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1、-第 1 页常微分方程习题常微分方程习题及答案及答案.-第 2 页第十二章第十二章常微分方程常微分方程(A)一、是非题一、是非题1任意微分方程都有通解。()2微分方程的通解中包含了它所有的解。()3函数xxycos4sin3是微分方程0 yy的解。()4函数xexy2是微分方程02 yyy的解。()5微分方程0lnxyx的通解是Cxy2ln21(C为任意常数)。()6yysin是一阶线性微分方程。()7xyyxy33不是一阶线性微分方程。()8052 yyy的特征方程为0522 rr。()9221xyyxdxdy是可分离变量的微分方程。()二、填空题二、填空题1在横线上填上方程的名称0ln3x
2、dyxdxy是。022dyyxydxxxy是。xyydxdyxln是。xxyyxsin2是。02 yyy是。2xxyxycossin 的通解中应含个独立常数。3xey2 的通解是。4xxycos2sin 的通解是。5124322 xyxyxyx是阶微分方程。6微分方程 06 yyy是阶微分方程。-第 3 页7xy1所满足的微分方程是。8xyy2的通解为。90 xdyydx的通解为。1025112xxydxdy，其对应的齐次方程的通解为。11方程012yxyx的通解为。123 阶微分方程3xy 的通解为。三、选择题三、选择题1微分方程 043 yyyxyxy的阶数是()。A3B4C5D 22微分
3、方程152 xyxy的通解中应含的独立常数的个数为()。A3B5C4D 23下列函数中，哪个是微分方程02 xdxdy的解()。Axy2B2xy Cxy2Dxy4微分方程323yy 的一个特解是()。A13 xyB32 xyC2CxyD31xCy5函数xycos是下列哪个微分方程的解()。A0yyB02yyC0 yynDxyycos 6xxeCeCy21是方程0 yy的()，其中1C，2C为任意常数。A通解B特解C是方程所有的解D 上述都不对7yy 满足2|0 xy的特解是()。A1xeyBxey2C22xeyDxey 38微分方程xyysin 的一个特解具有形式()。Axaysin*Bxay
4、cos*-第 4 页Cxbxaxycossin*Dxbxaysincos*9下列微分方程中，()是二阶常系数齐次线性微分方程。A02 yyB032 yyxyC045 xyD012 yy10微分方程0yy满足初始条件 10 y的特解为()。AxeB1xeC1xeDxe211在下列函数中，能够是微分方程0 yy的解的函数是()。A1yBxy CxysinDxey 12 过点3,1且切线斜率为x2的曲线方程 xyy 应满足的关系是()。Axy2Bxy2 Cxy2，31 yDxy2，31 y13下列微分方程中，可分离变量的是()。AexydxdyBybaxkdxdy(k,a,b是常数)Cxydxdys
5、inDxeyxyy214方程02yy的通解是()。AxysinBxey24CxeCy2Dxey 15微分方程0 xdyydx满足4|3xy的特解是()。A2522 yxBCyx 43CCyx22D722 yx16微分方程01yxdxdy的通解是y()。AxCBCxCCx1DCx 17微分方程0yy的解为()。AxeBxeCxxeeDxe18下列函数中，为微分方程0 ydyxdx的通解是()。ACyxBCyx22C0 yCxD02 yCx-第 5 页19微分方程02 dxydy的通解为()。ACxy2BCxyCCxyDCxy20微分方程xdxydysincos的通解是()。ACyx cossin
6、BCxysincosCCyxsincosDCyxsincos21xey 的通解为y()。AxeBxeC21CxCexD21CxCex22按照微分方程通解定义，xysin 的通解是()。A21sinCxCxB21sinCCxC21sinCxCxD21sinCCx四、解答题四、解答题1验证函数xxeeCy23(C为任意常数)是方程yedxdyx32的通解，并求出满足初始条件0|0 xy的特解。2求微分方程1|011022xydyxydxyx的通解和特解。3求微分方程xyxydxdytan的通解。4求微分方程2|1xyxyyxy的特解。5求微分方程xexyysincos的通解。6求微分方程xxydx
7、dysin的通解。7求微分方程1|0121027xyxyyx的特解。8求微分方程122 xxyy满足初始条件0 x，1y，3 y的特解。9求微分方程yyy 2满足初始条件0 x，1y，2 y的特解。-第 6 页10 验 证 二 元 方 程Cyxyx22所 确 定 的 函 数 为 微 分 方 程yxyyx22的解。11求微分方程0dyeedxeeyyxxyx的通解。12求xxydxdysectan，0|0 xy的特解。13验证xycos1，xysin2都是02 yy的解，并写出该方程的通解。14求微分方程xxyy22 的通解。15求微分方程01xeyxy满足初始条件 01 y的特解。16求微分方
