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1、-第 1 页小学奥数平面几何五种面积模型-第 1 页小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨知识点拨一、等积模型一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12:SSa b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCDSS；反之，如果ACDBCDSS，则可知直线AB平行于CD等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三
2、角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、鸟头定理二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在ABC中，,D E分别是,AB AC上的点如图(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():()ABCADESSABACADAE图图三、蝶形定理三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：1243:SSSS或者1324SSSS1243:AO OCSSSS蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的
3、一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：S的对应份数为2ab四、相似模型四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如?b?a?S?2?S?1?D?C?B?A?A?B?C?D?O?b?a?S?3?S?2?S?1?S?4-第 2 页下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连
4、接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么:ABOACOSSBD DC上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理 该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形
5、面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题典型例题【例【例 1】如图如图，正方形正方形ABCD的边长为的边长为 6，AE 1.5，CF 2长方形长方形EFGH的面的面积为积为_ H_ G_ F_ E_ D_ C_ B_ A_ A_ B_ C_ D_ E_ F_ G_ H【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，661.5622624.54216.5DEFS,所以长方形EFGH面积为 33【巩固】如【巩固】如图所示，正方形图所示，正方形ABCD的边长为的边长为8厘米，长方形厘米，长方形EBGF的长的长BG为为1
6、0厘厘米，那么长方形的宽为几厘米？米，那么长方形的宽为几厘米？?O?F?E?D?C?B?A-第 3 页_ A_ B_ G_ C_ E_ F_ D_ A_ B_ G_ C_ E_ F_ D【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接AG(我们通过ABG把这两个长方形和正方形联系在一起)在正方形ABCD中，G12ABSABAB边上的高，12ABGABCDSS(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABGEFGBSS 正 方 形ABCD与 长 方 形EFGB面
7、积 相 等 长 方 形 的 宽8 8 106.4(厘米)【例【例 2】长方形长方形ABCD的面积为的面积为 362cm，E、F、G为各边中点为各边中点，H为为AD边上任边上任意一意一点，问阴影部分面积是多少点，问阴影部分面积是多少？【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：可 得：12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS，而36ABCDAHBCHBCHDSSSS即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC所以阴影部分的面积是
8、：18184.513.5EBFSS阴影解法二：特殊点法找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：【巩固【巩固】在边长为在边长为 6 6 厘米的正方形厘米的正方形ABCD内任取一点内任取一点P，将正方形的一组对边将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接点连接,求求阴影阴影部分面积部分面积【解析】（法 1）特殊点法由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为-
9、第 4 页2116()1546平方厘米（法 2）连接PA、PC由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米【例【例 3】如图所示，长方形如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为内的阴影部分的面积之和为 70，8AB，15AD，四边形，四边形EFGO的面积为的面积为【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边
