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1、第七章第七章 最优控制最优控制本讲稿第一页，共一百一十六页最优控制理论最优控制理论-现代控制理论的重要组成部分现代控制理论的重要组成部分2020世纪世纪5050年代发展形成系统的理论年代发展形成系统的理论研究的对象研究的对象-控制系统控制系统中心问题中心问题 给定一个控制系统，选择控制规律，使系统在给定一个控制系统，选择控制规律，使系统在某种意义上是最优的、统一的、严格的数学方法某种意义上是最优的、统一的、严格的数学方法.本讲稿第二页，共一百一十六页7.1 7.1 最优控制问题最优控制问题7.1.1 7.1.1 两个例子两个例子 例例7.1.1 7.1.1 飞船软着陆问题飞船软着陆问题 宇宙飞
2、船在月宇宙飞船在月球球表表 面着陆时速度必须为零，即软着陆，面着陆时速度必须为零，即软着陆，这要靠发这要靠发动机的推力变化来完成。问题是如动机的推力变化来完成。问题是如何选择一个推力何选择一个推力方案，使燃料消耗最小。方案，使燃料消耗最小。m m 飞船的质量，飞船的质量，h h 高度，高度，v v 垂直速度，垂直速度，g g 月球重力加速度常数，月球重力加速度常数，M M 飞船自身质量飞船自身质量F F 燃料的质量燃料的质量本讲稿第三页，共一百一十六页软着陆过程开始时刻软着陆过程开始时刻t t为零为零 K K为常数为常数 ，初始状态，初始状态 终点条件终点条件 本讲稿第四页，共一百一十六页控制
3、目标控制目标推力方案推力方案本讲稿第五页，共一百一十六页例例7.1.2 7.1.2 导弹发射问题导弹发射问题 初始条件初始条件 末端约束末端约束 指标指标 控制控制本讲稿第六页，共一百一十六页7.1.2 7.1.2 问题描述问题描述(1)(1)状态方程状态方程 一般形式为一般形式为 为为n n维状态向量维状态向量 为为r r维控制向量维控制向量 为为n n维向量函数维向量函数 给定控制规律给定控制规律 满足一定条件时，方程有唯一解满足一定条件时，方程有唯一解 本讲稿第七页，共一百一十六页(2)(2)容许控制容许控制 ：,有时控制域可为超方体有时控制域可为超方体 (3)(3)目标集目标集 维向量
4、函数维向量函数 固定端问题固定端问题 自由端问题自由端问题 本讲稿第八页，共一百一十六页(4)(4)性能指标性能指标 对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标 积分型性能指标，表示对整个状积分型性能指标，表示对整个状态和控制过程的要求态和控制过程的要求 终点型指标，表示仅对终点状态终点型指标，表示仅对终点状态的要求的要求 本讲稿第九页，共一百一十六页7.2 7.2 求解最优控制的变分方法求解最优控制的变分方法7.2.1 7.2.1 泛函与变分法基础泛函与变分法基础平面上两点连线的长度问题平面上两点连线的长度问题 其弧长为其弧长为本讲稿第十页，
5、共一百一十六页一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线，记为于曲线，记为 。，称为泛函。，称为泛函。，称泛函的宗量，称泛函的宗量 本讲稿第十一页，共一百一十六页泛函与函数的几何解释泛函与函数的几何解释 连续泛函连续泛函 宗量的变分趋于无穷小时，泛函的变分也趋于宗量的变分趋于无穷小时，泛函的变分也趋于无穷小无穷小线性泛函线性泛函 泛函对宗量是线性的泛函对宗量是线性的宗量的变分宗量的变分 泛函的增量泛函的增量 泛函的变分泛函的变分 Jd=本讲稿第十二页，共一百一十六页定理定理7.2.1 7.2.1 泛函的变分为泛函的变分为 本讲稿第十三页，共一百一