8、程3112xyxdxdy的通解。17求微分方程011dyxydxyx满足条件 10 y的特解。18求微分方程02 yyy的通解。19求微分方程052 yyy的通解。20求微分方程044 yyy的通解。21试求xy 的经过点1,0M且在此点与直线12xy相切的积分曲线。(B)一、是非题一、是非题1可分离变量微分方程不都是全微分方程。()2若 xy1，xy2都是 xQyxPy的特解，且 xy1与 xy2线性无关，则通解可表为 xyxyCxyxy211。()3函数xxeey21是微分方程02121 yyy的解。()4曲线在点yx,处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是Cxy2(C
9、是任意常数)。()-第 7 页5 微分方程yxey2，满足初始条件0|0 xy的特解为1212xyee。()二、填空题二、填空题1xycos1与xysin2是方程0 yy的两个解，则该方程的通解为。2微分方程032 yyy的通解为。3微分方程02 yyy的通解为。4微分方程xey2 的通解是。5微分方程 yy 的通解是。6微分方程xydxdy2的通解是。三、选择题三、选择题1微分方程044 yyy的两个线性无关解是()。Axe2与xe22Bxe2与xex2Cxe2与xex2Dxe2与xe242下列方程中，不是全微分方程的为()。A046632222dyyyxdxxyxB02dyyexdxeyy
10、C022dyxdxyxyD02xdydxyx3下列函数中，哪个函数是微分方程 gts 的解()。AgtsB2gtsC221gtsD221gts 4下列函数中，是微分方程0127 yyy的解()。A3xy B2xy Cxey3Dxey25方程012yxyx的通解是()。A21xCyB21xCyCCxxy321D221xCxey6微分方程ydyxxdxylnln满足1|1xy的特解是()。Ayx22lnlnB1lnln22yxC0lnln22yxD1lnln22yx-第 8 页7微分方程01122dxydyx的通解是()。ACyx arctanarctanBCyx tantanCCyx lnlnD
11、Cyx cotcot8微分方程xy sin的通解是()。Axy sinBxysinC21sinCxCxyD21sinCxCxy9方程3yyx的通解是()。A3xCyBCxy3C3xCyD3xCy四、解答题四、解答题1求微分方程xxxyy3sin23cos6249 的通解。2求微分方程xyyysin67 的通解。3求微分方程0223222dyxyxdxyxyx的通解。(C)一、是非题一、是非题1只要给出n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解。2已知二阶线性齐次方程 0 yxQyxPy的一个非零解y，即可求出它的通解。()二、填空题二、填空题1微分方程054 yyy的通解是。2已知1y，xy，
12、2xy 某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为。3微分方程xeyyy 22的通解为。三、选择题三、选择题1微分方程112xxxyy的通解为()。-第 9 页ACx arctanBCxxarctan1CCxxarctan1DxCx arctan2微分方程1yy的通解是()。AxeCyB1xeCyC1xeCyDxeCy130|31xyyyx的解是()。Axy113Bxy13Cxy11Dxy14微分方程xyxydxdytan的通解为()。ACxxysinBCxxy1sinCCxyxsinDCxyx1sin5已知微分方程 251xyxpy的一个特解为27*132xy，则此微分方程的通解是(
13、)。A2721321xxCB27211121xxCC27211121xxCD2721321xx6 微分方程1 xeyy的一个特解应具有形式(式中a，b为常数)()。AbaexBbaxexCbxaexDbxaxex四、解答题四、解答题1设xey 是微分方程 xyxpyx的一个解，求此微分方程满足条件0|2lnxy的特解。2已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。3 已知 210 f，试确定 xf，使 0dyxfydxxfex为全微分方程，并求此全微分方程的通解。第十二章第十二章微分方程微分方程(A)-第 10 页一、是非题一、是
