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1、高三数学第二轮专题复习系列高三数学第二轮专题复习系列(1)-(1)-集合与简易逻辑集合与简易逻辑一、【重点知识结构重点知识结构】二、【高考要求高考要求】1.理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.2.理解|ax+b|c(c0)型不等式的概念，并掌握它们的解法.了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分式不等式的解法.3.理解逻辑联结词“或、“且、“非的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义和判定.4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方
2、法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力.三、【高考热点分析高考热点分析】集合与简易逻辑是高中数学的重要根底知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作根底性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.四、【高考复习建议高考复习建议】概念多是本章内容的一大特点，一是要抓
3、好根本概念的过关，一些重点知识如子、交、并、补集及充要条件等要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好表达，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理解集合问题.集合集合的根本概念集合与集合的关系集合的应用集合及元素集合分类及表示子集、包含与相等交集、并集、补集解含绝对值符号、一元二次、简单分式不等式简易逻辑命题逻辑联结词简单命题与复合命题四种命题及其关系充分必要条件五五、【例【例题】题】【例【例 1 1】设13|,13|,22yybbBxxaaARyx，求集合 A 与 B 之间的关系。解：由4545)23(1322xxxa，得 A=45|xx45)
4、23(1322yyyb45A=B【例【例 2 2】集合 A=0103|2 xxx，集合 B=121|pxpx，假设 BA，求实数 p的取值范围。解：假设 B=时，2121ppp假设 B时，那么3251212121ppppp综上得知：3p时，BA。【例【例 3 3】集 合123|),(axyyxA，集 合 B=30)1()1(|),(2yaxayx。如 果BA，试求实数a的值。解：注意集合 A、B 的几何意义，先看集合 B；当a=1 时，B=，AB=当a=1 时，集合 B 为直线y=15，AB=当a1 时，集合 A：)2)(1(3xay，A)3,2(，只有B)3,2(才满足条件。故303)1(2
5、)1(2aa；解得：a=5 或a=27a=1 或a=27或 a=1 或a=5。【例【例 4 4】假设集合 A=3,1,23x，B=,12x，且3,1,23xBA，求实数x。解：由题设知ABA，AB，故32x或xx232即3x或1x或3x，但当1x时，123 x不满足集合 A 的条件。实数x的值为3或3。【例【例 5 5】集合 A=0310|2xxx，B=022|2mxxx，假设BBA，求实数 m的值。解：不难求出 A=52|xx，由BBAAB，又0222mxx，m84假设084 m，即21m，那么AB假设084 m，即21m，211211|mxmxB，52112211mm214m故由知：m 的
6、取值范围是),4m注：不要忽略空集是任何集合的子集。【例【例 6 6】集合A=019|22aaxxx，B=1)85(log|22 xxx，C=082|2 xxx，假设AB 与AC 同时成立，求实数a的值。解：易求得 B=3,2，C=4,2，由AB 知 A 与B 的交集为非空集。故 2，3 两数中至少有一适合方程01922aaxx又AC ，A2，即019392aa得，a=5 或a=2当a=5 时，A=3,2，于是2CA，故a=5 舍去。当a=2 时，A=5,2，于是3BA，a=2。【例【例 7 7】023|2xxxA，022|2axxxB，AB=A，求a的取值构成的集合。解：AB=A，AB，当B
7、时0162a，-4a4，2,1023|2xxxA，当 1B时，将x=1 代入B中方程得a=4，此时B=1，当 2B时，将x=2 代入B中方程得a=5，此时AB2,21，a=5 舍去，-4a4。【例【例 8 8】023|2xxxA，02|axxB且AB=A，求实数a组成的集合 C。解：由A=1，2，由AB=A，即AB，只需a1-2=0，a=2 或a2-2=0，a=1。另外显然有当a=0 时，B也符合。所以 C=0，1，2。【例【例 9 9】某车间有 120 人，其中乘电车上班的 84 人，乘汽车上班的 32 人，两车都乘的18 人，求：1只乘电车的人数；2不乘电车的人数；3乘车的人数；4不乘车的
8、人数；5只乘一种车的人数。解：此题是全集中元素的个数，求各局部元素的个数，可用图解法。设只乘电车的人数为x人，不乘电车的人数为y人，乘车的人数为 z 人，不乘车的人数为 u 人，只乘一种车的人数为 v 人如下列图1x=66 人，2y=36 人，3z=98 人，4u=22 人，5v=80 人。【例【例 1010】2022 届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题M 是关于x的不等式0)23()73(222aaxax的解集，且 M 中的一个元素是 0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.解：原不等式即0)32)(12(axax，由0 x适合不等式故得0)32)(1(aa，所以1a，或23a.