6、十六页例例7.2.1 7.2.1 求泛函的变分求泛函的变分 定理定理7.2.2 7.2.2 若泛函若泛函 有极值，则必有有极值，则必有上述方法与结论对多个未知函数的泛数同样适用上述方法与结论对多个未知函数的泛数同样适用 本讲稿第十四页，共一百一十六页7.2.2 7.2.2 欧拉方程欧拉方程泛函泛函 有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数 两端固定两端固定 变分变分 分部积分分部积分 本讲稿第十五页，共一百一十六页例例7.2.2 7.2.2 求平面上两固定点间连线最短的曲线求平面上两固定点间连线最短的曲线 ，直线直线 本讲稿第十六页，共一百一十六页7.2.3 7.2.3 横截条件横截条件左端固定右端沿
7、曲线变动左端固定右端沿曲线变动 终点值与终点的变分终点值与终点的变分 横截条横截条件件本讲稿第十七页，共一百一十六页 本讲稿第十八页，共一百一十六页例例7.2.3 7.2.3 从一固定点到已知曲线有最小长度的曲线从一固定点到已知曲线有最小长度的曲线 所求的极值曲线与约束曲线相正交所求的极值曲线与约束曲线相正交 欧拉方程欧拉方程 积分积分求解求解计算计算横截条件横截条件直直线线 本讲稿第十九页，共一百一十六页7.2.4 7.2.4 含有多个未知函数泛函的极值含有多个未知函数泛函的极值 泛函泛函 欧拉方程欧拉方程 边界值边界值 横截条件横截条件 本讲稿第二十页，共一百一十六页7.2.5 7.2.5
8、 条件极值条件极值状态方程状态方程 泛函泛函 引进乘子引进乘子 构造新的函构造新的函数和泛函数和泛函 欧拉方程欧拉方程 约束方程约束方程 本讲稿第二十一页，共一百一十六页例例7.2.4 7.2.4 泛函泛函约束方程约束方程 边界条件边界条件 试求试求使泛函使泛函有极值。有极值。解：化为标准形式解：化为标准形式 把问题化为标准形式，令把问题化为标准形式，令本讲稿第二十二页，共一百一十六页约束方程可定为约束方程可定为边界条件为边界条件为本讲稿第二十三页，共一百一十六页引进乘子引进乘子构造函数构造函数欧拉方程欧拉方程 本讲稿第二十四页，共一百一十六页解出解出 其中，其中，和和为任意常数。为任意常数。
9、代入约束方程，并求解可得代入约束方程，并求解可得将将利用边界条件，可得：利用边界条件，可得：本讲稿第二十五页，共一百一十六页于是，极值曲线和于是，极值曲线和为：为：本讲稿第二十六页，共一百一十六页7.2.6.1 7.2.6.1 自由端问题自由端问题约束方程约束方程 新的泛函新的泛函 有有令令哈米顿函数哈米顿函数 7.2.6 7.2.6 最优控制问题的变分解法最优控制问题的变分解法本讲稿第二十七页，共一百一十六页变分变分令令有有伴随方程伴随方程 必要条件必要条件本讲稿第二十八页，共一百一十六页例例7.2.5 7.2.5 考虑状态方程和初始条件为考虑状态方程和初始条件为的简单一阶系统，其指标泛函为
10、的简单一阶系统，其指标泛函为，使，使其中其中，给定，试求最优控制给定，试求最优控制有极小值。有极小值。本讲稿第二十九页，共一百一十六页，伴随方程伴随方程 边界条件边界条件 由必要条件由必要条件 解解:引进伴随变量引进伴随变量，构造哈米顿函数，构造哈米顿函数本讲稿第三十页，共一百一十六页则最优控制为则最优控制为 得得代入状态方程求解得代入状态方程求解得令令，则有，则有本讲稿第三十一页，共一百一十六页7.2.6.2 7.2.6.2 固定端问题固定端问题，性能指标性能指标 本讲稿第三十二页，共一百一十六页边界条件边界条件 指标泛函指标泛函 哈米顿函数哈米顿函数 伴随方程伴随方程 ，例例7.2.6 7
