第四章 三角函数与解三角形.doc

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1、智浪教育-普惠英才文库第四章 三角函数与解三角形一基础题组1. 【2016高考上海理数】方程在区间上的解为_ .【答案】【考点】二倍角公式及三角函数求值【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.2. 【2016高考上海理数】已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_【答案】【解析】试题分析：由已知可设，【考点】正弦、余弦定理【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答此类试题时，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三

2、角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.3. 【2016高考上海理数】设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为 . 【答案】4【解析】试题分析：当时，又，注意到，所以只有2组：, 满足题意；当时，同理可得出满足题意的也有2组：, ，故共有4组.【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.4.【2016高考上海文数】若函数的最

3、大值为5，则常数_.【答案】【考点】三角函数 的图象和性质.【名师点睛】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.5.【2016高考上海文数】设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（ ）.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】B【解析】试题分析：，又，注意到，只有这两组故选B【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.6.

4、 【2015高考上海理数】已知函数若存在，满足，且（，），则的最小值为 【答案】【解析】因为，所以，因此要使得满足条件的最小，须取即【考点定位】三角函数性质【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.7. 【2015高考上海文数】 已知点 的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.【名师点睛】设直线的倾斜角为，则，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于、的等式求解结论.数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错.8.

5、 【2014 上海，理1】 函数的最小正周期是.【答案】【解析】由题意，【考点】三角函数的周期.9. 【2014上海,文7】 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】.【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意，即，母线与底面夹角为，则为，.【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.10. 【2014上海,文12】 方程在区间上的所有解的和等于.【答案】【考点】解三角方程.11. 【2013上海,理4】已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若3a22ab3b23c20，则角C的大小是_(结果用反三角函数值表示)

6、【答案】arccos【解析】3a22ab3b23c20c2a2b2，故cosC，C.12. 【2013上海,理11】若cosxcosysinxsiny，sin2xsin2y，则sin(xy)_.【答案】【解析】cos(xy)，sin2xsin2y2sin(xy) cos(xy)，故sin(xy).13. 【2013上海,文5】已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2abb2c20，则角C的大小是_【答案】【解析】a2abb2c20cosC.14. 【2013上海,文9】若cosxcosysinxsiny，则cos(2x2y)_.【答案】【解析】cosxcosysinxsiny

7、cos(xy)cos2(xy)2cos2(xy)1.15. 【2012上海,理16】在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定【答案】C【解析】由正弦定理可知a2b2c2，从而，C为钝角，故该三角形为钝角三角形16. 【2012上海,文4】若d(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为_(结果用反三角函数值表示)【答案】【解析】设直线l的倾斜角为，则，所以.17. 【2011上海,理6】在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB75°，CBA60°，则A、C两点之间的距离为_千米【答

8、案】【解析】18. 【2011上海,理7】若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_【答案】【解析】19. 【2011上海,文4】函数y2sin xcos x的最大值为_【答案】【解析】20. 【2010上海,理18】某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能答（ ）（A）不能作出这样的三角形.（B）作出一个锐角三角形.（C）作出一个直角三角形. (D) 作出一个钝角三角形.【答案】D【点评】本题考查余弦定理在解斜三角形中的应用，即判断三角形的形状，由于条件中是三角形三条高的长度，则需转化为三边长度，从而考查运动变化观、数形结合思想.21. 【2010上海,文18】若A

9、BC的三个内角满足sinAsinBsinC51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】设三角形的三边长分别为a，b，c，由正弦定理知，abc51113，设a5t，b11t，c13t.a2b2(5t)2(11t)2146t2，而c2(13t)2169t2，a2b2c2，C为钝角，即ABC为钝角三角形 22. (2009上海,理6)函数y=2cos2x+sin2x的最小值是_.【答案】【解析】因y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=,所以y的最小值为.23. (2009上海,文13)已知函

10、数=sinx+tanx,项数为27的等差数列an满足an(,),且公差d0.若f(a1)+f(a2)+f(a27)=0,则当k=_时,f(ak)=0.【答案】14【解析】函数=sinx+tanx,x(,)是奇函数,且在给定的定义域上单调递增.在等差数列an中,若满足a1+a27=0(d0),则f(a1)+f(a27)=0.由等差数列的性质易得f(a1)+f(a27)=f(a2)+f(a26)=f(a13)+f(a15)=0,所以f(a14)=0,此时k=14.24. 【2008上海,理6】函数f(x)sin x +sin(+x)的最大值是 .25. 【2008上海,理10】某海域内有一孤岛，岛

11、四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为1、2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .26. 【2007上海,理6】函数的最小正周期是27. 【2007上海,理11】已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）.直线的倾斜角为弧度，则的图象大致为 28. 【2007上海,理17】在三角形中，求三角形的面积。 29. 【2007上海,文4】函数的最小正周期 . 【答案】【解

