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1、关于最新整理 方法最全的数列求和第1页，讲稿共53张，创作于星期二知识梳理知识梳理第3页，讲稿共53张，创作于星期二一.公式法：等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式 第4页，讲稿共53张，创作于星期二 2+4+6+2n=；1+3+5+（2n-1）=；n2+n n2 第5页，讲稿共53张，创作于星期二二、错位相减法求和二、错位相减法求和例如例如 是等差数列，是等差数列，是等比数列，求是等比数列，求a1b1a2b2anbn的和的和三、分组求和三、分组求和把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比
2、数列，再求和列，再求和四、并项求和四、并项求和例如求例如求10029929829722212的和的和五、裂项相消法求和五、裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首尾若干把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首尾若干项项第6页，讲稿共53张，创作于星期二 六。倒序相加法：六。倒序相加法：如果一个数列如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求
3、和的方法称为倒序相加法法称为倒序相加法.七。归纳猜想法七。归纳猜想法：先通过归纳猜想和的表达式，再使用数学归纳法等先通过归纳猜想和的表达式，再使用数学归纳法等正面证明。正面证明。八。奇偶法八。奇偶法 通过分组，对通过分组，对n分奇偶讨论求和分奇偶讨论求和九。通项分析求和法九。通项分析求和法第7页，讲稿共53张，创作于星期二 十。十。周期转化法周期转化法 如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一个周期内各如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一个周期内各项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数列的前项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数列的前n项和进行转项和进行转化合并化合并第8页
4、，讲稿共53张，创作于星期二例例1 1：求和：求和：1 10 0看通项，是什么数列，用哪个公式；看通项，是什么数列，用哪个公式；2 20 0注意项数注意项数第9页，讲稿共53张，创作于星期二例例2 2、已知、已知求求S S解：解：第10页，讲稿共53张，创作于星期二倒序相加法倒序相加法如果一个数列如果一个数列 a an n，与首末两项等距与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），相等，为定值），可采用把正着写和可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称一个常数列的和，这一求和的
5、方法称为倒序相加法为倒序相加法.类型类型a1 1+an n=a2 2+an-1n-1=a3 3+an-2n-2=第11页，讲稿共53张，创作于星期二变式探究变式探究第12页，讲稿共53张，创作于星期二 已知数列已知数列1,3a,5a2，(2n1)an1(a0)，求其前求其前n项和项和例例3.第13页，讲稿共53张，创作于星期二错位相减法：错位相减法：如果一个数列的各项是由一如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法可采用错位相减法.既既an nbn n型型等差等差等比等比第16页，讲稿共53张，创作于
6、星期二 2.设数列设数列 满足满足a13a232a33n1an ，aN*.(1)求数列求数列 的通项；的通项；(2)设设bn ，求数列，求数列 的前的前n项和项和Sn.变式探究变式探究第17页，讲稿共53张，创作于星期二设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，点，点(n，)(n N*)均在函数均在函数y=3x-2的图象上的图象上.（1）求数列）求数列an的通项公式；的通项公式；（2），Tn是数列是数列bn的前的前n项和，求使得项和，求使得Tn 对所有对所有n N*都成立的最小正整数都成立的最小正整数m.例例4.第20页，讲稿共53张，创作于星期二 （1）依题意得）依题意得 =3n-2，即即
7、Sn=3n2-2n.当当n2时，时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5；当当n=1时，时，a1=S1=312-21=1=61-5,an=6n-5(n N*).第21页，讲稿共53张，创作于星期二 （2）由）由(1)得得bn=故故Tn=b1+b2+bn 因此，使得因此，使得 (n N*)成立成立的的m必须满足必须满足 ,即即m10.故满足要求的最小正整数故满足要求的最小正整数m为为10.第22页，讲稿共53张，创作于星期二列项求和法：列项求和法：把把数数列列的的通通项项拆拆成成两两项项之之差差，即即数数列列的的每每一一项项都都可可按按此此法法拆拆成成两
8、两项项之之差差，在在求求和和时时一一些些正正负负项项相相互互抵抵消消，于于是是前前n n项项的的和和变变成成首首尾尾若若干干少少数数项项之之和和，这这一一求求和和方方法法称称为为分分裂裂通通项项法法.（见见到分式型的要往这种方法联想到分式型的要往这种方法联想）第23页，讲稿共53张，创作于星期二1特别是对于特别是对于 ，其中，其中 是各项均不为是各项均不为0的等差数列，通常用裂项的等差数列，通常用裂项相消法，即利用相消法，即利用 (其中其中dan1an)第24页，讲稿共53张，创作于星期二常见的拆项公式有：常见的拆项公式有：第25页，讲稿共53张，创作于星期二常见的裂项公式有：常见的裂项公式有
