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1、-第 1 页常微分方程试卷常微分方程试卷及答案及答案-第 2 页2010-20112010-2011 学年第学年第 二二 学期常微分方程考试学期常微分方程考试 A AB B 卷答案卷答案理学院年级信息与计算科学专业填空题（每题 4 分，共 20 分）1.形如)()(xQyxPy（)(),(xQxP连续）的方程是一阶线性微分方程，它的通解为cdxdxxPexQdxxPey)()()(.2.形如0yy的方程是3阶_齐次_(“齐次”还是”非齐次”)_常_系数的微分方程,它的特征方程为310.3.形如1111110nnnnnnnnd ydydyxa xaxa ydxdxdx的方程为 欧拉 方程,可通过
2、变换txe把它转化成常系数方程.4.2(1)0,y dxxdy满足初始条件：x=0,y=1 的特解11ln 1yx55.微分方程0000(,),(),:,dyf x yy xy Rxxa yybdx满足的解存在且唯一的条件是:(,)f x y在 R 上连续且满足利普希茨条件一、下列微分方程的解（每题 5 分，共 30 分）1dxdy=2)(1yx 解：令 x+y=u,则dxdy=dxdu-1.3dxdu-1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.52053243xdyydxyxdyydxx解：两边同乘以yx2得：05324352423ydyxdxyxydyxdxyx.3故
3、方程的通解为：cyxyx5324.5-第 3 页32dxdyyx解：令pdxdy，则2pxy，两边对 x 求导，得dxdppp21ppdxdp21，.3解之得cppx21ln2，所以cpppy221ln2，.4且 y=x+1 也是方程的解，但不是奇解.54.04)5(xx解：特征方程0435有三重根0，42，52.3故通解为54232221ctctcececxtt.55.4523xxxt解：特征方程32450有根10,231,5 齐线性方程的通解为 x=5123ttc ec ec t.3又因为0 是特征根，故可以取特解行如2xAtBt代入原方程解得 A=1425，B=25.4故通解为 x=52
4、12325ttc ec ec tt.56.2ln0,xyyy初值条件:y(1)=e解:原方程可化为lndyyydxx1分离变量可得lndydxyyx.3两边积分可得ln ycx.4-第 4 页将初值代入上式求得方程的解:ln2yx.5二、求下列方程（组）的通解（每题 10 分，共 30 分）1求一曲线，使其任一点的切线在OY轴上的截距等于该切线的斜率.解：设(,)p x y为所求曲线上的任一点，则在p点的切线l在Y轴上的截距为：dyyxdx.3由题意得dyyxxdx即11dyydxx也即ydxxdydx 两边同除以2x，得2ydxxdydxxx.5即()lnyddxx.7即lnycxxx.10
5、为方程的解。2.243xxyyxy满足初值条件(0)3(0)3xy解:方程组的特征值125,1,.2对应特征值15的特征向量12uuu应满足对任意常数0,2u,取1,得12u .4对应特征值21 的特征向量12vvv应满足对任意常数0,v,取1,得11v.6-第 5 页所以基解矩阵为:55()2tttteetee.855551211333312113333tttttttteeeeeeee33 =5524tttteeee.103.求方程2213dyxydx 通过点(1,0)的第二次近似解.解:令0()0 x，于是221001()21 3(),xxyxx dxxx.52234520111433()
6、21 3(),1525xxyxx dxxxxxx.10五、应用题（10 分）33.摩托艇以 5 米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了 20 秒钟后，艇的速度减至13v 米/秒。确定发动机停止 2 分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。解：dvFmamdt，又1Fk v，由此即dvkvdt.5其中1kkm，解之得又0t 时，5v；2t 时，3v。故得13ln205k，ln5c 从而方程可化为2035()5tv.7当2 60120t 时，有120203(20)5()0.233285v 米/秒.8即为所求的确定发动机停止 2 分钟后艇的速度。.10六、证明题（10 分）1、
