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1、逻辑代数的基础知识1第1页，此课件共105页哦 数字逻辑电路是计算机科学与技术、信息工程、数字逻辑电路是计算机科学与技术、信息工程、网络工程各专业的一门重要专业基础必修课。主要网络工程各专业的一门重要专业基础必修课。主要研究数字电路与逻辑设计的理论与方法。研究数字电路与逻辑设计的理论与方法。数字逻辑电路是计算机组成原理、计算机系统结数字逻辑电路是计算机组成原理、计算机系统结构、微型机与接口、单片机原理及其应用、数字系构、微型机与接口、单片机原理及其应用、数字系统设计自动化等课程的基础，对理解计算机的工作统设计自动化等课程的基础，对理解计算机的工作原理有十分重要的作用。它的主要内容包括逻辑代原理
2、有十分重要的作用。它的主要内容包括逻辑代数基础、集成门电路、组合逻辑电路、触发器、时数基础、集成门电路、组合逻辑电路、触发器、时序逻辑电路、脉冲产生电路、模数与数模电路等。序逻辑电路、脉冲产生电路、模数与数模电路等。数字逻辑电路是重要的专业基础数字逻辑电路是重要的专业基础2第2页，此课件共105页哦第1章 逻辑代数的基础知识 8学时第2章 门电路 12学时第3章 组合逻辑电路 12学时第4章 触发器8学时第5章 时序逻辑电路 8学时第6章 脉冲产生与整形电路 8学时第7章 数模与模数转换电路 4学时复习及小测验4学时教学计划教学计划3第3页，此课件共105页哦 教材：教材：数字电子技术基础简明
3、教程数字电子技术基础简明教程(第三版第三版)余孟余孟尝主编尝主编 高等教育出版社高等教育出版社 20062006年年 参考书：参考书：数字逻辑数字逻辑(第二版第二版)欧阳星明主编欧阳星明主编 华中华中科技大学出版社科技大学出版社 20052005年年 数字逻辑电路数字逻辑电路 魏达、高强、金玉善、曹英魏达、高强、金玉善、曹英晖编著晖编著 科学出版社科学出版社 20052005年年 电子技术基础：数字部分电子技术基础：数字部分(第四版第四版)康华光康华光主编主编 高等教育出版社高等教育出版社 20002000年年教材及参考书教材及参考书4第4页，此课件共105页哦 按时上课，认真听讲，师生互动，
4、培养能力。课后及时认真复习，独立完成作业。每周一交上周的作业，按学号顺序排好。平时多努力，基础打扎实，考出好成绩，用时不费力。要求要求5第5页，此课件共105页哦第第1 1章章 逻辑代数的基础知识逻辑代数的基础知识 6第6页，此课件共105页哦第第1 1章章 逻辑代数的基础知识逻辑代数的基础知识概述概述1.1 1.1 逻辑代数的基本概念、公式和定理逻辑代数的基本概念、公式和定理1.2 1.2 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 1.3 1.3 逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换7第7页，此课件共105页哦 模拟信号：在时间和幅值上均是连续变化的信号，即时
5、模拟信号：在时间和幅值上均是连续变化的信号，即时间上的连续，量上的连续的信号。如水位，电压，电流，间上的连续，量上的连续的信号。如水位，电压，电流，温度，亮度，颜色等。温度，亮度，颜色等。在自然环境下，大多数物理信号都是在自然环境下，大多数物理信号都是模拟量。如温度是一个模拟量，某一天的温度在不同时间的模拟量。如温度是一个模拟量，某一天的温度在不同时间的变化情况就是一条光滑、连续的曲线：变化情况就是一条光滑、连续的曲线：概述概述一、一、数字信号和模拟信号数字信号和模拟信号8第8页，此课件共105页哦 数字信号：在时间和幅值上都是数字信号：在时间和幅值上都是离散取值的物理量。离散取值的物理量。即
6、时即时间上的离散，量上的离散的信号。如数值，开关位置，数字间上的离散，量上的离散的信号。如数值，开关位置，数字逻辑等。逻辑等。用逻辑用逻辑1 1和和0 0表示的数字信号波形如下图所示：表示的数字信号波形如下图所示：模拟世界A/D数字处理 和存储系统D/A 可以把模拟信号变成数字信号，其方法是对模拟信号进行采可以把模拟信号变成数字信号，其方法是对模拟信号进行采样，并用数字代码表示后的信号即为数字信号。样，并用数字代码表示后的信号即为数字信号。当数字系统要当数字系统要与模拟信号发生联系时，必须经过模与模拟信号发生联系时，必须经过模-数和数数和数-模转换电路对信模转换电路对信号类型进行转换。号类型进