10、形EFGO的面积由于长方形ABCD的面积为15 8120，所以三角形BOC的面积为1120304，所以三角形AOE和DOG的面积之和为312070204；又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为111203024，所以四边形EFGO的面积为302010另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050，所以四边形的面积为605010【巩固【巩固】如图如图，长方形长方形ABCD的面积是的面积是 36，E是是AD的三等分点的
11、三等分点，2AEED，则则阴影部分的面积为阴影部分的面积为【解析】如图，连接OE根 据 蝶 形 定 理，1:1:12COECDECAECDEON NDSSSS，所 以12OENOEDSS；1:1:42BOEBAEBDEBAEOM MASSSS，所以15OEMOEASS又11334OEDABCDSS矩形，26OEAOEDSS，所以阴影部分面积为：11362.725【例【例 4】已知已知ABC为等边三角形为等边三角形，面积为面积为 400，D、E、F分别为三边的中点分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为已知甲、乙、丙面积和为 143，求阴影五边形的面积，求阴影五边形的面积(丙是三角形丙是三角形H
12、BC)-第 5 页【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为 200根据图形的容斥关系，有ABCABNAMCAMHNSSSSS丙，即400?200200AMHNSS丙，所以AMHNSS丙又ADFAMHNSSSSS乙甲阴影，所以1143400434ADFSSSSS乙甲丙阴影【例【例 5】如图，已知如图，已知5CD，7DE，15EF，6FG，线段，线段AB将图形分成两部将图形分成两部分分，左边部分面积是左边部分面积是 38，右边部分面积是右边部分面积是 65
13、，那么三角形那么三角形ADG的面的面积是积是【解析】连接AF，BD根据题意可知，571527CF；715628DG；所以，1527BECBFFSS，1227BECBFCSS，2128AEGADGSS，728AEDADGSS，于是：2115652827ADGCBFSS；712382827ADGCBFSS；可得40ADGS故三角形ADG的面积是 40【例【例 6】如图在如图在ABC中中，,D E分别是分别是,AB AC上的点上的点，且且:2:5AD AB，:4:7AE AC，16ADES平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积的面积【解析】连接BE，:2:5(24):(54)ADEABESSAD AB
14、，:4:7(45):(75)ABEABCSSAE AC，所以:(24):(75)ADEABCSS，设8ADES份，则35ABCS份，16ADES平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC的面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【巩固【巩固】如图如图，三角形三角形ABC中中，AB是是AD的的 5 倍倍，AC是是AE的的 3 倍倍，如果三角如果三角形形ADE的面积等于的面积等于 1，那么三角形，那么三角形ABC的面积是多少？的面积是多少？【解析】连接BE又5ABAD【巩固】如图，三角形【巩固】如图，
15、三角形ABC被分成了甲被分成了甲(阴影部分阴影部分)、乙两部分，、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？，乙部分面积是甲部分面积的几倍？【解析】连接AD又4BDDC，【例【例 7】如图在如图在ABC中，中，D在在BA的延长线上，的延长线上，E在在AC上，且上，且:5:2AB AD，:3:2AE EC，12ADES平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积的面积【解析】连接BE，:2:5(23):(5 3)ADEABESSAD AB-第 6 页:3:(32)(3 5):(32)5ABEABCSSAE AC，所以:(32):5(32)6:25ADEABCSS，设6ADES份
16、，则25ABCS份，12ADES平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC的面积是50平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例【例 8】如图如图，平行四边形平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平平行四边形行四边形ABCD的面积是的面积是2，求平行四边形求平行四边形ABCD与四边形与四边形EFGH的面的面积比积比【解析】连接AC、BD根据共角定理在ABC和BFE中，ABC与FBE互补，又1ABCS，所以3FBES同理可得8GCFS，15DHGS，8AEHS所以8815+3+2
17、36EFGHAEHCFGDHGBEFABCDSSSSSS所以213618ABCDEFGHSS【例【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？如图所示的四边形的面积等于多少？【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为12 12144.(也可以用勾股定理)【例【例 10】如图所示如图所示，ABC中中，90ABC