11、.2.6 重解例重解例7.2.47.2.4 其解为其解为 本讲稿第三十三页，共一百一十六页 本讲稿第三十四页，共一百一十六页7.2.6.3 7.2.6.3 末端受限问题末端受限问题 新的泛函新的泛函 变分变分本讲稿第三十五页，共一百一十六页必要条件必要条件，本讲稿第三十六页，共一百一十六页7.2.6.4 7.2.6.4 终值时间自由的问题终值时间自由的问题T有时是可变的，是指标泛函，选控制使有T极小值 变分变分 本讲稿第三十七页，共一百一十六页 ，必要条件必要条件本讲稿第三十八页，共一百一十六页例例7.2.77.2.7 指标泛函指标泛函 哈米顿函数哈米顿函数 伴随方程伴随方程 必要条件必要条件
12、 本讲稿第三十九页，共一百一十六页7.3 7.3 最大值原理最大值原理7.3.1 7.3.1 古典变分法的局限性古典变分法的局限性u u(t t)受限的例子受限的例子 矛盾矛盾!例例7.3.17.3.1伴随方程伴随方程 极值必要条件极值必要条件 本讲稿第四十页，共一百一十六页7.3.2 7.3.2 最大值原理最大值原理且且 定理定理7.3.1(最小值原理最小值原理)设为设为容许控制，容许控制，为对应的积分轨线，为使为对应的积分轨线，为使为最优控制，为最优控制，为最优轨线，必存在一向量函数为最优轨线，必存在一向量函数，使得，使得和和满足正则方程满足正则方程 本讲稿第四十一页，共一百一十六页最最小
13、小值值原原理理只只是是最最优优控控制制所所满满足足的的必必要要条条件件。但但对对于于线性系统线性系统 ，最小值原理也是使泛函取最小值得充分条件。最小值原理也是使泛函取最小值得充分条件。本讲稿第四十二页，共一百一十六页例例7.3.2 7.3.2 重解例重解例7.3.17.3.1，哈密顿函数哈密顿函数 伴随方程伴随方程 由极值必要条件，知由极值必要条件，知 ，又又于是有于是有本讲稿第四十三页，共一百一十六页，协协态态变变量量与与控控制制变变量量的的关关系系图图 本讲稿第四十四页，共一百一十六页,，例例7.3.3 7.3.3 性能指标泛函性能指标泛函 哈密顿函数哈密顿函数 伴随方程伴随方程 ，本讲稿
14、第四十五页，共一百一十六页上有上有 本讲稿第四十六页，共一百一十六页协态变量与控制变量的关系图协态变量与控制变量的关系图 整个最优轨线整个最优轨线 本讲稿第四十七页，共一百一十六页例例7.3.47.3.4 把系统状态在终点时刻转移到把系统状态在终点时刻转移到 性能指标泛函性能指标泛函 终点时刻是不固定的终点时刻是不固定的 哈米顿函数哈米顿函数 伴随方程伴随方程，本讲稿第四十八页，共一百一十六页H H是是u u的的二二次次抛抛物物线线函函数数，u u在在 上上一一定定使使H H有最小值，可能在内部，也可能在边界上。有最小值，可能在内部，也可能在边界上。最优控制可能且只能取三个值最优控制可能且只能
