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1、-第 1 页八年级数学上册八年级数学上册几何添辅助线专几何添辅助线专题题-第 2 页全等三角形问题中常见的辅助线的作法全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案有答案)总论总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等构造二条边之间的相等，构造二个角之构造二个角之间的相等间的相等【三角形三角形辅助线做法】辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。
2、三角形中有中线，延长中线等中线。1.1.等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”法：法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.2.倍长中线：倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.3.角平分线在三种添辅助线角平分线在三种添辅助线4.4.垂直平分线联结线段两端垂直平分线联结线段两端5.5.用用“截长法截长法”或或“补短法补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.6.图形补全法：图形补全法：有一个角为有一个角为 6060 度或度或 120120 度的把该角添线后构成等边三角形度的把该角添线后构成等边
3、三角形7.7.角度数为角度数为 3030、6060 度的作垂线法：度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为遇到三角形中的一个角为 3030 度或度或 6060 度，可度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-9030-60-90 的特殊直角三角形，然后计的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。角形创造边、角之间的相等条件。8.8.计算数值法计算数值法：遇到等腰直
4、角三角形遇到等腰直角三角形，正方形时正方形时，或或 30-60-9030-60-90 的特殊直角三角形的特殊直角三角形，或或40-60-8040-60-80 的特殊直角三角形的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等构造二条边之间的相等，二个二个角之间的相等。角之间的相等
5、。1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形构造全等三角形2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向
6、角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等一、倍长中线（线段）造全等例
7、 1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.解：延长 AD 至 E 使 AE2AD，连 BE，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE故 AD 的取值范围是 1AD4例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.-第 3 页 E D C B A D C B A P Q C B A解：(倍长中线倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长 FD 至 G 使 FG2EF，连 BG，EG,显然 BGFC，在EFG 中，注意到 DEDF，由等腰三角形的三线合一知EGEF在BEG 中
8、，由三角形性质知EGBG+BE故：EFBE+FC例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.解：延长 AE 至 G 使 AG2AE，连 BG，DG,显然 DGAC，GDC=ACD由于 DC=AC，故ADC=DAC在ADB 与ADG 中，BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG，故有BAD=DAG，即 AD 平分BAE二、截长补短二、截长补短1、如图，ABC中，AB=2AC，AD 平分BAC，且 AD=BD，求证：CDAC解：（截长法）在 AB 上取中点 F，连 FDADB 是等腰三角形，F 是底 AB 中
9、点，由三线合一知DFAB，故AFD90ADFADC（SAS）ACDAFD90即：CDAC2、如图，ADBC，EA,EB 分别平分DAB,CBA，CD 过点 E，求证;ABAD+BC解：（截长法）在 AB 上取点 F，使 AFAD，连 FEADEAFE（SAS）ADEAFE，ADE+BCE180AFE+BFE180故ECBEFBFBECBE（AAS）故有 BFBC从而;ABAD+BC3、如图，已知在ABC 内，060BAC，040C，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法,计算数值法）延长 AB 至 D，使 BD
10、BP，连 DP在等腰BPD 中，可得BDP40从而BDP40ACPADPACP（ASA）故 ADAC又QBC40QCB故 BQQCBDBP从而 BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分ABC，求证：0180CA解：（补短法）延长 BA 至 F，使 BFBC，连 FDBDFBDC（SAS）故DFBDCB，FDDC又 ADCD故在等腰BFD 中-第 4 页 O E D C B ADFBDAF故有BAD+BCD1805、如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PC解：（补短法）延长 AC 至 F，使 AFAB，连
11、 PDABPAFP（SAS）故 BPPF由三角形性质知PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如图，在ABC 的边上取两点 D、E，且 BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN.BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全
12、等四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD，DC+AE=AC证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60 度,则BAC+BCA=120 度;AD,CE 均为角平分线,则OAC+OCA=60 度=AOE=COD;AOC=120 度.在 AC 上截取线段 AF=AE,连接 OF.又 AO=AO;OAE=OAFDEACBDEACBF-第 5 页.则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;AOF=AOE=60 度.则COF=AOC-AOF=60 度=COD;又 CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(S