7、行转换。9第9页，此课件共105页哦模拟电路主要研究：模拟电路主要研究：输入、输出信号间的大小、相位输入、输出信号间的大小、相位关系、失真与否。模拟电路包括交直流放大器、关系、失真与否。模拟电路包括交直流放大器、滤波器、信号发生器等。滤波器、信号发生器等。在模拟电路中，晶体管一般工作在放大状态；在数字在模拟电路中，晶体管一般工作在放大状态；在数字电路中，三极管工作在开关状态，即工作在饱和和截电路中，三极管工作在开关状态，即工作在饱和和截止状态。止状态。数字电路主要研究：数字电路主要研究：电路输出、输入间的逻辑关系。主电路输出、输入间的逻辑关系。主要的工具是逻辑代数，电路的功能用真值表、逻要的工
8、具是逻辑代数，电路的功能用真值表、逻辑表达式及波形图表示。辑表达式及波形图表示。模拟电路与数字电路比较模拟电路与数字电路比较1.电路的特点电路的特点2.研究的内容研究的内容10第10页，此课件共105页哦二、二、逻辑代数逻辑代数 1847年，英国数学家乔治布尔（George Boole）首先提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法，被称为布尔代数。后来，由于布尔代数被广泛应用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析和设计上，所以也把布尔代数叫做开关代数或逻辑代数。逻辑代数也是用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。和普通代数不同的是，逻辑变量只有两种取值，即0和1。在逻辑代数中，1和0已不再表示数量的大小
9、，而是表示两种对立的逻辑状态，即命题的真和假、信号的有和无、电平的高和低、开关的闭合和断开等。在客观世界中，事物发展变化所遵循的因果关系，一般称为逻辑关系，反映和处理这种关系的数学工具，就是逻辑代数。11第11页，此课件共105页哦 1、进位计数制 进位计数制的基本因素：基数和位权。基数是指计数制中所有到的数字符号的个数。在基数为R的计数制中，包含0、1、R1共R个数字符号，进位规律是“逢R进一、借一当R”，称为R进位计数制。位权是指在一种进位计数制表示的数中，用来表明不同数位上数值大小的一个固定常数。不同数位有不同的位权，某一个数位的数值等于这一位的数字符号乘上与该位对应的位权。三、三、二进
10、制数表示法二进制数表示法12第12页，此课件共105页哦数字符号为：数字符号为：0 09 9；基数是；基数是1010。运算规律：逢十进一，借一当十，即：运算规律：逢十进一，借一当十，即：9 91 11010，10109 91 1。十进制数的权展开式：十进制数的权展开式：103、102、101、100称为十进制的权。各数位的权是10的幂。同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。即：(5555)105103 510251015100又如：(209.04)10 2102 0101910001014 1022 2、十进制数
11、十进制数13第13页，此课件共105页哦3、二进制数、二进制数数字符号为：数字符号为：0 0、1 1；基数是；基数是2 2。运算规律：逢二进一，借一当二，即：运算规律：逢二进一，借一当二，即：1 11 11010，10101 11 1。二进制数的权展开式：如：二进制数的权展开式：如：(101.01)(101.01)2 2 12122 202021 112120 002021 112122 2(5.25)(5.25)1010加法规则：000，011，101，1110减法规则：000，011，101，110乘法规则：000，010，100，111除法规则：010，111运算运算规则规则各数位的权是
12、的幂各数位的权是的幂 二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。14第14页，此课件共105页哦4 4、八进制数、八进制数数字符号为：数字符号为：0 07 7；基数是；基数是8 8。运算规律：逢八进一，借一当八，即：运算规律：逢八进一，借一当八，即：7 71 11010，10101 17 7。八进制数的权展开式：如：八进制数的权展开式：如：(65.2)(65.2)8 8 68681 158580 028281 1(53.25)(53.25)1010各数位的权是8的幂5 5、十六进制数、十六进制数数字符号为：数字符号为：0 09 9、
