第七章 最优控制优秀课件.ppt

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1、第七章第七章 最优控制最优控制第1页，本讲稿共116页最优控制理论-现代控制理论的重要组成部分20世纪50年代发展形成系统的理论研究的对象-控制系统中心问题 给定一个控制系统，选择控制规律，使系统在某种意义上是最优的、统一的、严格的数学方法.第2页，本讲稿共116页7.1 7.1 最优控制问题最优控制问题7.1.1 两个例子 例7.1.1 飞船软着陆问题 宇宙飞船在月球表 面着陆时速度必须为零，即软着陆，这要靠发动机的推力变化来完成。问题是如何选择一个推力方案，使燃料消耗最小。m 飞船的质量，h 高度，v 垂直速度，g 月球重力加速度常数，M 飞船自身质量F 燃料的质量第3页，本讲稿共116页

2、软着陆过程开始时刻t为零 K为常数，初始状态 终点条件 第4页，本讲稿共116页控制目标推力方案第5页，本讲稿共116页例7.1.2 导弹发射问题 初始条件 末端约束 指标 控制第6页，本讲稿共116页7.1.2 问题描述(1)状态方程 一般形式为 为n维状态向量 为r维控制向量 为n维向量函数 给定控制规律 满足一定条件时，方程有唯一解 第7页，本讲稿共116页(2)容许控制：,有时控制域可为超方体(3)目标集 维向量函数 固定端问题 自由端问题 第8页，本讲稿共116页(4)性能指标 对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标 积分型性能指标，表示对整个状态和控制过程的要求 终点型指标

3、，表示仅对终点状态的要求 第9页，本讲稿共116页7.2 7.2 7.2 7.2 求解最优控制的变分方法求解最优控制的变分方法求解最优控制的变分方法求解最优控制的变分方法7.2.1 泛函与变分法基础平面上两点连线的长度问题 其弧长为第10页，本讲稿共116页一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线，记为 。，称为泛函。，称泛函的宗量 第11页，本讲稿共116页泛函与函数的几何解释 连续泛函 宗量的变分趋于无穷小时，泛函的变分也趋于无穷小线性泛函 泛函对宗量是线性的宗量的变分 泛函的增量 泛函的变分 Jd=第12页，本讲稿共116页定理7.2.1 泛函的变分为 第13页，本讲稿共116页

4、例7.2.1 求泛函的变分 定理7.2.2 若泛函 有极值，则必有上述方法与结论对多个未知函数的泛数同样适用 第14页，本讲稿共116页7.2.2 欧拉方程泛函 有二阶连续偏导数 两端固定 变分 分部积分 第15页，本讲稿共116页例7.2.2 求平面上两固定点间连线最短的曲线，直线 第16页，本讲稿共116页7.2.3 横截条件左端固定右端沿曲线变动 终点值与终点的变分 横截条件第17页，本讲稿共116页 第18页，本讲稿共116页例7.2.3 从一固定点到已知曲线有最小长度的曲线 所求的极值曲线与约束曲线相正交 欧拉方程 积分求解计算横截条件直线 第19页，本讲稿共116页7.2.4 含有

5、多个未知函数泛函的极值 泛函 欧拉方程 边界值 横截条件 第20页，本讲稿共116页7.2.5 条件极值状态方程 泛函 引进乘子 构造新的函数和泛函 欧拉方程 约束方程 第21页，本讲稿共116页例7.2.4 泛函约束方程 边界条件 试求使泛函有极值。解：化为标准形式 把问题化为标准形式，令第22页，本讲稿共116页约束方程可定为边界条件为第23页，本讲稿共116页引进乘子构造函数欧拉方程 第24页，本讲稿共116页解出 其中，和为任意常数。代入约束方程，并求解可得将利用边界条件，可得：第25页，本讲稿共116页于是，极值曲线和为：第26页，本讲稿共116页7.2.6.1 自由端问题约束方程

6、新的泛函 有令哈米顿函数 7.2.6 最优控制问题的变分解法第27页，本讲稿共116页变分令有伴随方程 必要条件第28页，本讲稿共116页例7.2.5 考虑状态方程和初始条件为的简单一阶系统，其指标泛函为，使其中，给定，试求最优控制有极小值。第29页，本讲稿共116页，伴随方程 边界条件 由必要条件 解:引进伴随变量，构造哈米顿函数第30页，本讲稿共116页则最优控制为 得代入状态方程求解得令，则有第31页，本讲稿共116页7.2.6.2 固定端问题，性能指标 第32页，本讲稿共116页边界条件 指标泛函 哈米顿函数 伴随方程，例7.2.6 重解例7.2.4 其解为 第33页，本讲稿共116页