15、取三个值 此二者都不能使状态变量同时此二者都不能使状态变量同时满足初始条件和终点条件满足初始条件和终点条件 本讲稿第四十九页，共一百一十六页，最优控制最优控制 最优轨线最优轨线 最优性能指标最优性能指标 本讲稿第五十页，共一百一十六页例例7.3.57.3.5 使系统以最短时间从给定初态转移到零态使系统以最短时间从给定初态转移到零态 哈米顿函数哈米顿函数 伴随方程伴随方程 本讲稿第五十一页，共一百一十六页最优控制切换及最优轨线示意图最优控制切换及最优轨线示意图 本讲稿第五十二页，共一百一十六页7.3.3 7.3.3 古典变分法与最小值原理古典变分法与最小值原理古古典典变变分分法法适适用用的的范范
16、围围是是对对u u无无约约束束，而而最最小小值值原原理理一般都适用。特别当一般都适用。特别当u u不受约束时，条件不受约束时，条件就等价于条件就等价于条件本讲稿第五十三页，共一百一十六页7.4 7.4 动态规划动态规划动态规划是求解最优控制的又一种方法，动态规划是求解最优控制的又一种方法，特别对离散型控制系统更为有效，而且得出特别对离散型控制系统更为有效，而且得出的是综合控制函数。这种方法来源于多决策的是综合控制函数。这种方法来源于多决策过程，并由贝尔曼首先提出，故称贝尔曼动过程，并由贝尔曼首先提出，故称贝尔曼动态规划。态规划。本讲稿第五十四页，共一百一十六页7.4.1 7.4.1 多级决策过
17、程与最优性原理多级决策过程与最优性原理作为例子，首先分析最优路径问题作为例子，首先分析最优路径问题(a)(b)(c)试试分分析析(a),(b)(a),(b)和和(c)(c)三三种种情情况况的的最最优优路路径径，即即从从 走走到到 所所需需时时间间最最少少。规规定定沿沿水水平平方方向向只能前进不能后退。只能前进不能后退。本讲稿第五十五页，共一百一十六页(a)(a)中中只只有有两两条条路路径径，从从起起点点开开始始，一一旦旦选选定定路路线线，就就直直达达终终点点，选选最最优优路路径径就就是是从从两两条条中中选选一一条条，使使路路程程所所用用时时间间最最少少。这这很很容容易易办办到到，只只稍稍加加计
18、计算，便可知道，上面一条所需时间最少。算，便可知道，上面一条所需时间最少。(b)(b)共共有有6 6条条路路径径可可到到达达终终点点，若若仍仍用用上上面面方方法法，需需计计算算6 6次次，将将每每条条路路线线所所需需时时间间求求出出，然然后后比比较较，找找出出一一条条时时间最短的路程。间最短的路程。(c)(c)需需计计算算2020次次，因因为为这这时时有有2020条条路路径径，由由此此可可见见，计算量显著增大了。计算量显著增大了。本讲稿第五十六页，共一百一十六页逆向分级计算法逆向分级计算法 逆逆向向是是指指计计算算从从后后面面开开始始，分分级级是是指指逐逐级级计计算。逆向分级就是从后向前逐级计
19、算。算。逆向分级就是从后向前逐级计算。以以(c)(c)为例为例 从倒数第一级开始，状态有两个，分别为从倒数第一级开始，状态有两个，分别为 和和 在在处，只有一条路到达终点，其时间是处，只有一条路到达终点，其时间是；在在 处，也只有一条，时间为处，也只有一条，时间为1。后一条时间最短，。后一条时间最短，将此时间相应地标在将此时间相应地标在 点上。点上。并将此点到终点的最优路径画上箭头。并将此点到终点的最优路径画上箭头。本讲稿第五十七页，共一百一十六页然后再考虑第二级然后再考虑第二级 只有一种选择，到终点所需时间是只有一种选择，到终点所需时间是 有两条路，比较后选出时间最少的一条，即有两条路，比较