13、A AF F；基数是；基数是1616。运算规律：逢十六进一，借一当十六，即：运算规律：逢十六进一，借一当十六，即：F F1 11010，10101 1F F。十六进制数的权展开式：如：十六进制数的权展开式：如：(D8.A)(D8.A)16 16 131613161 18168160 0101610161 1(216.625)(216.625)1010各数位的权是16的幂15第15页，此课件共105页哦 十进制的缺点：十进制的缺点：若在数字电路中采用十进制，若在数字电路中采用十进制，必须要有十个电路状态与十个记数码相对应。必须要有十个电路状态与十个记数码相对应。这样将在技术上带来许多困难，而且很
14、不经济。这样将在技术上带来许多困难，而且很不经济。二进制的优点：二进制的优点：电路中任何具有的两个不同稳电路中任何具有的两个不同稳定状态的元件都可用来表示一位二进制数，数码的定状态的元件都可用来表示一位二进制数，数码的存储和传输简单、可靠。存储和传输简单、可靠。二进制的缺点：二进制的缺点：位数较多，不便于读数；不合位数较多，不便于读数；不合人们的习惯，输入时将十进制转换成二进制，运算人们的习惯，输入时将十进制转换成二进制，运算结果输出时再转换成十进制数。结果输出时再转换成十进制数。16第16页，此课件共105页哦1、非十进制数转换成十进制数：按权相加法二进制数转换：二进制数转换：八进制数转换：
15、八进制数转换：(1010.1)2=123022121020121(10.5)10十六进制转换：十六进制转换：把各个非十进制数按权展开求和即可。把各个非十进制数按权展开求和即可。(406.1)8482081680181(262.125)10(2AE.4)16216210161141604161(686.25)10四、几种常用进制数之间的转换四、几种常用进制数之间的转换17第17页，此课件共105页哦2、十进制数转换成二进制数：十进制数转换成二进制数时，将整数部分和小数部分分别进行转换。整数部分采用除2取余法转换，小数部分采用乘2取整法转换。转换后再合并。除2取余法：将十进制整数N除以2，取余数记
16、为K0；再将所得商除以2，取余数记为K1依此类推，直至商为0，取余数记为Kn1为止。即可得到与N对应的n位二进制整数Kn1 K1 K0。乘2取整法：将十进制小数N乘以2，取整数部分记为K1；再将其小数部分乘以2，取整数部分记为K2 ；依此类推，直至其小数部分为0或达到规定的精度要求，取整数部分记为Km为止。即可得到与N对应的m位二进制小数0K1 K2 Km。18第18页，此课件共105页哦整数部分采用除2取余法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。小数部分采用乘2取整法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。所以：(44.375)10(101100.011)219第19页，此课件共105
17、页哦 十进制数转换成二进制数的另一种方法是降幂比较法。如果熟记20210的数值是11024，2124的数值是0.50.0625，那么用降幂比较法，便可很容易地获得一个十进制数的二进制数转换值。例如（153.375）10（10011001.011）2 153.375）128 27 25.375）16 24 9.375）8 23 1.375）1 20 0.375）0.25 22 0.125）0.125 23 028256153.37527128253225.3752416 24169.375238 2121.375201 210.50.375220.25 220.250.125230.125 20
18、第20页，此课件共105页哦 八进制数转换成二进制数时，只需将每位八进制数用3位二进制数表示。例：(56.7)8(101110.111)23、二进制数与八进制数之间的转换：、二进制数与八进制数之间的转换：二进制数转换成八进制数时，以小数点为界，分别往高、往低每3位为一组，最后不足3位用0补充，然后写出每组对应的八进制数字符，即为相应八进制数。直接对应法例：(1110011.1011)2(001 110 011.101 100)2 （163.54）821第21页，此课件共105页哦 十六进制数转换成二进制数时，只需将每位十六进制数用4位二进制数表示。例：(111010100.011)2(0001