9、假设1a，那么5)1(252132aaa，2123aa，此时不等式的解集是2321|axax；假设23a，由45)1(252132aaa，2123aa，此时不等式的解集是2123|axax.【例【例 1111】2022 届杭州二中高三数学综合测试题1a，设命题01)2(:xaP，命题1)2()1(:2xaxQ.试寻求使得QP、都是真命题的x的集合.解：设1)2()1(|01)2(|2xaxxBxaxA，依题意，求使得QP、都是真命题的x的集合即是求集合BA，2211(2)1022(1)(2)1()(2)0(2)20a xxxaaxa xxa xxa xa 假设12a时，那么有122xaxxa或
10、，而11(2)20aaaa，所以12aa，即当12a时使QP、都是真命题的1|22xx xxaa或；当2a 时易得使QP、都是真命题的3|,22xx xx且；假设2a，那么有122xaxax或，此时使得QP、都是真命题的1|22xx xaxa或综合略.【例【例 1212】2022 届 湖 北 省 黄 冈 中 学 综 合 测 试 题 条 件axp|15:|和 条 件01321:2 xxq，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为 A、B 构造命题：“假设 A 那么 B，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.那么这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.
11、分析：此题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得此题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a，也能先猜后证，所找到的实数a只需满足2151 a，且51a1 即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.解：条件p即ax15，或ax15，51ax，或51ax，条件q即01322 xx，21x，或1x；令4a，那么p即53x，或1x，此时必有qp 成立，反之不然.故可以选取的一个实数是4a，A 为p，B 为q，对应的命题是假设p那么q，由以上过程可知这一命
12、题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.【例【例 1313】)0(012:2|311:|22mmxxqxp，；p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解：由，2|311|x得102x，由)0(01222mmxx，得)0(11mmxm，p即2x，或10 x，而q即mx1，或mx1)0(m；由p是q的必要不充分条件，知q p，设 A=102|xxx，或，B=)0(11|mmxmxx，或，那么有 AB，故，010111mmm且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，解得30 m，此即为“p是q的必要不充分条件时实数m的取值范围.【例【例 1414】2022 届全国大联考高三第四次联考试题函
13、数xxfalog)(，其中1220|2aaaa.1判断函数xxfalog)(的增减性；2 文假设命题:p)2(1|)(|xfxf为真命题，求实数x的取值范围.2 理假设命题:p|)2(|1|)(|xfxf为真命题，求实数x的取值范围.解：11220|2aaaa，020122aa，即102 a，函数xyalog是增函数；2 文)2(1|)(|xfxf即12log|log|xxaa，必有0 x，当10 x，0logxa，不等式化为12loglogxxaa，12loga，这显然成立，此时10 x；当1x时，0logxa，不等式化为12loglogxxaa，12logxa，故2ax，此时21ax；综上
14、所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是20|axx.2 理|)2(|1|)(|xfxf即1|2log|log|xxaa，必有0 x，当410 x时，02loglogxxaa，不等式化为12loglogxxaa，12logxa，故12logxa，ax21，此时4121 xa；当141 x时，xxaa2log0log，不等式化为12loglogxxaa，12loga，这显然成立，此时141 x；当1x时，xxaa2loglog0，不等式化为12loglogxxaa，12logxa，故2ax，此时21ax；综上所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是221|axax.六六、【专题练习】【专题练习】
