数值分析讲稿幻灯片.ppt

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1、数值分析讲稿第1页，共53页，编辑于2022年，星期六求解的思想：求解的思想：这里给出了这里给出了2n+2个条件，可唯一确定一个次个条件，可唯一确定一个次 数不超过数不超过2n+1的多项式的多项式 ,其形式为其形式为 如根据上面的条件来确定如根据上面的条件来确定2n+2个系数显然非常个系数显然非常 复杂，因此，我们仍采用求拉格朗日插值多项复杂，因此，我们仍采用求拉格朗日插值多项式式的基函数方法的基函数方法.先求插值基函数先求插值基函数 及及 ，共有共有个个2n+22n+2，每一个基函数都是，每一个基函数都是2n+12n+1次多项式，次多项式，且满足条件且满足条件 第2页，共53页，编辑于202

2、2年，星期六 其中其中,于是于是 可可写成用插值基函数表示的形式写成用插值基函数表示的形式 可知其满足可知其满足 下面的问题就是如何求基函数下面的问题就是如何求基函数 及及 .第3页，共53页，编辑于2022年，星期六确定基函数：确定基函数：可利用拉格朗日插值基函数可利用拉格朗日插值基函数 令令 由由HermiteHermite插值条件有插值条件有整理得整理得 第4页，共53页，编辑于2022年，星期六由于由于求导，得求导，得 于是于是 第5页，共53页，编辑于2022年，星期六同理，由同理，由可令可令于是于是,结合结合 ,可得可得 ,从而从而 第6页，共53页，编辑于2022年，星期六Her

3、mite插值多项式是唯一的插值多项式是唯一的反证法反证法.假设假设 及及 均满足均满足Hermite插插值条件，令值条件，令则有则有 于是于是,每个节点每个节点 均为均为 的二重根，但的二重根，但是不高于是不高于2n+1次的多项式，故次的多项式，故 ,唯一性得唯一性得证证.第7页，共53页，编辑于2022年，星期六Hermite插值多项式余项插值多项式余项：仿照拉格朗日插值余项的证明方法，若仿照拉格朗日插值余项的证明方法，若 在在 内的内的2n+2阶导数存在，则其插值余项阶导数存在，则其插值余项其中其中 且与且与 有关有关.三次三次HermiteHermite插值插值：考虑考虑n=1的情形的情

4、形.此此时可取节点时可取节点 及及 ,插插值多项式值多项式 满足条件满足条件 第8页，共53页，编辑于2022年，星期六 设相应的插值基函数为设相应的插值基函数为 它们满足条件它们满足条件根据根据Hermite插值的一般基函数表达式，可得到插值的一般基函数表达式，可得到 第9页，共53页，编辑于2022年，星期六第10页，共53页，编辑于2022年，星期六于是三次于是三次Hermite插值多项式是插值多项式是余项余项 为为第11页，共53页，编辑于2022年，星期六例例:求满足求满足 及及 的插值多项式及其余项表达式。的插值多项式及其余项表达式。解解:由给定条件，可确定次数不超过由给定条件，可

5、确定次数不超过3的插值多项式的插值多项式.由于此由于此多项式通过点多项式通过点 及及 故其形故其形式为式为其中其中A A为待定常数，可由条件为待定常数，可由条件 确定，通确定，通过计算可得过计算可得 第12页，共53页，编辑于2022年，星期六为了求出余项为了求出余项 的表达式，可设的表达式，可设其中其中 为待定函数为待定函数.构造构造 显然显然 ,且且 ，故，故 在在 内有内有5 5个零点个零点(重根算两个重根算两个),反复应用罗尔反复应用罗尔定理，得定理，得 在在 内至少有一个零点内至少有一个零点 ,故故第13页，共53页，编辑于2022年，星期六于是于是余项表达式为余项表达式为式中式中