18、，3AB，5BC，以以AC为一边向为一边向ABC外作正方形外作正方形ACDE，中心为，中心为O，求，求OBC的面积的面积【解析】如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置由于90ABC，90AOC，所以180OABOCB 而OCFOAB，所以180OCFOCB，那么B、C、F三点在一条直线上由于OBOF，90BOFAOC，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为538，所以它的面积为218164根据面积比例模型，OBC的面积为516108【例【例 11】如图，以正方形的边如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90AEB，AC、BD交于
19、交于O已知已知AE、BE的长分别为的长分别为3cm、5cm，求，求三角形三角形OBE的面积的面积【解析】如图，连接DE，以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置-第 7 页那么90EAFEABBAFEABDAE ，而AEB也是90，所以四边形AFBE是直角梯形，且3AFAE，所以梯形AFBE的面积为：又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，222223534ABAEBE，所以21172ABDSAB(2cm)那么17125BDEABDABEADEABDAFBESSSSSS(2cm)，所以12.52OBEBDESS(2cm)【例【例 12】如下图如下图，六边形六边形ABCDEF中中，AB
20、ED，AFCD，BCEF，且有且有AB平行平行于于ED，AF平行于平行于CD，BC平行于平行于EF，对角线对角线FD垂直于垂直于BD，已知已知24FD 厘米，厘米，18BD 厘米，请问六边形厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG了这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24 18432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米【例【例 13】如图，三角形如图，三角形ABC的面积是的面积是1
21、，E是是AC的中点，点的中点，点D在在BC上，且上，且:1:2BD DC，AD与与BE交于点交于点F则四边形则四边形DFEC的面积等于的面积等于【解析】方法一：连接CF，根据燕尾定理，12ABFACFSBDSDC，1ABFCBFSAESEC,设1BDFS份，则2DCFS份，3ABFS份，3AEFEFCSS份，如图所标所以551212DCEFABCSS方法二：连接DE，由题目条件可得到1133ABDABCSS，11212233ADEADCABCSSS，所以11ABDADESBFFES，而211323CDEABCSS所以则四边形DFEC的面积等于512【巩固【巩固】如图如图，长方形长方形ABCD的
22、面积是的面积是2平方厘米平方厘米，2ECDE，F是是DG的中点的中点 阴阴影部分的面积是多少平方厘米影部分的面积是多少平方厘米?【解析】设1DEFS份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCDSS阴影平方厘米.【例【例 14】四边形四边形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O(如图所示如图所示)如果三角形如果三角形ABD的面积等于三角形的面积等于三角形BCD的面积的的面积的13，且且2AO，3DO，那么那么CO的长度的长度是是DO的长度的的长度的_倍倍-第 8 页【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模
23、型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法 又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题解法一：:1:3ABDBDCAO OCSS，236OC，:6:32:1OC OD 解法二：作AHBD于H，CGBD于G
24、【巩固【巩固】如图如图，四边形被两条对角线分成四边形被两条对角线分成 4 个三角形个三角形，其中三个三角形的面其中三个三角形的面积已知，积已知，求：求：三角形三角形BGC的面积；的面积；:AG GC？【解析】根据蝶形定理，123BGCS，那么6BGCS；根据蝶形定理，:12:361:3AG GC【例【例 15】如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的对角线交于的对角线交于O点，点，CEF、OEF、ODF、BOE的面积依次是的面积依次是 2、4、4 和和 6求求：求求OCF的面积的面积；求求GCE的面积的面积【解析】根据题意可知，BCD的面积为244616，那么BCO和CDO的面积都是1628
25、，所以OCF的面积为844；由于BCO的面积为 8，BOE的面积为 6，所以OCE的面积为862，根 据 蝶 形 定 理，:2:41:2COECOFEG FGSS，所 以:1:2GCEGCFSSEG FG，那么11221233GCECEFSS【例【例 16】如图如图，长方形长方形ABCD中中，:2:3BE EC，:1:2DF FC，三角形三角形DFG的面积的面积为为2平方厘米，求长方形平方厘米，求长方形ABCD的面积的面积【解析】连接AE，FE因为:2:3BE EC，:1:2DF FC，所以3111()53210DEFABCDABCDSSS长方形长方形因为12AEDABCDSS长方形，11:5
26、:12 10AG GF，所以510AGDGDFSS平方厘米，所以12AFDS平方厘米因为16AFDABCDSS长方形，所以长方形-第 9 页ABCD的面积是72平方厘米【例【例 17】如图，正方形如图，正方形ABCD面积为面积为3平方厘米，平方厘米，M是是AD边上的中点求图中边上的中点求图中阴影部分的面积阴影部分的面积【解析】因为M是AD边上的中点，所以:1:2AM BC，根据梯形蝶形定理可以知道22:1:1 2:1 2:21:2:2:4AMGABGMCGBCGSSSS（）（），设1AGMS份，则123MCDS 份，所 以 正 方 形 的 面 积 为1224312份，224S阴影份，所以:1:
27、3SS阴影正方形，所以1S阴影平方厘米【巩固】在下图的正方形【巩固】在下图的正方形ABCD中，中，E是是BC边的中点，边的中点，AE与与BD相交于相交于F点，点，三角形三角形BEF的面积为的面积为 1 平方厘米，那么正方形平方厘米，那么正方形ABCD面积是面积是平方厘米平方厘米【解析】连 接DE，根 据 题 意 可 知:1:2BE AD，根 据 蝶 形 定 理 得2129S梯形（）(平 方 厘 米)，3ECDS(平 方 厘 米)，那 么12ABCDS(平方厘米)【例【例 18】已知已知ABCD是平行四边形是平行四边形，:3:2BC CE，三角形三角形ODE的面积为的面积为 6 平方厘平方厘米则
28、阴影部分的面积是米则阴影部分的面积是平方厘米平方厘米【解析】连接AC由于ABCD是平行四边形，:3:2BC CE，所以:2:3CE AD，根据梯形蝶形定理，22:2:2 3:2 3:34:6:6:9COEAOCDOEAODSSSS，所以6AOCS(平 方 厘 米)，9AODS(平 方 厘 米)，又6915ABCACDSS(平方厘米)，阴影部分面积为61521(平方厘米)【巩固】右图中【巩固】右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所是平行四边形，已知三角形面积如图所示示(单位：平方厘米单位：平方厘米)，阴影部分的面积是，阴影部分的面积是平方厘米平方厘米【分析】连接
29、AE由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAESS根据蝶形定理，4936OCDOAEOCEOADSSSS，故236OCDS，所以6OCDS(平方厘米)【巩固】右图中【巩固】右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所是平行四边形，已知三角形面积如图所示示(单位：平方厘米单位：平方厘米)，阴影部分的面积是，阴影部分的面积是平方厘米平方厘米【解析】连接AE由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAESS根据蝶形定理，2816OCDOAEOCEOADSSSS，故216OCDS，所以4OCDS(平方厘米)另解：在平行四边形ABED中，1
30、11681222ADEABEDSS(平方厘米)，-第 10 页所以1284AOEADEAODSSS(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244(平方厘米)【例【例 19】如图，长方形如图，长方形ABCD被被CE、DF分成四块，已知其中分成四块，已知其中 3 块的面积分别块的面积分别为为 2、5、8 平方厘米平方厘米，那么余下的四边形那么余下的四边形OFBC的面积为的面积为_平方厘米平方厘米【解析】连接DE、CF 四边形EDCF为梯形，所以EODFOCSS，又根据蝶形定理，EODFOCEOFCODSSSS，所以2 816EODFOCEOFCODSSSS，所以4EODS(平方厘米)，481
31、2ECDS(平方厘米)那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米，四边形OFBC的面积为245289(平方厘米)【例【例 20】如图，如图，ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段是正方形，线段AB与与CD相交相交于于K点已知正方形点已知正方形DEFG的面积的面积 48，:1:3AK KB，则，则BKD的面积是的面积是多少？多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形在梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的 而:1:3AK KB，所以ACK的面积是ABC面积的11134，那么BDK的面积也是ABC面积的14由于ABC是等腰直角
32、三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48那么BDK的面积为148124【例【例 21】下图中下图中，四边形四边形ABCD都是边长为都是边长为 1 的正方形的正方形，E、F、G、H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数的面积之比是最简分数mn，那么，那么，()mn的值等于的值等于【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中
33、的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积如下图所示，在左图中连接EG设AG与DE的交点为M左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的14，所以三角形AMD的面积为21111248 又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482如上图所示，在右图中连接AC、EF设AF、EC的交点为N可知EFAC且2ACEF那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的-第 11 页14，所以三角形BEF的面积为21111248，梯形AEFC的面积为113288在梯形AEFC中，由于:1:2EF AC，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积
34、 比 为：221:1 2:1 2:21:2:2:4，所 以 三 角 形EFN的 面 积 为3118122424，那么四边形BENF的面积为1118246而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为1 1:3:22 3，即32mn，那么325mn【例【例 22】如图，如图，ABC中，中，DE，FG，BC互相平行，互相平行，ADDFFB，则则:ADEDEGFFGCBSSS四边形四边形【解析】设1ADES份，根据面积比等于相似比的平方，所以22:1:4ADEAFGSSADAF，22:1:9ADEABCSSADAB，因此4