15、一、选择题1I 为全集，集合 M、NI，假设 MN=M，那么有：D DAM(NCu)BM(NCu)C)()(NCMCuuD)()(NCMCuu2假设非空集合 A、B 适合关系 AB，I 是全集，以下集合为空集的是：D DABAB)()(BCACuuCBACU)(D)(BCAU3集合 A=0，1，2，3，4，B=0，2，4，8，那么 AB 子集的个数是：C CA6 个B7 个C8 个D9 个4满足aXa,b,c的集合X的个数有BA2B3C4D55集合 I、P、Q 适合 I=PQ=1，2，3，4，5，PQ=1，2那么PQ PCuQCu为 C C A 1，2，3B 2，3，4C 3，4，5D 1，4
16、，56I为全集集合 M，N 是I的子集MN=N，那么 B B A)()(NCMCuuB)()(NCMCuuCM(NCu)DM(NCu)7设 P=x|x-2,Q=x|x3，那么 PQ 等于 D D ABRCPDQ8设集合 E=n|n=2k,kZ，F=n|n=4k,kZ，那么 E、F 的关系是 B B AEFBEFCE=FDEF=9集合 M=22|xx，N=x|x-1|2，那么MN等于 B B A32|xxB21|xxC12|xxD32|xx10集合 I=R，集合 M=x|x=12n，nN，P=x|x=14n，nN，那么 M 与 P 的关系是 B B AMP=B)(MCUP=CM)(PCU=D)(
17、MCU)(PCU=11集合 A=y|y=x2,xR,B=y|y=2xxR,那么 AB 等于 C C A2，4B2，4，4，16Cy|y0Dx|x0，那么 D D APQ=BPQ=RC)(PCUQ=)(PCUD)(PCU)(QCU=-4二、解答题1、设 A=4|2axxxx，B=10|xx；假设 AB，求实数a的取值范围。解：由图象法解得：当a0 时，140|2axxA；当a0 时，40|xxA要使得 AB，必须且只须1142a，解得3a2、A=)1(21|)1(21|22aaxx，B=0)13(2)1(3|2axaxx。假设 AB，求实数a的取值范围。解：易得12|2axaxA，由0)13(2
18、)1(32axax得0)13()2(axxxyo当 3a+12，即31a时，132|axxB要使 AB，必须31131222aaaa，当 3a+1=2，即31a时，2B；要使 AB，a=1当 3a+12，即31a时，213xaB要使 AB，必须1211322aaaa综上知：1a或3,1 a3、集合 A=,42|2Rxmxxyy，B=0loglog|3123xxx，且BA，求实数m的值。解：31|xxB，4|2mxxA，由342m得：),1 1,(m4、集合 A=0)1()1(|222aayaayy，B=30,2521|2xxxyy；假设BA，求实数a的取值范围。解：B=42|xx，由0)1()
19、1(222aayaay得：0)1)(2ayay因为aa12，所以 A=1|2axaxx或。由BA得：412a或2a所以),2()3,3(a5、集合0|2qpxxxA，01|2pxqxxB同时满足BA，2BCAu，其中 p、q 均为不等于零的实数，求 p、q 的值。解：条件是说集合A、B有相同的元素，条件是说-2A但B 2，A、B是两个方程的解集，方程02qpxx和012 pxqx的根的关系确实定是该题的突破口。设Ax 0，那么00 x，否那么将有 q=0 与题设矛盾。于是由0020qpxx，两边同除以20 x，得011)1(020 xpxq，知Bx01，故集合A、B中的元素互为倒数。由知存在A
20、x 0，使得Bx01，且001xx，得10 x或10 x。由知A=1，-2或A=-1，-2。假设A=1，-2，那么21,1 B，有.2)2(1;1)21(qp同理，假设A=-1，-2，那么21,1B，得 p=3，q=2。综上，p=1，q=-2 或 p=3，q=2。6、关于x的不等式2)1(2)1(22aax，0)13(2)1(32axax的解集依次为A、B，且BA。求实数a的取值范围。解：12|2axaxA，B=x|x-2x-3a+10BA当 3a+12 时，B=x|2x3a+13a+12a或212a，131 a当 3a+12 或1132aa，310 a7、集合,023|2RxxxxA，假设,01|2RxaaxxxB，且ABA，求实数a。解：AB=A，AB。A=1，2，B或B=1或B=2或B=1，2。假设B，那么由0，得aR，且a2，此时将x=1 代入方程得aR，将x=2 代入方程得a=3。综上所述，实数a的值为 2 或 3。