9、：7nn！=（n+1）！）！-n！；！；89第26页，讲稿共53张，创作于星期二 【分析分析分析分析】所给数列为倒数构成的数列所给数列为倒数构成的数列,故应研究通项故应研究通项,看能否拆为两项之差的形式看能否拆为两项之差的形式,以便使用裂项相消法以便使用裂项相消法.【解析解析解析解析】求数列求数列 ,的前的前n项和项和.变式探究：变式探究：第27页，讲稿共53张，创作于星期二例例5.求下面数列的前求下面数列的前n项和项和 第28页，讲稿共53张，创作于星期二解（解（1）：该数列的通项公式为）：该数列的通项公式为 第29页，讲稿共53张，创作于星期二 cn=an+bn(an、bn为等差或等比数列
10、。）为等差或等比数列。）项的特征项的特征反思与小结：反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差要善于从通项公式中看本质：一个等差 n n 一个等比一个等比22n n ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.分组求和法分组求和法第30页，讲稿共53张，创作于星期二 ,+n 1练习练习1.求数列求数列 +2 3 ,+的前的前n项和项和。,2 2 2 ,3 2 n 2 +1 2 3 n 解：解：=(1+2+3+n)Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+(+
11、)2 2 3 2 2 +(2+2 +2 +2 )n23=n(n+1)22(2 -1)2-1n+=n(n+1)2+2 -2n+1分组求和法分组求和法第31页，讲稿共53张，创作于星期二例例6 6：1-21-22 2+3+32 2-4-42 2+(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2=？局部重组转化为常见数列局部重组转化为常见数列并项求和并项求和第33页，讲稿共53张，创作于星期二练习：练习：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+(-1)=-1+3-5+7+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1)1)求求S S2020,S,S21212)2)求求S Sn nS2020=
12、-1+3+(-5)+7+（-37）+39S2121=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=20=-21第34页，讲稿共53张，创作于星期二例例7 7：已知数列：已知数列5 5，5555，555555，55555555，求满足前求满足前4 4项条件项条件的数列的通项公式及前的数列的通项公式及前n n项和公式。项和公式。练习：求和练习：求和S Sn n=1+(1+2)+(1+2+2=1+(1+2)+(1+2+22 2)+(1+2+2)+(1+2+22 2+2+23 3)+)+(+(1+2+21+2+22 2+2+2n-1n-1)通项分析求和通项分析求和通项通项=2n n-1-1
13、第35页，讲稿共53张，创作于星期二先求通项先求通项再处理通项再处理通项第36页，讲稿共53张，创作于星期二第37页，讲稿共53张，创作于星期二第38页，讲稿共53张，创作于星期二(2)数列数列an中中，an2n(1)n，求求Sn.第39页，讲稿共53张，创作于星期二第41页，讲稿共53张，创作于星期二练习：练习：第42页，讲稿共53张，创作于星期二变式探究变式探究1已知等差数列已知等差数列 的首项为的首项为1，前，前10项的和为项的和为145，求，求a2a4.解析解析：首先由首先由S1010a1 145d3，则则ana1(n1)d3n2a2n32n2，a2a4a2n3(2222n)2n3 2
14、n32n12n6.第43页，讲稿共53张，创作于星期二2求数列求数列1,3 ，32 ，3n 的各项的和的各项的和第44页，讲稿共53张，创作于星期二3.在等差数列在等差数列 中，中，a13，d2，Sn是其前是其前n项的和，求：项的和，求：S .第45页，讲稿共53张，创作于星期二4.(2010年广州一模年广州一模)已知数列已知数列an满足对任意的满足对任意的nN*，都有，都有an0，且，且 (a1a2an)2.(1)求求a1，a2的值；的值；(2)求数列求数列an的通项公式的通项公式an；(3)设数列设数列 的前的前n项和为项和为Sn，不等式，不等式Sn loga(1a)对任意的正整数对任意的
15、正整数n恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围第47页，讲稿共53张，创作于星期二第51页，讲稿共53张，创作于星期二1 1要求数列的前要求数列的前n n项和，关键是抽取出其通项来加以分析，项和，关键是抽取出其通项来加以分析，根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法2 2等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决3 3数列求和是数列的一个重要内容，其实质是将多项式数列求和是数列的一个重要内容，其实质是将多项式化简，等差、等比数列及可以转化为等差、等比数列的求和问化简，等差、等比数列及可以转化为等差、等比数列的求和问题应掌握，还应掌握一些特殊数列的求和题应掌握，还应掌握一些特殊数列的求和第52页，讲稿共53张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第53页，讲稿共53张，创作于星期二