35、AFGS份，9ABCS份，进而有3DEGFS四边形份，5FGCBS四边形份，所以:1:3:5ADEDEGFFGCBSSS四边形四边形【巩固】如图，【巩固】如图，DE平行平行BC，且，且2AD，5AB，4AE，求，求AC的长的长【解析】由金字塔模型得:2:5AD ABAE ACDE BC，所以42510AC【巩固【巩固】如图如图，ABC中中，DE，FG，MN，PQ，BC互互相平行，相平行，ADDFFMMPPB，则，则【解析】设1ADES份，22:1:4ADEAFGSSADAF，因此4AFGS份，进而有3DEGFS四边形份，同理有5FGNMS四边形份，7MNQPS四边形份，9PQCBS四边形份所以
36、有【例【例 23】如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长为的边长为4，F是是BC边边的中点的中点，E是是DC边上的点边上的点，且且:1:3DE EC，AF与与BE相交于点相交于点G，求求ABGS【解析】方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有:1:1AB CMBF FC，因此4CM，根据题意有3CE，再根据另一个沙漏有:4:7GB GEAB EM，所以4432(442)471111ABGABESS方 法 二：连 接,AE EF，分 别 求4224ABFS，444 1232247AEFS ，根据蝶形定理:4:7ABFAEFSSBG GE，所以4432(442
37、)471111ABGABESS?Q?E?G?N?M?F?P?A?D?C?B-第 12 页【例【例 24】如图所示，已知平行四边形如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是的面积是 1，E、F是是AB、AD的中的中点，点，BF交交EC于于M，求，求BMG的面积的面积【解析】解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得/EFBD，而:1:2FD BCFH HC，:1:2EB CDBG GD所以:2:3CH CFGH EF，并得G、H是BD的三等分点，所以BGGH，所以:2:3BG EFBM MF，所以25BMBF，11112224BFDABDABCDSSS；又因为13BGBD，所以1212113
38、535430BMGBFDSS解法二：延长CE交DA于I，如右图，可得，:1:1AI BCAE EB，从而可以确定M的点的位置，:2:3BM MFBC IF，25BMBF，13BGBD(鸟头定理)，可得2121115353430BMGBDFABCDSSS【例【例 25】如图，如图，ABCD为正方形，为正方形，1cmAMNBDEFC且且2 cmMN，请问四边，请问四边形形PQRS的面积为多少？的面积为多少？【解析】(法1)由/ABCD，有MPPCMNDC，所以2PCPM，又MQMBQCEC，所以12MQQCMC，所以111236PQMCMCMC，所以SPQRS占AMCFS的16，所以121(1 1
39、2)63SPQRS 2(cm)(法2)如图，连结AE，则14482ABES(2cm)，而RBERABEF，所以2RBABEFEF，22168333ABRABESS(2cm)而1134322MBQANSSS (2cm)，因为MNMPDCPC，所以13MPMC，则11424233MNPS (2cm)，阴影部分面积等于【例【例 26】如右图，三角形如右图，三角形ABC中，中，:4:9BD DC，:4:3CE EA，求，求:AF FB【解析】根据燕尾定理得:4:912:27AOBAOCSSBD CD（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOCBOCSSAF FB【点评】本题关键
40、是把AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形【巩固】如右图，三角形ABC中，中，:3:4BD DC，:5:6AE CE，求，求:AF FB.【解析】根据燕尾定理得:3:415:20AOBAOCSSBD CD-第 13 页（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOCBOCSSAF FB【巩固】如右图，三角形【巩固】如右图，三角形ABC中，中，:2:3BD DC，:5:4EA CE，求，求:AF FB.【解析】根据燕尾定理得:2:310:15AOBA
41、OCSSBD CD（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOCBOCSSAF FB【点评】本题关键是把AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例【例 27】如右图如右图，三角形三角形ABC中中，:3:2AF FBBD DCCE AE，且三角形且三角形ABC的的面积是面积是1，则三角形，则三角形ABE的面积为的面积为_，三角形，三角形AGE的面积为的面积为_，三角形，三角形GHI的面积为的面积为_【分析】连接AH、BI、CG由于:3:2CE AE，所以25AEAC，故2255A
42、BEABCSS；根据燕尾定理，:2:3ACGABGSSCD BD，:3:2BCGABGSSCE EA，所以:4:6:9ACGABGBCGSSS，则419ACGS，919BCGS；那么2248551995AGEAGCSS；同样 分析 可得919ACHS，则:4:9ACGACHEG EHSS，:4:19ACGACBEG EBSS，所 以:4:5:10EG GH HB，同 样 分 析 可 得:10:5:4AG GI ID，所以5521101055BIEBAESS，55111919519GHIBIESS【巩固【巩固】如右图如右图，三角形三角形ABC中中，:3:2AF FBBD DCCE AE，且三角形