20、后选出时间最少的一条，即4+1=54+1=5。用箭头标出。用箭头标出 也标出最优路径和时间也标出最优路径和时间 依此类推，最后计算初始位置依此类推，最后计算初始位置 求得最优路径求得最优路径 最短时间为最短时间为 13 13本讲稿第五十八页，共一百一十六页最优路径示意图最优路径示意图 本讲稿第五十九页，共一百一十六页多级过程多级过程 多级决策过程多级决策过程 目标函数目标函数 控制目的控制目的 选择决策序列选择决策序列 使目标函数取最小值或最大值使目标函数取最小值或最大值 实际上就是离散状态的最优控制问题实际上就是离散状态的最优控制问题 本讲稿第六十页，共一百一十六页最优性原理最优性原理 在在
21、一一个个多多级级决决策策问问题题中中的的最最优优决决策策具具有有这这样样的的性性质质，不不管管初初始始级级、初初始始状状态态和和初初始始决决策策是是什什么么，当当把把其其中中任任何何一一级级和和状状态态做做为为初初始始级级和和初初始始状状态态时时，余下的决策对此仍是最优决策。余下的决策对此仍是最优决策。本讲稿第六十一页，共一百一十六页指标函数多是各级指标之和，即具有可加性指标函数多是各级指标之和，即具有可加性 最优性原理的数学表达式最优性原理的数学表达式 本讲稿第六十二页，共一百一十六页7.4.2 7.4.2 离散系统动态规划离散系统动态规划阶离散系统阶离散系统 性能指标性能指标 求决策向量求
22、决策向量 使使 有最小值（或最大值），其终点可自由，有最小值（或最大值），其终点可自由，也可固定或受约束。也可固定或受约束。本讲稿第六十三页，共一百一十六页引进记号引进记号 应用最优性原理应用最优性原理 可建立如下递推公式可建立如下递推公式 贝尔曼动态规划方程贝尔曼动态规划方程 本讲稿第六十四页，共一百一十六页例例7.4.2 7.4.2 设一阶离散系统，状态方程和初始条件为设一阶离散系统，状态方程和初始条件为性能指标性能指标 求使求使 有最小值的最优决策序列和最优轨线序列有最小值的最优决策序列和最优轨线序列 指标可写为指标可写为 本讲稿第六十五页，共一百一十六页代入代入 上一级上一级本讲稿第六
23、十六页，共一百一十六页代入状态方程代入状态方程 最优决策序列最优决策序列 最最优轨线优轨线 本讲稿第六十七页，共一百一十六页7.4.3 7.4.3 连续系统的动态规划连续系统的动态规划性能指标性能指标 目标集目标集 引进记号引进记号 根据最优性原理及根据最优性原理及本讲稿第六十八页，共一百一十六页本讲稿第六十九页，共一百一十六页由泰勒公式，得由泰勒公式，得 由中值定理，得由中值定理，得 本讲稿第七十页，共一百一十六页连续型动态规划方程连续型动态规划方程 实实际际上上它它不不是是一一个个偏偏微微分分方方程程，而而是是一一个个函函数数方方程和偏微分方程的混合方程程和偏微分方程的混合方程 本讲稿第七
24、十一页，共一百一十六页满足连续型动态规划方程，有满足连续型动态规划方程，有 设设边界条件边界条件 动动态态规规划划 动动态态规规划划方方程程是是最最优优控控制制函函数数满满足足的的充充分分条条件件；解解一一个个偏偏微微分分方方程程；可可直直接接得得出出综综合合函函数数 ；动动态态规规划划要要求求 有有连连续续偏导数偏导数最最大大值值原原理理 最最大大值值原原理理是是最最优优控控制制函函数数满满足足的的必必要要条条件件；解解一一个个常常微微分分方方程程组组；最最大大值值原原理理则则只求得只求得 。本讲稿第七十二页，共一百一十六页例例7.4.3 7.4.3 一阶系统一阶系统，性能指标性能指标 动态