7、 第34页，本讲稿共116页7.2.6.3 末端受限问题 新的泛函 变分第35页，本讲稿共116页必要条件，第36页，本讲稿共116页7.2.6.4 终值时间自由的问题T有时是可变的，是指标泛函，选控制使有T极小值 变分 第37页，本讲稿共116页 ，必要条件第38页，本讲稿共116页例7.2.7 指标泛函 哈米顿函数 伴随方程 必要条件 第39页，本讲稿共116页7.3 7.3 最大值原理最大值原理7.3.1 古典变分法的局限性u(t)受限的例子 矛盾!例7.3.1伴随方程 极值必要条件 第40页，本讲稿共116页7.3.2 最大值原理且 定理7.3.1(最小值原理)设为容许控制，为对应的积

8、分轨线，为使为最优控制，为最优轨线，必存在一向量函数，使得和满足正则方程 第41页，本讲稿共116页最小值原理只是最优控制所满足的必要条件。但对于线性系统，最小值原理也是使泛函取最小值得充分条件。第42页，本讲稿共116页例7.3.2 重解例7.3.1，哈密顿函数 伴随方程 由极值必要条件，知 ，又于是有第43页，本讲稿共116页，协协态态变变量量与与控控制制变变量量的的关关系系图图 第44页，本讲稿共116页,，例7.3.3 性能指标泛函 哈密顿函数 伴随方程，第45页，本讲稿共116页上有 第46页，本讲稿共116页协态变量与控制变量的关系图 整个最优轨线 第47页，本讲稿共116页例7.

9、3.4 把系统状态在终点时刻转移到 性能指标泛函 终点时刻是不固定的 哈米顿函数 伴随方程，第48页，本讲稿共116页H是u的二次抛物线函数，u在 上一定使H有最小值，可能在内部，也可能在边界上。最优控制可能且只能取三个值 此二者都不能使状态变量同时满足初始条件和终点条件 第49页，本讲稿共116页，最优控制 最优轨线 最优性能指标 第50页，本讲稿共116页例7.3.5 使系统以最短时间从给定初态转移到零态 哈米顿函数 伴随方程 第51页，本讲稿共116页最优控制切换及最优轨线示意图 第52页，本讲稿共116页7.3.3 古典变分法与最小值原理古典变分法适用的范围是对u无约束，而最小值原理一

10、般都适用。特别当u不受约束时，条件就等价于条件第53页，本讲稿共116页7.4 7.4 动态规划动态规划动态规划是求解最优控制的又一种方法，特别对离散型控制系统更为有效，而且得出的是综合控制函数。这种方法来源于多决策过程，并由贝尔曼首先提出，故称贝尔曼动态规划。第54页，本讲稿共116页7.4.1 多级决策过程与最优性原理作为例子，首先分析最优路径问题(a)(b)(c)试分析(a),(b)和(c)三种情况的最优路径，即从 走到 所需时间最少。规定沿水平方向只能前进不能后退。第55页，本讲稿共116页(a)中只有两条路径，从起点开始，一旦选定路线，就直达终点，选最优路径就是从两条中选一条，使路程

11、所用时间最少。这很容易办到，只稍加计算，便可知道，上面一条所需时间最少。(b)共有6条路径可到达终点，若仍用上面方法，需计算6次，将每条路线所需时间求出，然后比较，找出一条时间最短的路程。(c)需计算20次，因为这时有20条路径，由此可见，计算量显著增大了。第56页，本讲稿共116页逆向分级计算法 逆向是指计算从后面开始，分级是指逐级计算。逆向分级就是从后向前逐级计算。以(c)为例 从倒数第一级开始，状态有两个，分别为 和 在处，只有一条路到达终点，其时间是；在 处，也只有一条，时间为1。后一条时间最短，将此时间相应地标在 点上。并将此点到终点的最优路径画上箭头。第57页，本讲稿共116页然后