43、且三角形GHI的面积是的面积是1，求三角形，求三角形ABC的面积的面积【解析】连接BG，AGCS 6份根据燕尾定理，:3:26:4AGCBGCSSAF FB，:3:29:6ABGAGCSSBD DC得4BGCS(份)，9ABGS(份)，则19ABCS(份)，因此619AGCABCSS,同理连接AI、CH得619ABHABCSS,619BICABCSS,所以1966611919GHIABCSS三角形GHI的面积是 1，所以三角形ABC的面积是 19【巩固】如图，【巩固】如图，ABC中中2BDDA，2CEEB，2AFFC，那么，那么ABC的面积是阴的面积是阴影三角形面积的影三角形面积的倍倍【分析】
44、如图，连接AI根据燕尾定理，:2:1BCIACISSBD AD，:1:2BCIABISSCF AF，-第 14 页所以，:1:2:4ACIBCIABISSS，那么，221247BCIABCABCSSS同理可知ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC面积的211377，所以ABC的面积是阴影三角形面积的 7 倍【巩固】如图在【巩固】如图在ABC中，中，12DCEAFBDBECFA,求求GHIABC的面积的面积的值的值【解析】连接BG,设BGCS1 份，根据燕尾定理:2:1AGCBGCSSAF FB,:2:1ABGAGCSSBD DC,得2AGCS(份)，4AB
45、GS(份),则7ABCS(份)，因此27AGCABCSS,同理连接AI、CH得27ABHABCSS,27BICABCSS,所以7222177GHIABCSS【点评【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例【例 28】如图如图，三角形三角形ABC的面积是的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形三角形ABC被分成被分成9部分，请写出这部分，请写出这9部分的面积各是多少部分的面积各是多少?【解析】设BG与AD交于点P，BG与AE交于点
46、Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N连接CP，CQ，CM，CN根据燕尾定理，:1:2ABPCBPSSAG GC，:1:2ABPACPSSBD CD，设1ABPS(份)，则1225ABCS(份)，所以15ABPS同理可得，27ABQS,12ABNS,而13ABGS，所以2137535APQS，1213721AQGS同理，335BPMS121BDMS,所以1239273570PQMNS四边形，13953357042MNEDS四边形,1151321426NFCES四边形,1115321642GFNQS四边形【巩固【巩固】如图如图，ABC的面积为的面积为 1，点点D、E是是BC边的三等分点边的三
47、等分点，点点F、G是是AC边的三等分点，那么边的三等分点，那么四边形四边形JKIH的面积是多少？的面积是多少？【解析】连接CK、CI、CJ根据燕尾定理，:1:2ACKABKSSCD BD，:1:2ABKCBKSSAG CG，所以:1:2:4ACKABKCBKSSS，那么111247ACKS，11321AGKACKSS类似分析可得215AGIS-第 15 页又:2:1ABJCBJSSAF CF，:2:1ABJACJSSBD CD，可得14ACJS那么，111742184CGKJS根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为1784，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为17216122841537
48、0CGKJAGIABESSS，所以四边形JKIH的面积为61917070【例【例 29】右图，右图，ABC中，中，G是是AC的中点，的中点，D、E、F是是BC边上的四等分点边上的四等分点，AD与与BG交于交于M，AF与与BG交于交于N，已知已知ABM的面积比四边形的面积比四边形FCGN的的面积大面积大7.2平方厘米平方厘米，则则ABC的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？【解析】连接CM、CN根据燕尾定理，:1:1ABMCBMSSAG GC，:1:3ABMACMSSBD CD，所以15ABMABCSS；再根据燕尾定理，:1:1ABNCBNSSAG GC，所以:4:3ABNFBNCBNFB
49、NSSSS，所以:4:3AN NF，那么1422437ANGAFCSS，所以2515177428FCGNAFCABCABCSSSS根据题意，有157.2528ABCABCSS，可得336ABCS(平方厘米)【例【例 30】如图如图，面积为面积为 l l 的三角形的三角形ABCABC中中，D D、E E、F F、G G、H H、I I分别是分别是ABAB、BCBC、CACA的三等分点的三等分点,求阴影部分面积求阴影部分面积.【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN
50、、CP求ADMIS四边形：在ABC中，根据燕尾定理，:1:2ABMCBMSSAI CI:1:2ACMCBMSSAD BD设1ABMS(份)，则2CBMS(份),1ACMS(份),4ABCS(份),所以14ABMACMABCSSS，所以11312ADMABMABCSSS,112AIMABCSS,所以111()12126ABCABCADMISSS四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC面积的16求DNPQES五边形：在ABC中，根据燕尾定理:1:2ABNACNSSBF CF:1:2ACNBCNSSAD BD,-第 16 页所以111133721ADNABNABCABCSSSS,同理1