25、规划方程动态规划方程 右端对右端对u u求导数，令其导数为零，则得求导数，令其导数为零，则得 本讲稿第七十三页，共一百一十六页7.4.4 7.4.4 动态规划与最大值原理的关系动态规划与最大值原理的关系变变分分法法、最最大大值值原原理理和和动动态态规规划划都都是是研研究究最最优优控控制制问问题题的的求求解解方方法法，很很容容易易想想到到，若若用用三三者者研研究究同同一一个个问问题题，应应该该得得到到相相同同的的结结论论。因因此此三三者者应应该该存存在在着着内内在在联联系系。变变分分法法和和最最大大值值原原理理之之间间的的关关系系前前面面已已说说明明，下下面面将将分分析析动动态态规规划划和和最最
26、大大值值原原理理的的关关系系。可可以以证证明明，在在一一定定条条件件下下，从从动动态态规规划划方方程程能能求求最最大大值值原原理的方程。理的方程。本讲稿第七十四页，共一百一十六页动态规划方程动态规划方程 令令哈米顿函数哈米顿函数 最大值原理的必要条件最大值原理的必要条件 本讲稿第七十五页，共一百一十六页7.5 7.5 线性二次型性能指标的最优控制线性二次型性能指标的最优控制 用最大值原理求最优控制，求出的最优控制用最大值原理求最优控制，求出的最优控制 通常是通常是时间的函数，这样的控制为开环控制时间的函数，这样的控制为开环控制 当用开环控制时，在控制过程中不允许有任何干当用开环控制时，在控制过
27、程中不允许有任何干扰，这样才能使系统以最优状态运行。扰，这样才能使系统以最优状态运行。在实际问题中，干扰不可能没有，因此工程在实际问题中，干扰不可能没有，因此工程上总希望应用闭环控制，即控制函数表示成时间和状态的上总希望应用闭环控制，即控制函数表示成时间和状态的函数。函数。求解这样的问题一般来说是很困难的。求解这样的问题一般来说是很困难的。本讲稿第七十六页，共一百一十六页 但对一类线性的且指标是二次型的动态系统，却得了但对一类线性的且指标是二次型的动态系统，却得了完全的解决。不但理论比较完善，数学处理简单，而且在完全的解决。不但理论比较完善，数学处理简单，而且在工际中又容易实现，因而在工程中有
28、着广泛的应用。工际中又容易实现，因而在工程中有着广泛的应用。本讲稿第七十七页，共一百一十六页7.5.1 7.5.1 问题提法问题提法动态方程动态方程 指标泛函指标泛函 使使求求有最小值有最小值此问题称线性二次型性能指标的最优控制问题此问题称线性二次型性能指标的最优控制问题通常称通常称为综合控制函数为综合控制函数本讲稿第七十八页，共一百一十六页指标泛函的物理意义指标泛函的物理意义积分项，被积函数由两项组成，都是二次型。积分项，被积函数由两项组成，都是二次型。第第一一项项过过程程在在控控制制过过程程中中，实实际际上上是是要要求求每每个个分分量量越越小小越越好好，但但每每一一个个分分量量不不一一定定
29、同同等等重重要要，所所以以用用加加权来调整，当权为零时，对该项无要求。权来调整，当权为零时，对该项无要求。第第二二项项控控制制能能力力能能量量消消耗耗最最小小。对对每每个个分分量量要要求求不不一一样样，因因而而进进行行加加权权。要要求求正正定定，一一方方面面对对每每个个分分量量都都应应有有要要求求，否否则则会会出出现现很很大大幅幅值值，在在实实际际工工程程中中实现不了；另一方面，在计算中需要有逆存在。实现不了；另一方面，在计算中需要有逆存在。指指标标中中的的第第一一项项是是对对点点状状态态的的要要求求，由由于于对对每每个个分分量量要求不同，用加权阵来调整。要求不同，用加权阵来调整。本讲稿第七十
