 7-17 7-20 7-20P198 7-31P198 7-31 7-32 7-32第61页，本讲稿共61页