6、位于位于 和和 所界定的范围内所界定的范围内.第14页，共53页，编辑于2022年，星期六Hermite插值的一般形式插值的一般形式 设已知设已知 在节点在节点 上的函数上的函数值值,及某些节点上的导数值及某些节点上的导数值 ,要求一个至多要求一个至多n+m+1n+m+1次的插值多项式次的插值多项式 ,满足满足条件条件 与与前前面面讨讨论论类类似似，可可证证明明 是是存存在在唯唯一一的的，其其余余项为项为 第15页，共53页，编辑于2022年，星期六例：按下表求例：按下表求Hermite插值多项式插值多项式解：解法一：由于插值条件有解：解法一：由于插值条件有5个，故所求插值个，故所求插值 多项

7、式的次数不超过多项式的次数不超过4.构造插值基函数构造插值基函数 及及 ，使它们满足：使它们满足：（1）及及 都是都是4次多项次多项式；式；01201101第16页，共53页，编辑于2022年，星期六（2）因为因为 ,故故 .又因为又因为 ,因而可设因而可设 代入代入 ,可得可得 ，所以，所以第17页，共53页，编辑于2022年，星期六类似可求出类似可求出因此所求因此所求Hermite插值多项式为插值多项式为第18页，共53页，编辑于2022年，星期六解法二：因为解法二：因为0 0为二阶零点，故可直接设插值多为二阶零点，故可直接设插值多项式为项式为 代入插值条件代入插值条件 ,得方程组得方程组

8、其解为其解为 所求插值多项式为所求插值多项式为第19页，共53页，编辑于2022年，星期六5 分段低次插值分段低次插值 5-1 多项式插值的问题多项式插值的问题 问题的提出问题的提出 龙格龙格(Runge)函数函数 ,取插值节点取插值节点 为为 则基于此构造的拉格朗日插值多项式则基于此构造的拉格朗日插值多项式 为为 第20页，共53页，编辑于2022年，星期六 满足如下性质满足如下性质:存在常数存在常数 ,使得使得:当当 时时,否则否则 发散发散.第21页，共53页，编辑于2022年，星期六5-2 分段线性插值分段线性插值分分段段线线性性插插值值:通通过过插插值值点点用用折折线线段段连连接接起

9、起来来逼逼近近 .设已知节点设已知节点 上的函数值上的函数值 ,记记 ,求一折线求一折线函数函数 满足满足：1)，2),),3)在每个小区间在每个小区间 上是线性函数，上是线性函数，则称则称 为分段线性插值函数为分段线性插值函数.第22页，共53页，编辑于2022年，星期六由定义可知由定义可知 在区间在区间 上可表示为上可表示为若用插值基函数表示，则在整个区间若用插值基函数表示，则在整个区间 上为上为其中基函数其中基函数 满足条件满足条件 其形式是其形式是第23页，共53页，编辑于2022年，星期六 分段线性插值基函数分段线性插值基函数 只在只在 附近不为零附近不为零,在在其它地方均为零，这种

10、性质称为其它地方均为零，这种性质称为局部非零性质局部非零性质。第24页，共53页，编辑于2022年，星期六例：已知函数例：已知函数 ,在在 上取等距节点上取等距节点 .求分段插值函数及近似求分段插值函数及近似 值值 .解：解：分段线性插值基函数为：分段线性插值基函数为：0123451.000000.500000.200000.100000.058820.03846第25页，共53页，编辑于2022年，星期六分段线性插值函数为：分段线性插值函数为：精确值为精确值为 .第26页，共53页，编辑于2022年，星期六分段线性插值的误差估计分段线性插值的误差估计：若若 在在 上二阶连续可微，则分段线性上

11、二阶连续可微，则分段线性插值函插值函数数 的余项有以下估计的余项有以下估计 其中其中 .证：因在证：因在 上，上，是是 的线性插值，有的线性插值，有 又又第27页，共53页，编辑于2022年，星期六故故所以，对任意所以，对任意 ，都有，都有 分段线性插值简便易行分段线性插值简便易行,节点加密误差变小节点加密误差变小,且插且插值函数只依赖于本段的节点值值函数只依赖于本段的节点值,计算误差稳定计算误差稳定.但但在节点处插值函数不可微在节点处插值函数不可微,光滑度不够光滑度不够.第28页，共53页，编辑于2022年，星期六5-3 分段三次埃尔米特插值分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数分段线性插值函