14、非题1；2；3；4；5；6；7；8；9。二、填空题二、填空题1在横线上填上方程的名称可分离变量微分方程；可分离变量微分方程；齐次方程；一阶线性微分方程；二阶常系数齐次线性微分方程。23；321241CxCex；421cos2sin41CxCxx53；62；702yy；82Cxy；9Cyx22；1021xCy；1122xCxey；1232161201CxCxCxy。三、选择题三、选择题1D；2A；3B；4B；5C；6A；7B；8C；9A；10A；11 C；12C；13B；14C；15A；16B；17B；18B；19A；20D；21 C；22A四、解答题四、解答题1验证函数xxeeCy23(C为任
15、意常数)是方程yedxdyx32的通解，并求出满足初始条件0|xy的特解。2求微分方程1|011022xydyxydxyx的通解和特解。解：Cxy2211，1222 yx。3求微分方程xyxydxdytan的通解。解：Cxxysin。4求微分方程2|1xyxyyxy的特解。解：2ln222xxy。5求微分方程xexyysincos的通解。-第 11 页解：Cxeyxsin。6求微分方程xxydxdysin的通解。解：Cxxxxycossin1。7求微分方程1|0121027xyxyyx的特解。解：223131132xxy。8求微分方程122 xxyy满足初始条件0 x，1y，3 y的特解。解：
16、133xxy。9求微分方程yyy 2满足初始条件0 x，1y，2 y的特解。解：4arctan xy或4tanxy。10 验 证 二 元 方 程Cyxyx22所 确 定 的 函 数 为 微 分 方 程yxyyx22的解。解：略。11求微分方程0dyeedxeeyyxxyx的通解。解：Ceeyx11。12求xxydxdysectan，0|0 xy的特解。解：xxycos。13验证xycos1，xysin2都是02 yy的解，并写出该方程的通解。解：略。14求微分方程xxyy22 的通解。解：xxCxyln22。-第 12 页15求微分方程01xeyxy满足初始条件 01 y的特解。解：exxey
17、x。16求微分方程3112xyxdxdy的通解。解：Cxxy21122。17求微分方程011dyxydxyx满足条件 10 y的特解。解：5322233xyxy。18求微分方程02 yyy的通解。解：xxeCeCy221。19求微分方程052 yyy的通解。解：xCxCeyx2sin2cos21。20求微分方程044 yyy的通解。解：xexCCy221。21试求xy 的经过点1,0M且在此点与直线12xy相切的积分曲线。解：121613xxy。(B)一、是非题一、是非题1；2；3；4；5。二、填空题二、填空题1xCxCysincos21；2xxeCeCy321；3xexCCy21；43221
18、281CxCxCeyx；521CeCyx62xeCy三、选择题三、选择题1C；2C；3C；4C；5D；6A；7A；8C；9A四、解答题四、解答题-第 13 页1求微分方程xxxyy3sin23cos6249 的通解。解：xxxxCxxCy3sin23cos221。2求微分方程xyyysin67 的通解。解：xxeCeCyxxsin5cos7741261。3求微分方程0223222dyxyxdxyxyx的通解。解：xCxxyy22。(C)一、是非题一、是非题1；2；二、填空题二、填空题1xCxCeyxsincos212；2111221xCxCy；31sincos21xCxCeyx三、选择题三、选
19、择题1B；2C；3A；4A；5D；6D四、解答题四、解答题1设xey 是微分方程 xyxpyx的一个解，求此微分方程满足条件0|2lnxy的特解。解：代入xey 到方程 xyxpyx中，得 xxexpx原方程为xyxxeyxx2已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。解：xeyy31，xxeeyy2223均是齐次方程的解且线性无关。xxxeeCeC2221是齐次方程的通解。当21C，12C时，齐次方程的特解为xe2xe、xe2都是齐次方程的解且线性无关。-第 14 页xxeCeC221是齐次方程的通解。由此特征方程之根为-1，2，故特征方程022 rr。相应的齐次方程为02 yyy故所求的二阶非齐方程为1y是非齐次方程的特解代入上式得所以xexyyy212 为所求的微分方程。3 已知 210 f，试确定 xf，使 0dyxfydxxfex为全微分方程，并求此全微分方程的通解。解：yxfePx，xfQ，由yPxQ得 xfexfx，即 xexfxf得全微分方程：02121dyxeydxxeexxx解得yxedyxedxyxuxyxx21210,00。故此全微分方程的通解为Cyxex21。