12、再考虑第二级 只有一种选择，到终点所需时间是 有两条路，比较后选出时间最少的一条，即4+1=5。用箭头标出 也标出最优路径和时间 依此类推，最后计算初始位置 求得最优路径 最短时间为 13第58页，本讲稿共116页最优路径示意图 第59页，本讲稿共116页多级过程 多级决策过程 目标函数 控制目的 选择决策序列 使目标函数取最小值或最大值 实际上就是离散状态的最优控制问题 第60页，本讲稿共116页最优性原理 在一个多级决策问题中的最优决策具有这样的性质，不管初始级、初始状态和初始决策是什么，当把其中任何一级和状态做为初始级和初始状态时，余下的决策对此仍是最优决策。第61页，本讲稿共116页指

13、标函数多是各级指标之和，即具有可加性 最优性原理的数学表达式 第62页，本讲稿共116页7.4.2 离散系统动态规划阶离散系统 性能指标 求决策向量 使 有最小值（或最大值），其终点可自由，也可固定或受约束。第63页，本讲稿共116页引进记号 应用最优性原理 可建立如下递推公式 贝尔曼动态规划方程 第64页，本讲稿共116页例7.4.2 设一阶离散系统，状态方程和初始条件为性能指标 求使 有最小值的最优决策序列和最优轨线序列 指标可写为 第65页，本讲稿共116页代入 上一级第66页，本讲稿共116页代入状态方程 最优决策序列 最优轨线 第67页，本讲稿共116页7.4.3 连续系统的动态规划

14、性能指标 目标集 引进记号 根据最优性原理及第68页，本讲稿共116页第69页，本讲稿共116页由泰勒公式，得 由中值定理，得 第70页，本讲稿共116页连续型动态规划方程 实际上它不是一个偏微分方程，而是一个函数方程和偏微分方程的混合方程 第71页，本讲稿共116页满足连续型动态规划方程，有 设边界条件 动态规划 动态规划方程是最优控制函数满足的充分条件；解一个偏微分方程；可直接得出综合函数 ；动态规划要求 有连续偏导数最大值原理 最大值原理是最优控制函数满足的必要条件；解一个常微分方程组；最大值原理则只求得 。第72页，本讲稿共116页例7.4.3 一阶系统，性能指标 动态规划方程 右端对

15、u求导数，令其导数为零，则得 第73页，本讲稿共116页7.4.4 动态规划与最大值原理的关系变分法、最大值原理和动态规划都是研究最优控制问题的求解方法，很容易想到，若用三者研究同一个问题，应该得到相同的结论。因此三者应该存在着内在联系。变分法和最大值原理之间的关系前面已说明，下面将分析动态规划和最大值原理的关系。可以证明，在一定条件下，从动态规划方程能求最大值原理的方程。第74页，本讲稿共116页动态规划方程 令哈米顿函数 最大值原理的必要条件 第75页，本讲稿共116页7.5 7.5 线性二次型性能指标的最优控制线性二次型性能指标的最优控制 用最大值原理求最优控制，求出的最优控制 通常是时

16、间的函数，这样的控制为开环控制 当用开环控制时，在控制过程中不允许有任何干扰，这样才能使系统以最优状态运行。在实际问题中，干扰不可能没有，因此工程上总希望应用闭环控制，即控制函数表示成时间和状态的函数。求解这样的问题一般来说是很困难的。第76页，本讲稿共116页 但对一类线性的且指标是二次型的动态系统，却得了完全的解决。不但理论比较完善，数学处理简单，而且在工际中又容易实现，因而在工程中有着广泛的应用。第77页，本讲稿共116页7.5.1 问题提法动态方程 指标泛函 使求有最小值此问题称线性二次型性能指标的最优控制问题通常称为综合控制函数第78页，本讲稿共116页指标泛函的物理意义积分项，被积

17、函数由两项组成，都是二次型。第一项过程在控制过程中，实际上是要求每个分量越小越好，但每一个分量不一定同等重要，所以用加权来调整，当权为零时，对该项无要求。第二项控制能力能量消耗最小。对每个分量要求不一样，因而进行加权。要求正定，一方面对每个分量都应有要求，否则会出现很大幅值，在实际工程中实现不了；另一方面，在计算中需要有逆存在。指标中的第一项是对点状态的要求，由于对每个分量要求不同，用加权阵来调整。第79页，本讲稿共116页7.5.2.1 末端自由问题构造哈密顿函数 伴随方程及边界条件 最优控制应满足 7.5.2 状态调节器第80页，本讲稿共116页求导 第81页，本讲稿共116页（矩阵黎卡提

