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全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)
总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等
【三角形辅助线做法】
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题
2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形
3.角平分线在三种添辅助线
4.垂直平分线联结线段两端
5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，
6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形
7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．
3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答
一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知
AB-BE <2AD
BF=BA+AF=BA+AC
从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA
例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.
证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.
∵BD=CE,
∴DM=EM,
∴△DMN≌△EMA(SAS),
∴DN=AE,
同理BN=CA.
延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,
相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,
各减去DP,得BN+AB>DN+AD,
∴AB+AC>AD+AE。
四、借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC中，∠B=60，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE =AC
证明L(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度,
则∠BAC+∠BCA=120度;
AD,CE均为角平分线,
则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;
∠AOC=120度.
在AC上截取线段AF=AE,连接OF.
又AO=AO;∠OAE=∠OAF
.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),
OE=OF;AE=AF;
∠AOF=∠AOE=60度.
则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;
又CO=CO;∠OCD=∠OCF.
故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),
OD=OF;CD=CF.
OE=OD
DC+AE=CF+AF=AC.
2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.
解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DC
DG垂直平分BC，故BD＝DC
由于AD平分∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有
ED＝DF
故RT△DBE≌RT△DFC（HL）
故有BE＝CF。
AB+AC＝2AE
AE＝（a+b）/2
BE=(a-b)/2
应用：
1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
解：（1）FE与FD之间的数量关系为
（2）答：（1）中的结论仍然成立。
证法一：如图1，在AC上截取，连结FG
∵，AF为公共边，
∴
F
B
E
A
C
D
图 1
2
1
4
3
G
∴，
∵，AD、CE分别是、的平分线
∴
∴
∴
∵及FC为公共边
∴
∴
∴
证法二：如图2，过点F分别作于点G，于点H
F
B
E
A
C
D
图 2
2
1
4
3
H
G
∵，AD、CE分别是、的平分线
∴可得，F是的内心
∴，
又∵
∴
∴可证
∴
有等腰三角形时常用的辅助线
⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线
例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，
求证：∠BAC = 2∠DBC
证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 = ∠BAC
又∵AB = AC
∴AE⊥BC
∴∠2＋∠ACB = 90o
∵BD⊥AC
∴∠DBC＋∠ACB = 90o
∴∠2 = ∠DBC
∴∠BAC = 2∠DBC
（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）
（方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）
⑵有底边中点时，常作底边中线
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：DE = DF
证明：连结AD.
∵D为BC中点，
∴BD = CD
又∵AB =AC
∴AD平分∠BAC
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE = DF
⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，
求证：EF⊥BC
证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC
∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC
∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180o
∴2∠BCA＋2∠ACN = 180o
∴∠BCA＋∠ACN = 90o
即∠BCN = 90o
∴NC⊥BC
∵AE = AF
∴∠AEF = ∠AFE
又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE
∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC
∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC
∴∠AEF = ∠ANC
∴EF∥NC
∴EF⊥BC
⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线
例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F
求证：DF = EF
证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，
∠NDE = ∠E，
∵AB = AC，
∴∠B = ∠ACB
∴∠B =∠DNB
∴BD = DN
又∵BD = CE
∴DN = EC
在△DNF和△ECF中
∠1 = ∠2
∠NDF =∠E
DN = EC
∴△DNF≌△ECF
∴DF = EF
（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略）
⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线
例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE，连结DE
求证：DE⊥BC
证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则
∠AFE =∠B
∠AEF =∠C
∵AB = AC
∴∠B =∠C
∴∠AFE =∠AEF
∵AD = AE
∴∠AED =∠ADE
又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o
∴2∠AEF＋2∠AED = 90o
即∠FED = 90o
∴DE⊥FE
又∵EF∥BC
∴DE⊥BC
（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略）
（证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略）
⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB的度数.
解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE
则∠BAE =∠ABE = 60o
AE = AB = BE
∵AB = AC
∴AE = AC ∠ABC =∠ACB
∴∠AEC =∠ACE
∵∠EAC =∠BAC－∠BAE
= 80o －60o = 20o
∴∠ACE = (180o－∠EAC)= 80∵∠ACB= (180o－∠BAC)= 50o
∴∠BCE =∠ACE－∠ACB
= 80o－50o = 30o
∵∠PCB = 30o
∴∠PCB = ∠BCE
∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o
∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o
∵∠PBC = 10o
∴∠PBC = ∠EBC
在△PBC和△EBC中
∠PBC = ∠EBC
BC = BC
∠PCB = ∠BCE
∴△PBC≌△EBC
∴BP = BE
∵AB = BE
∴AB = BP
∴∠BAP =∠BPA
∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o
∴∠PAB = (180o－∠ABP)= 70o
解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。
解法三：以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则
EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o
∵EB = EC
∴E在BC的中垂线上
同理A在BC的中垂线上
∴EA所在的直线是BC的中垂线
∴EA⊥BC
∠AEB = ∠BEC = 30o =∠PCB
由解法一知：∠ABC = 50o
∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10o =∠PBC
∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB
∴△ABE≌△PBC
∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA
∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o
∴∠PAB = (180o－∠ABP) = (180o－40o)= 70o
1. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数。
解：连结CD
∵∠ECD＋∠BDC=∠B＋∠E
=180－∠BOE=180－∠COD
∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E
=∠A＋∠ECD＋∠BDC＋∠ACE＋∠ADB
=∠A＋（∠ECD＋∠ACE）＋（∠BDC＋∠ADB）
=∠A＋∠ACD＋∠ADC
=180
2. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。求证：AF=EF。
解： 延长AD至G，使DG=AD，连结BG
∵BD=DC，∠BDG=∠ADC
∴△BGD≌△CAD
∴BG=AC=BE，∠G=∠CAD
∴∠G=∠BEG=∠AEF
∴∠AEF=∠CAD ∴AF=EF
3. 已知E是正方形ABCD边CD上的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE。
求证：AF=AD＋CF。
解：过E作EG⊥AF于G
∵∠D=90，∠AGE=90
AE平分∠DAF ∴ED=EG
∵ED=EC ∴EG=EC
∵∠EGF=∠C=90 EF=EF
∴△EGF≌△ECF（HL） ∴GF=FC
∵ED=EG，AE=AE，∠D=∠AGE=90
∴△ADE≌△AGE（HL） ∴AD=AG
∴AF=AG＋GF=AD＋FC
即AF=AD＋FC
4. 已知：在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE。
求证：CE=。
证明：延长BA交CE的延长线于F
∵BE平分∠ABC，CE⊥BE
∴CE=
又∵AB=AC，∠BAC=∠CAF=90
∠ACF=∠ABD=90－∠F
∴△ACF≌△ABD ∴CF=BD
∴CE=BD