7、试证:非齐次线性微分方程组的叠加原理:即:设12(),()x tx t分别是方程组的解，则)()(21txtx是方程组-第 6 页的解.证明：)()(1tfxtAx（1）)()(2tfxtAx（2）分别将)(),(21txtx代入（1）和（2）则)()(111tfxtAx)()(22tfxtAx.5则)()()()()(212121tftftxtxtAxx令)()(21txtxx即证)()()(21tftfxtAx.102010-20112010-2011 学年第学年第 二二 学期常微分方程考试学期常微分方程考试 B B 卷答案卷答案理学院年级信息与计算科学专业一、填空题（每题 4 分，共 2
8、0 分）1.0),(),(dyyxNdxyxM是恰当方程的充要条件是MNyx；其通解可用曲线积分表示为(,)(,)M x y dxNM x y dx dycy.3.形如24yyx的方程是2阶 非齐次(“齐次”还是”非齐次”)_常系数的微分方程,它的特征方程的特征根为2,2.4.若)(),(tt 是同一线性方程XtAdtdX)(的基解方阵，则它们间有关系55.微分方程0000(,),(),:,dyf x yy xy Rxxa yybdx满足的解存在且唯一的条件是:(,)f x y在 R 上连续且满足利普希茨条件二、下列微分方程的解（每题 5 分，共 30 分）1.32xyxydxdy解：令uxy
9、.1-第 7 页则：21uxudxduxudxdy即21uxdxdux得到22xdxudu故cxu11即211xxcy.4另外0y也是方程的解。.52.dxdy=xysin解：y=dxe(xsindxecdx).3=xe-21ex(xxcossin)+c=cex-21(xxcossin)是原方程的解。.53yyy132。设ttyty13,2.3dttdttttydydx32616.4解为ttyCttX1321622.54.2100yyy解：特征方程01022有复数根11 3i ,21 3i .3故通解为tectecxtt3sin3cos21.55.0 xdyydx解:原方程可化为0dxy-第
10、8 页故xyC.56.268txxxe解：特征方程2680有根1-2,2-4.1故齐线性方程的通解为 x=2412ttc ec e.3-2 是特征方程的根，故2txAte代入原方程解得 A=14.4故通解为 x=ttecec521214te.5三、求下列方程（组）的通解（每题 10 分，共 30 分）1.22xyaya ye解：特征方程0222aa有 2 重根-a.2当 a=-1 时，齐线性方程的通解为 s=tttecec21,1 是特征方程的 2 重根，故teAtx2代入原方程解得 A=21通解为 s=22121ttecectt,.6当 a-1 时，齐线性方程的通解为 s=atattecec
11、21,1 不是特征方程的根，故tAex 代入原方程解得 A=2)1(1a故通解为 s=atattecec21+tea2)1(1.102.22dxxydtdyxydt 求其基解矩阵.解:det（EA）=0 得13，23.3对应于1的特征向量为 u321，（0）对应于2的特征向量为 v321，（0）.5-第 9 页u321，v321是对应于1，2的两个线性无关的特征向量(t)=tttteeee3333)32()32(是一个基解矩阵.103.求方程2dyxydx通过点(1,0)的第二次近似解.解:令0()0 x，于是22100111()(),22xxyxx dxx.522352011111111()
12、(),3042620 xxyxx dxxxxx.10五、应用题（10 分）1求一曲线，过点(1,1),其任一点的切线在OY轴上的截距等于2a.解：设(,)p x y为所求曲线上的任一点，则在p点的切线l在Y轴上的截距为：dyyxdx.3由题意得2dyyxadx两边同除以2x，得2dydxyax.5即2lnlndyadx.7即2ycxa.8将1,1xy代入上式得21ca。.10六、证明题（10 分）1、试证：如果)(t是x=Ax 满足初始条件)(0t的解，那么)(texpA(t-t0)证明：由于)(t(t)-1(t0)(t)ttdssfs0)()(1-.5又因为(t)=expAt,-1(t0)=(expAt0)-1=exp(-At0),f(s)=0,又因为矩阵（At）（-At0）=（-At0）（At）.7所以)(texpA(t-t0).10