30、九页，共一百一十六页7.5.2.1 7.5.2.1 末端自由问题末端自由问题构造哈密顿函数构造哈密顿函数 伴随方程及边界条件伴随方程及边界条件 最优控制应满足最优控制应满足 7.5.2 7.5.2 状态调节器状态调节器本讲稿第八十页，共一百一十六页求导 本讲稿第八十一页，共一百一十六页（矩阵黎卡提微分方程）（矩阵黎卡提微分方程）边界条件边界条件 令令最优控制是状态变量的线性函数最优控制是状态变量的线性函数借助状态变量的线性反馈可实现闭环最优控制借助状态变量的线性反馈可实现闭环最优控制 最优控制最优控制 对称半正定阵对称半正定阵 本讲稿第八十二页，共一百一十六页例例7.5.17.5.1 性能指标
31、泛函性能指标泛函 最优控制最优控制 黎卡提微分方程黎卡提微分方程 本讲稿第八十三页，共一百一十六页最优轨线最优轨线 最优控制最优控制 最优轨线的微分方程最优轨线的微分方程 解解 本讲稿第八十四页，共一百一十六页黎卡提方程的解黎卡提方程的解 随终点时间变化的黎随终点时间变化的黎卡提方程的解卡提方程的解 本讲稿第八十五页，共一百一十六页7.5.2.2 7.5.2.2 固定端问题固定端问题（设）（设）指标泛函指标泛函 采用采用“补偿函数补偿函数”法法 补偿函数补偿函数 惩罚函数惩罚函数 边界条件边界条件 黎卡提方程黎卡提方程 逆黎卡提方程逆黎卡提方程 本讲稿第八十六页，共一百一十六页求导求导 黎卡提
32、方程黎卡提方程乘以乘以逆黎卡提方程逆黎卡提方程 解解 逆逆 本讲稿第八十七页，共一百一十六页7.5.2.3 7.5.2.3 的情况的情况性能指标性能指标 无限长时间调节器问题无限长时间调节器问题 黎卡提方程黎卡提方程 边界条件边界条件 最优控制最优控制 最优指标最优指标 本讲稿第八十八页，共一百一十六页7.5.2.4 7.5.2.4 定常系统定常系统完全可控完全可控 指标泛函指标泛函 矩阵代数方程矩阵代数方程 最优控制最优控制 最优指标最优指标 本讲稿第八十九页，共一百一十六页例例7.5.27.5.2 黎卡提方程黎卡提方程 本讲稿第九十页，共一百一十六页7.5.3 7.5.3 输出调节器输出调
33、节器输出调节器问题输出调节器问题状态调节器问题状态调节器问题 指标泛函指标泛函 令令本讲稿第九十一页，共一百一十六页7.5.4 7.5.4 跟踪问题跟踪问题问题的提法问题的提法 已知的理想输出已知的理想输出 偏差量偏差量 指标泛函指标泛函 寻求控制规律使性能指标有极小值。寻求控制规律使性能指标有极小值。物物理理意意义义 在在控控制制过过程程中中，使使系系统统输输出出尽尽量量趋趋近近理理想想输输出出，同时也使能量消耗最少。同时也使能量消耗最少。本讲稿第九十二页，共一百一十六页指标泛函指标泛函 哈密顿函数哈密顿函数 本讲稿第九十三页，共一百一十六页设设并微分并微分本讲稿第九十四页，共一百一十六页的
34、任意性的任意性 最优控制最优控制 本讲稿第九十五页，共一百一十六页最优轨线方程最优轨线方程 最优性能指标最优性能指标 本讲稿第九十六页，共一百一十六页例例7.5.37.5.3，性能指标性能指标 本讲稿第九十七页，共一百一十六页最优控制最优控制 本讲稿第九十八页，共一百一十六页，最优控制最优控制 极限解极限解 本讲稿第九十九页，共一百一十六页闭环控制系统结构闭环控制系统结构 本讲稿第一百页，共一百一十六页7.6 7.6 快速控制系统快速控制系统在实际问题中，经常发生以时间为性能指标的在实际问题中，经常发生以时间为性能指标的控制问题。控制问题。如，当被控对象受干扰后，偏离了平衡状态，如，当被控对象