19、 1101 0100.0110)2 (1D4.6)16例：(AF4.76)16(1010 1111 0100.0111 0110)24、二进制数与十六进制数之间的转换：、二进制数与十六进制数之间的转换：二进制数转换成十六进制数，以小数点为界，分别往高、往低每4位为一组，最后不足4位用0补充，然后写出每组对应的十六进制数字符即可。直接对应法22第22页，此课件共105页哦五、二进制代码五、二进制代码 用二进制数表示文字、符号等信息的过程就叫用二进制数表示文字、符号等信息的过程就叫二进制编码二进制编码。用来进行编码之后的二进制数称为用来进行编码之后的二进制数称为二进制代码二进制代码。由于人们生活中
20、习惯采用的是十进制，而数字电路便于采用的由于人们生活中习惯采用的是十进制，而数字电路便于采用的是二进制，这自然就提出了如何用二进制编码来表示是二进制，这自然就提出了如何用二进制编码来表示十进制数的十进制数的问题，即问题，即二二十进制编码十进制编码的问题。的问题。数字系统有一种数值数据的表示方法：每一位十进制数用数字系统有一种数值数据的表示方法：每一位十进制数用4 4位位二进制代码表示，称为二进制编码的十进制数二进制代码表示，称为二进制编码的十进制数BCDBCD码码（Binary Coded DecimalBinary Coded Decimal），或称二），或称二十进制编码。它既十进制编码。它
21、既有二进制数的形式，又有十进制数的特点，便于传递、处理。有二进制数的形式，又有十进制数的特点，便于传递、处理。23第23页，此课件共105页哦 最常用的BCD码是8421BCD码，它与十进制数字符号对应的编码如下表所示。8 4 2 1位权0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 10123456789B3 B2 B1 B08421BCD码十进制数字24第24页，此课件共105页哦1.1 1.1 逻辑代数的基本概念、公式和定理逻辑代数的基本概念、公式和定理1.1.1 1.1.1 基本和常用逻辑运算基本
22、和常用逻辑运算一、三种基本逻辑运算一、三种基本逻辑运算 定义：当决定一个事情的各个条件全部具备时，这件事情才会发生，这样的因果关系称为与逻辑关系。1、与运算（逻辑乘）+VABY 如图开关A，B串联控制灯泡Y。开关A，B都断开，灯泡Y不亮；开关A断开，开关B闭合，灯泡Y不亮；开关A闭合，开关B断开，灯泡Y不亮；开关A，B都闭合，灯泡Y亮。25第25页，此课件共105页哦功能表功能表 开关开关A，B串联控制灯泡串联控制灯泡Y的功能表如左下图。的功能表如左下图。将开关闭合记作将开关闭合记作1 1，断开记作，断开记作0 0；灯亮记作；灯亮记作1 1，灯灭记作，灯灭记作0 0。可以作出称之为真值表的右下
23、表来描述与逻辑关系。可以作出称之为真值表的右下表来描述与逻辑关系。真值表真值表两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为：两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为：灭灭灭亮断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灯泡Y开关A 开关B00010 00 11 01 1YA B26第26页，此课件共105页哦 实现与逻辑关系的电路称为与门。与门的逻辑符号如左下图所示。“&”是and的花写，表示“与”的意思。逻辑与（逻辑乘）的运算规则为：有0出0全1为127第27页，此课件共105页哦 定义：决定某一件事情的各个条件中，只要有一个或一个以上的条件具备，这件事情就会发生，这样的因果关系称为或逻辑关系。或逻
24、辑关系用或运算（逻辑加）描述。两变量或逻辑关系式为：YAB。该逻辑关系可用称之为真值表右下表描述。实现或逻辑关系的电路称为或门。或门的逻辑符号如左下图所示。“1”的意思是：当输入逻辑变量A、B为1的个数大于等于1个时，输出Y为1。2、或运算（逻辑加）A BY0 00 11 01 10111ABY 128第28页，此课件共105页哦 例如，开关A和B并联控制灯F。可以看出，当开关A、B中有一个闭合或两个均闭合时，灯Y亮。因此，灯Y与开关A、B之间的关系是“或”逻辑关系。A+VBY逻辑或（逻辑加）的运算规则为：有1出1全0为029第29页，此课件共105页哦3、非运算（逻辑非）定义：某一事件的发生