12、析】30. 【2006上海,理6】如果，且是第四象限的角，那么 【答案】【解析】如果，且是第四象限的角， ，那么= 31. 【2006上海,理8】在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，），则OAB的面积是 【答案】5【解析】在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，），AOB=2=，所以OAB的面积是32. 【2006上海,理17】（本题满分12分）求函数2的值域和最小正周期【答案】2,2, 33. 【2006上海,文6】函数的最小正周期是_.【答案】【解析】函数=sin2x，它的最小正周期是. 34. 【2005上海,理9】在中，若，AB=5，BC=7，则的面积S=_.【答案

13、】【解析】由余弦定理解的AC=3，因此的面积35. 【2005上海,文5】函数的最小正周期T=_.【答案】【解析】，得最小正周期为【解后反思】三角函数的变换要注意变换的方向，消除差异，达到转化.36. 【2005上海,文6】若，则=_.【答案】【解析】，.【解后反思】在三角函数的公式运用过程中取决于满足运用公式的条件，已知三角函数值求同角的其它三角函数值时必须注意符号，否则就无所谓解决三角函数问题.37. 【2005上海,文10】在中，若，AB=5，BC=7，则AC=_.【答案】38. 【2005上海,文11】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_.【答案】【解析】从图象可以

14、看出直线有且仅有两个不同的交点时, 二能力题组39. 【2017高考上海，11】设 ，且 ，则 的最小值等于 .【答案】【解析】由可得 ，则： ，由可得 ，则： ，则 ，结合题意可得： ，则： ，且： ，据此有： ，其中 ，整理可得： ，不妨取 ，此时 取得最小值 .注： 的取法不唯一，只要满足 即可.40. 【2013上海,理21】已知函数f(x)2sin(x)，其中常数0.(1)若yf(x)在上单调递增，求的取值范围；(2)令2，将函数yf(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图像区间a，b(a，bR，且ab)满足：yg(x)在a，b上至少含有30个零点在所有

15、满足上述条件的a，b中，求ba的最小值【答案】(1) 0 ;(2) 【解析】(1)因为函数yf(x)在上单调递增，且0，所以，且，所以0.(2)f(x)2sin2x，将yf(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y2sin21的图像，所以g(x)2sin21.令g(x)0，得xk或xk(kZ)，所以两个相邻零点之间的距离为或.若ba最小，则a和b都是零点，此时在区间a，a，a,2a，a，ma(mN*)上分别恰有3,5，2m1个零点，所以在区间a,14a上恰有29个零点，从而在区间(14a，b上至少有一零点，所以ba14.另一方面，在区间上恰有30个零点，因此，ba的最小值为.41.

16、 【2010上海,理19】（本题满分12分）已知，化简：.【答案】0【解析】，原式.【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的余弦、对数的概念和运算法则等基础知识，同时考查基本运算能力.42. (2009上海,文20)已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若mn,求证:ABC为等腰三角形;(2)若mp,边长c=2,C=,求ABC的面积.【答案】(1)参考解析; (2) (2)解:由题意可知m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0.a+b=ab.由余弦定理,可知

17、4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,ab=4(ab=-1舍去).43. 【2008上海,理17】(13)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）44. 【2008上海,文18】（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分已知函数f(x)=sin2x，g(x)=cos，直线与函数的图象分别交于M、N两点

18、（1）当时，求MN的值；（2）求MN在时的最大值【答案】（1）;（2）【解析】（1）.2分 5分（2）.8分 .11分 13分 MN的最大值为. 15分45. 【2006上海,理18】（本题满分12分）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？【答案】北偏东71°方向【解析】连接BC,由余弦定理得BC2=202+1022×20×10cos120°=700. 于是,BC=10.

19、, sinACB=, ACB<90° ACB=41°乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.46. 【2006上海,文17】（本题满分12分）已知是第一象限的角，且，求的值.【答案】【解析】= 由已知可得sin, 原式=.三拔高题组47. 【2015高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.（1）求与的值；（

20、2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由.【答案】（1），（2），不超过.【解析】解：（1）记乙到时甲所在地为，则千米在中，所以（千米）.（2）甲到达用时小时；乙到达用时小时，从到总用时小时当时，；当时，.所以.因为在上的最大值是，在上的最大值是，所以在上的最大值是，不超过.【考点定位】余弦定理【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有

21、可能用到 48. 【2014上海,理21】本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.（1） 设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2） 施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？【答案】（1）米；（2）米【解析】试题解析：（1）由题得，且，即，解得，米（2） 由题得，米，米【考点】三角函数的应用，解三角形49. 【2005上海,理21】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分对定义域分别是、的函数、，规定：函数（1）若函数，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为的函数，及一个的值，使得，并予以证明【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）（2）当若其中等号当x=2时成立，若其中等号当x=0时成立，函数（3）解法一令则于是解法二令，则于是