35、受干扰后，偏离了平衡状态，希望施加控制能以最短时间恢复到平衡状态。希望施加控制能以最短时间恢复到平衡状态。凡是以运动时间为性能指标的最优控制问题称凡是以运动时间为性能指标的最优控制问题称为最小时间控制。为最小时间控制。本讲稿第一百零一页，共一百一十六页7.6.1 7.6.1 快速控制问题快速控制问题性能指标性能指标 时间上限时间上限是可变的是可变的 从状态从状态转移平衡状态转移平衡状态所需时间最短所需时间最短 构造哈密顿函数构造哈密顿函数 最小值原理最小值原理 分段常值函数分段常值函数 本讲稿第一百零二页，共一百一十六页例例7.6.1 7.6.1 有有一一单单位位质质点点，在在 处处以以初初速
36、速度度2 2沿沿直直线线运运动动。现现施施加加一一力力 ，使使质质点点尽尽快快返返回回原原点点，并并停停留留在在原原点点上上。力力 简简称称为控制。若其它阻力不计，试求此控制力。为控制。若其它阻力不计，试求此控制力。质点运动方程质点运动方程 状态方程状态方程 哈密顿函数哈密顿函数 伴随方程伴随方程 本讲稿第一百零三页，共一百一十六页最优控制最优控制 协态变量与控制函数协态变量与控制函数4种情况示意图种情况示意图 本讲稿第一百零四页，共一百一十六页相轨线族示意图相轨线族示意图 开开关曲线关曲线 本讲稿第一百零五页，共一百一十六页开关曲线开关曲线 总时间总时间 初始状态初始状态 最优控制最优控制
37、状态方程状态方程 相轨线相轨线 最优控制最优控制 本讲稿第一百零六页，共一百一十六页7.6.2 7.6.2 综合问题综合问题 综合是将最优控制函数表示为状态和时间的函数综合是将最优控制函数表示为状态和时间的函数即即上例之最优综合控制函数上例之最优综合控制函数 本讲稿第一百零七页，共一百一十六页例例7.6.27.6.2 求快速返回原点的开关曲线和最优综合控制函数求快速返回原点的开关曲线和最优综合控制函数 构造哈密顿函数构造哈密顿函数 伴随方程伴随方程 最优控制最优控制 本讲稿第一百零八页，共一百一十六页最优控制与协态变量的变化情况最优控制与协态变量的变化情况 控控制制是是“砰砰砰砰控控制制”，除
38、除了了首首尾尾之之外外，在在和和上的停留时间均为上的停留时间均为 本讲稿第一百零九页，共一百一十六页备备选选最最优优轨轨线线族族 两族同心圆方程两族同心圆方程 本讲稿第一百一十页，共一百一十六页相点沿轨线顺时针方向运动，其速度为相点沿轨线顺时针方向运动，其速度为开关曲线开关曲线 本讲稿第一百一十一页，共一百一十六页第二段开关曲线第二段开关曲线 本讲稿第一百一十二页，共一百一十六页整个开关曲线整个开关曲线 本讲稿第一百一十三页，共一百一十六页最优综合控制函数最优综合控制函数 本讲稿第一百一十四页，共一百一十六页最优控制理论最优控制理论 上世纪上世纪5050年代初年代初 问题比较简单问题比较简单
39、二阶定常系统二阶定常系统 方法比较特殊方法比较特殊 借助于几何图形借助于几何图形 动态系统的最优化问题乃是一个变分问题动态系统的最优化问题乃是一个变分问题 变变分法分法 开集开集 最优控制问题最优控制问题 闭集闭集 发展变分法发展变分法 本讲稿第一百一十五页，共一百一十六页两种方法两种方法 庞特里雅金庞特里雅金 前苏联学者前苏联学者 极大值原理极大值原理 贝尔曼贝尔曼 美国学者美国学者 动态规划动态规划 应用在过程控制、国防建设、经济规划、管理应用在过程控制、国防建设、经济规划、管理 多个分支多个分支 分分布布参参数数的的最最优优控控制制、随随机机最最优优控控制制、大大系系统统最最优优控控制制以及多方多层次的微分对策和主从对策等以及多方多层次的微分对策和主从对策等 本讲稿第一百一十六页，共一百一十六页