12、数 的导数是间断的，若在的导数是间断的，若在节点节点 上除已知函数值上除已知函数值 外还给外还给出导数值出导数值 ，这样就可构造，这样就可构造一个导数连续的分段插值函数一个导数连续的分段插值函数 ,满足满足:1.代表区间代表区间 上上一阶导数连续的函数集合一阶导数连续的函数集合),2.3.在每个小区间在每个小区间 上是三次多项式上是三次多项式.第29页，共53页，编辑于2022年，星期六 由两点三次由两点三次Hermite插值多项式可知插值多项式可知,在区间在区间 上上 的表达式为的表达式为若在整个区间若在整个区间 上定义一组分段三次插值基函数上定义一组分段三次插值基函数 及及 ,则则 可表示

13、为可表示为第30页，共53页，编辑于2022年，星期六其中其中 分别表示为分别表示为第31页，共53页，编辑于2022年，星期六同样可导出分段三次同样可导出分段三次Hermite插值的误差估计为：插值的误差估计为：其中其中,.分段三次分段三次Hermite插值函数是插值区间上的光滑插值函数是插值区间上的光滑函数，它与函数函数，它与函数 在节点处密合程度较好。在节点处密合程度较好。第32页，共53页，编辑于2022年，星期六6 三次样条插值三次样条插值问题的提出问题的提出:分段低次插值函数虽都有一致收敛性，但光滑分段低次插值函数虽都有一致收敛性，但光滑性较差性较差.早期工程师制图时早期工程师制图

14、时,把富有弹性的细长木条把富有弹性的细长木条(所所谓样条谓样条)用压铁固定在样点上用压铁固定在样点上,在其它地方让它自在其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线.它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连接它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连接点，即样点，上要求二阶导数连续，从数学上加点，即样点，上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到以概括就得到“数学样条数学样条”这一概念这一概念.第33页，共53页，编辑于2022年，星期六三次样条函数三次样条函数:定义定义:是给定节点，若是给定节点，若 (1);(2)在每个小区间在每个小区间 上是三次

15、多项式，上是三次多项式，则称则称 是节点是节点 上的三次样条函数上的三次样条函数.若在节点若在节点 上给定函数值上给定函数值 并成立并成立 则称则称 为三次样条插值函数为三次样条插值函数.第34页，共53页，编辑于2022年，星期六 在区间在区间 上为三次多项式上为三次多项式,故要确定故要确定4个待定系数个待定系数,共有共有n个小区间个小区间,故应确定故应确定4n个参数个参数.由由 知知,在节点在节点 处处应满足连续性条件应满足连续性条件:共有共有3n-3个条件，再加上个条件，再加上 满足插值条件满足插值条件 共有共有4n-2个条件个条件,故还需要故还需要2个条件才能确定个条件才能确定 .第3

16、5页，共53页，编辑于2022年，星期六通常可在区间通常可在区间 端点端点 上各加一上各加一个条件个条件(称为边界条件称为边界条件),可根据实际问题的要求可根据实际问题的要求给定给定.常见的有常见的有以下三种：以下三种：1已知两端的一阶导数值，即已知两端的一阶导数值，即 2已知两端的二阶导数值，即已知两端的二阶导数值，即 自然边界条件自然边界条件:第36页，共53页，编辑于2022年，星期六3当当 是以是以 为周期的周期函数时，为周期的周期函数时，则要求则要求 也如此也如此,这时边界条件应满足这时边界条件应满足 此时此时 ,这样确定的样条函数这样确定的样条函数 称为称为周期样条函数周期样条函数