18、微分方程）边界条件 令最优控制是状态变量的线性函数借助状态变量的线性反馈可实现闭环最优控制 最优控制 对称半正定阵 第82页，本讲稿共116页例7.5.1 性能指标泛函 最优控制 黎卡提微分方程 第83页，本讲稿共116页最优轨线 最优控制 最优轨线的微分方程 解 第84页，本讲稿共116页黎卡提方程的解 随终点时间变化的黎卡提方程的解 第85页，本讲稿共116页7.5.2.2 固定端问题（设）指标泛函 采用采用“补偿函数补偿函数”法法 补偿函数 惩罚函数 边界条件 黎卡提方程 逆黎卡提方程 第86页，本讲稿共116页求导 黎卡提方程乘以逆黎卡提方程 解 逆 第87页，本讲稿共116页7.5.

19、2.3 的情况性能指标 无限长时间调节器问题 黎卡提方程 边界条件 最优控制 最优指标 第88页，本讲稿共116页7.5.2.4 定常系统完全可控 指标泛函 矩阵代数方程 最优控制 最优指标 第89页，本讲稿共116页例7.5.2 黎卡提方程 第90页，本讲稿共116页7.5.3 输出调节器输出调节器问题状态调节器问题 指标泛函 令第91页，本讲稿共116页7.5.4 跟踪问题问题的提法 已知的理想输出 偏差量 指标泛函 寻求控制规律使性能指标有极小值。物理意义 在控制过程中，使系统输出尽量趋近理想输出，同时也使能量消耗最少。第92页，本讲稿共116页指标泛函 哈密顿函数 第93页，本讲稿共1

20、16页设并微分第94页，本讲稿共116页的任意性 最优控制 第95页，本讲稿共116页最优轨线方程 最优性能指标 第96页，本讲稿共116页例7.5.3，性能指标 第97页，本讲稿共116页最优控制 第98页，本讲稿共116页，最优控制 极限解 第99页，本讲稿共116页闭环控制系统结构 第100页，本讲稿共116页7.6 7.6 快速控制系统快速控制系统在实际问题中，经常发生以时间为性能指标的控制问题。如，当被控对象受干扰后，偏离了平衡状态，希望施加控制能以最短时间恢复到平衡状态。凡是以运动时间为性能指标的最优控制问题称为最小时间控制。第101页，本讲稿共116页7.6.1 快速控制问题性能

21、指标 时间上限是可变的 从状态转移平衡状态所需时间最短 构造哈密顿函数 最小值原理 分段常值函数 第102页，本讲稿共116页例7.6.1 有一单位质点，在 处以初速度2沿直线运动。现施加一力 ，使质点尽快返回原点，并停留在原点上。力 简称为控制。若其它阻力不计，试求此控制力。质点运动方程 状态方程 哈密顿函数 伴随方程 第103页，本讲稿共116页最优控制 协态变量与控制函数4种情况示意图 第104页，本讲稿共116页相轨线族示意图 开关曲线 第105页，本讲稿共116页开关曲线 总时间 初始状态 最优控制 状态方程 相轨线 最优控制 第106页，本讲稿共116页7.6.2 综合问题 综合是

22、将最优控制函数表示为状态和时间的函数即上例之最优综合控制函数 第107页，本讲稿共116页例7.6.2 求快速返回原点的开关曲线和最优综合控制函数 构造哈密顿函数 伴随方程 最优控制 第108页，本讲稿共116页最优控制与协态变量的变化情况 控控制制是是“砰砰砰砰控控制制”，除除了了首首尾尾之之外外，在在和和上的停留时间均为上的停留时间均为 第109页，本讲稿共116页备选最优轨线族 两族同心圆方程 第110页，本讲稿共116页相点沿轨线顺时针方向运动，其速度为开关曲线 第111页，本讲稿共116页第二段开关曲线 第112页，本讲稿共116页整个开关曲线 第113页，本讲稿共116页最优综合控制函数 第114页，本讲稿共116页最优控制理论 上世纪50年代初 问题比较简单 二阶定常系统 方法比较特殊 借助于几何图形 动态系统的最优化问题乃是一个变分问题 变分法 开集 最优控制问题 闭集 发展变分法 第115页，本讲稿共116页两种方法 庞特里雅金 前苏联学者 极大值原理 贝尔曼 美国学者 动态规划 应用在过程控制、国防建设、经济规划、管理 多个分支 分布参数的最优控制、随机最优控制、大系统最优控制以及多方多层次的微分对策和主从对策等 第116页，本讲稿共116页