13、AS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长.解：解：(垂直平分线联结线段两端)连接连接 BDBD，DCDCDG 垂直平分 BC，故 BDDC由于 AD 平分BAC，DEAB 于 E，DFAC 于 F，故有EDDF故 RTDBERTDFC（HL）故有故有 BEBECFCF。AB+ACAB+AC2AE2AEAEAE（a+ba+b）/2/2BE=(a-b)/2BE=(a-b)/2应用：应用
14、：1、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：（1）FE 与 FD 之间的数量关系为FDFE（2）答：（1）中的结论FDFE 仍然成立。证法一：证法一：如图 1，在 AC 上截取
15、AEAG，连结 FG21，AF 为公共边，AFGAFE，FGFE 60B，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线43及 FC 为公共边证法二：证法二：如图 2，过点 F 分别作ABFG 于点 G，BCFH 于点 H60B，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线可得6032，F 是ABC的内心又1BHDF可证DHFEGF有等腰三角形时常用的辅助线有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB=AC，BDAC 于 D，求证：BAC=2DBC证明：（方法一）作BAC 的平分线 AE，交 BC 于 E，则1=2=12BAC又AB=
16、ACAEBC2ACB=90oBDACDBCACB=90o2=DBCBAC=2DBC（方法二）过 A 作 AEBC 于 E（过程略）（方法三）取 BC 中点 E，连结 AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：DE=DF证明：连结 AD.D 为 BC 中点，BD=CD又AB=ACAD 平分BACDEAB，DFACDE=DF?2?1?E?D?C?B?A?F?E?D?C?B?A E D G F C B A(第 23 题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图FBEACD图
17、12143GFBEACD图 22143HG-第 6 页将腰延长一倍，构造直角三角形解题将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC 中，AB=AC，在 BA 延长线和 AC 上各取一点 E、F，使 AE=AF，求证：EFBC证明：延长 BE 到 N，使 AN=AB,连结 CN,则 AB=AN=ACB=ACB,ACN=ANCBACBACNANC=180o2BCA2ACN=180oBCAACN=90o即BCN=90oNCBCAE=AFAEF=AFE又BAC=AEF AFEBAC=ACN ANCBAC=2AEF=2ANCAEF=ANCEFNCEFBC常过一腰上的某一已知点做另常过一腰上的某
18、一已知点做另一腰的平行线一腰的平行线例：已知，如图，在ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E在 AC 延长线上，且 BD=CE，连结 DE 交 BC 于 F求证：DF=EF证明：（证法一）过 D 作 DNAE，交 BC 于 N，则DNB=ACB，NDE=E，AB=AC，B=ACBB=DNBBD=DN又BD=CEDN=EC在DNF 和ECF 中1=2NDF=EDN=ECDNFECFDF=EF（证法二）过 E 作 EMAB 交 BC 延长线于 M,则EMB=B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC 中，AB=AC，E 在 AC 上
19、，D 在BA 延长线上，且 AD=AE，连结 DE求证：DEBC证明：（证法一）过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，则AFE=BAEF=CAB=ACB=CAFE=AEFAD=AEAED=ADE又AFEAEFAEDADE=180o2AEF2AED=90o即FED=90oDEFE又EFBCDEBC（证法二）过点 D 作 DNBC 交 CA 的延长线于 N，（过程略）（证法三）过点 A 作 AMBC 交 DE 于 M，（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形等边三角形例：已知，如图，ABC 中，AB=AC，BAC=80o,P 为形内一点，若
20、PBC=10oPCB=30o求PAB 的度数.解法一：以 AB 为一边作等边三角形，连结 CE则BAE=ABE=60oAE=AB=BEAB=ACAE=ACABC=ACBAEC=ACEEAC=BACBAE?N?F?E?C?B?A?2?1?N?F?E?D?C?B?A?2?1?M?F?E?D?C?B?A?N?M?F?E?D?C?B?A?P?E?C?B?A-第 7 页=80o60o=20oACE=12(180oEAC)=80 ACB=12(180o BAC)=50oBCE=ACEACB=80o50o=30oPCB=30oPCB=BCEABC=ACB=50o,ABE=60oEBC=ABEABC=60o5
21、0o=10oPBC=10oPBC=EBC在PBC 和EBC 中PBC=EBCBC=BCPCB=BCEPBCEBCBP=BEAB=BEAB=BPBAP=BPAABP=ABCPBC=50o10o=40oPAB=12(180oABP)=70o解法二：以 AC 为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以 BC 为一边作等边三角形BCE，连结 AE,则EB=EC=BC，BEC=EBC=60oEB=ECE 在 BC 的中垂线上同理 A 在 BC 的中垂线上EA 所在的直线是 BC 的中垂线EABCAEB=12BEC=30o=PCB由解法一知：ABC=50oABE=EBCABC=10o=PBCABE=PBC,
22、BE=BC,AEB=PCBABEPBCAB=BPBAP=BPAABP=ABCPBC=50o10o=40oPAB=12(180oABP)=12(180o40o)=70o1.如图，求ABCDE 的度数。解：连结 CDECDBDC=BE=180BOE=180CODABACEADBE=AECDBDCACEADB=A（ECDACE）（BDCADB）=AACDADC=1802.如图，已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE交 AC 于 F。求证：AF=EF。解：延长 AD 至 G，使 DG=AD，连结 BGBD=DC，BDG=ADCBGDCADBG=A
23、C=BE，G=CADG=BEG=AEFAEF=CADAF=EF3.已知 E 是正方形 ABCD 边 CD 上的中点，点 F 在 BC 上，且DAE=FAE。求证：AF=ADCF。解：过 E 作 EGAF 于 GD=90，AGE=90AE 平分DAFED=EGED=ECEG=ECEGF=C=90EF=EFEGFECF（HL）GF=FCED=EG，AE=AE，D=AGE=90ADEAGE（HL）AD=AGAF=AGGF=ADFC即 AF=ADFC4.已知：在ABC 中，BAC=90，AB=AC，BE 平分ABC，CEBE。?P?E?C?B?A-第 8 页求证：CE=12BD。证明：延长 BA 交 CE 的延长线于 FBE 平分ABC，CEBECE=12CF又AB=AC，BAC=CAF=90ACF=ABD=90FACFABDCF=BDCE=12CFBD