17、.第37页，共53页，编辑于2022年，星期六三转角方程三转角方程:构造构造 满足满足:(1)(2)连续性条件连续性条件+边界条件边界条件.若假定若假定则由分段三次埃尔米特插值公式可得则由分段三次埃尔米特插值公式可得其中其中 是插值基函数。是插值基函数。第38页，共53页，编辑于2022年，星期六现需确定现需确定 ，可利用，可利用及某一边界条件来确定。为了求出及某一边界条件来确定。为了求出 ，我们考，我们考虑虑 在在 上的表达式上的表达式(这里这里:)第39页，共53页，编辑于2022年，星期六于是于是,对对 求二次导数得求二次导数得从而从而,同理，可得同理，可得 在区间在区间 上的表达式上的

18、表达式:第40页，共53页，编辑于2022年，星期六及及 由条件由条件 可得可得用用 除全式除全式,并注意并注意 上面方程可简化为上面方程可简化为:第41页，共53页，编辑于2022年，星期六其中其中 此方程是关于未知数此方程是关于未知数 的的n-1个方程，个方程，边界条件边界条件(1)：,则方程变为只则方程变为只含含 的的n-1个个方方程程，写写成成矩矩阵阵形形式式便便是是:第42页，共53页，编辑于2022年，星期六第43页，共53页，编辑于2022年，星期六 边界条件边界条件(2):，则，则得两个方程得两个方程 自然边界条件自然边界条件:,则得两个方程则得两个方程:第44页，共53页，编

19、辑于2022年，星期六矩阵形式为矩阵形式为:第45页，共53页，编辑于2022年，星期六 边界条件边界条件(3):周期性条件周期性条件,则得到则得到化简为化简为其中其中 用矩阵形式表示为用矩阵形式表示为第46页，共53页，编辑于2022年，星期六每个方程都联系三个每个方程都联系三个 在力学上解释为细在力学上解释为细梁在梁在 截面处的转角，故称为截面处的转角，故称为三转角方程三转角方程.这些这些方程的系数矩阵对角元素均为方程的系数矩阵对角元素均为2，非对角元素均，非对角元素均为为 ,故系数矩阵严格对角占优故系数矩阵严格对角占优,从而可逆，从而可逆，方程组解唯一方程组解唯一,求得各求得各 ,从而得

20、到从而得到 .第47页，共53页，编辑于2022年，星期六三弯矩方程三弯矩方程:三次样条插值函数三次样条插值函数 有时用二阶导数值来表达有时用二阶导数值来表达 :在力学上解释为细梁在在力学上解释为细梁在 截面处的弯矩截面处的弯矩,并且并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关得到的弯矩与相邻两个弯矩有关,故称三弯矩方程故称三弯矩方程考虑考虑:.为三次多项式，故为三次多项式，故 为线性函数，可表为线性函数，可表示为示为对对 积分两次积分两次,并利用并利用 及及可定出积分常数，于是得可定出积分常数，于是得 第48页，共53页，编辑于2022年，星期六对对 求导得求导得 由此可求得由此可求得第49页，共53页

21、，编辑于2022年，星期六类似可求出类似可求出 在在 上的表达式上的表达式,及及利用利用 可得可得n-1个方程个方程:其中其中 第50页，共53页，编辑于2022年，星期六只要加上的任一种边界条件就可得到关于弯矩只要加上的任一种边界条件就可得到关于弯矩 的方程组，例如边的方程组，例如边界条件界条件1,1,则得到端点方程为则得到端点方程为若边界条件为若边界条件为2，则端点方程为，则端点方程为 同样可求出三弯矩方程的解同样可求出三弯矩方程的解 ，代入则可得到三次插值样条函数代入则可得到三次插值样条函数 .第51页，共53页，编辑于2022年，星期六Matlab中有关插值的程序多项式插值：polyfit样条插值：spline样条函数赋值：ppval第52页，共53页，编辑于2022年，星期六作业：1.求 在a,b上的分段线性插值函数 ,并估计 误差.2.设函数在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特 插值法,求一个次数不高于3的多项式 ,使其满足 并写出误差估计式.3.设函数在节点 的函数值均为零，试求满足下 列边界条件的三次样条插值函数：第53页，共53页，编辑于2022年，星期六