25、取决于条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则称这种因果关系为非逻辑。非逻辑关系用非运算（逻辑非）描述。非逻辑关系式为：。该逻辑关系可用称之为真值表右下表描述。实现非逻辑关系的电路称为非门。非门的逻辑符号如左下图所示。小圆圈“”为非的符号，“1”表示输入端只有1个。AY011030第30页，此课件共105页哦 例如，开关与灯并联。显然，仅当开关断开时，灯亮。一旦开关闭合，则灯灭。因此，灯F与开关A的关系是“非”逻辑关系。逻辑非的运算规则为：+VAF31第31页，此课件共105页哦 逻辑代数中，和普通代数一样，也是用英文字母表示变量，称为逻辑变量。如果输入逻辑变量为A、B、的取值确定之
26、后，输出逻辑变量Y的值就惟一地确定了，则称Y为A、B、的逻辑函数，记为 1、逻辑变量与逻辑函数逻辑电路ABY二、逻辑变量与逻辑函数及几种常用逻辑运算二、逻辑变量与逻辑函数及几种常用逻辑运算 逻辑代数中的函数与普通代数中的函数类似，但逻辑函数具有它自身的特点：、逻辑变量和逻辑函数的取值只有0和1两种可能；、逻辑函数和变量之间的关系是由或、与、非3种基本运算决定的。32第32页，此课件共105页哦（1）与非逻辑运算 与非逻辑是由与、非两种基本逻辑复合形成的，其逻辑函数表达式为：实现与非功能的逻辑门称为与非门。与非门的逻辑符号和真值表如下图所示。YAB与非门的逻辑符号&A BY0 00 11 01
27、11110 2、复合逻辑运算 在逻辑代数中，除了与、或、非三种基本逻辑外，经常用到的还有这三种基本运算构成的复合运算。33第33页，此课件共105页哦（2）或非逻辑 或非逻辑是由或、非两种基本逻辑复合形成的，其逻辑函数表达式为：实现或非功能的逻辑门称为或非门。或非门的逻辑符号和真值表如下图所示。YAB或非门的逻辑符号1A BY0 00 11 01 1100034第34页，此课件共105页哦 与或非逻辑是由3种基本逻辑复合形成的，其逻辑函数表达式为：（3）与或非逻辑 实现与或非功能的逻辑门称为与或非门。与或非门的逻辑符号和电路结构如下图所示。ABCD&1Y与或非门的电路结构CDABY+=Y1&A
28、BCD与或非门的逻辑符号35第35页，此课件共105页哦 A 0A A 1A A A0 A A1（4）异或逻辑 根据异或逻辑的定义可知：YAB异或门的逻辑符号=1A BY0 00 11 01 1 0110 异或逻辑表达式：式中，是异或运算的运算符。逻辑功能：变量A、B取值相异，Y为1,反之为0。实现异或运算的逻辑门称为异或门。异或门的逻辑符号和真值表如下。“1”的意思是指两个输入变量A、B的状态为1的个数等于1个时，输出为1。36第36页，此课件共105页哦（5）同或逻辑 同或逻辑与异或逻辑的关系既互为相反，又互为对偶，即有YAB同或门的逻辑符号=A BY0 00 11 01 11001 A
29、BA B ABA B 同或逻辑表达式：式中，是同或运算的运算符。逻辑功能：变量A、B取值相同，Y为1,反之为0。实现同或运算的逻辑门称为同或门。同或门的逻辑符号和真值表如下。“”的意思是指两个变量的状态相等时，输出为1，不等时输出为0。37第37页，此课件共105页哦一、常量之间的关系000 101 011 1110 00 1 00 0 10 1 11 10 01三、与普通代数相似的定理交换律交换律：ABBA A BB A结合律结合律：（AB）（）分配律分配律：()A B A C ()(AB)(AC)证明：右边(AB)(AC)AAACABBCAACABBCA(1CB)BCABC左边1.1.2
30、1.1.2 公式和定理公式和定理二、变量和常量的关系0 01 1律律：A11 A0A A 00 A 1A互补律互补律：AA1 A A038第38页，此课件共105页哦还原律：AA11101110100010000 00 11 01 1ABA BA BABA B四、逻辑代数的一些特殊定理同一律：AAA，A AA德摩根定理（又称反演律）：A+B=A B，A B=A+B证明：用真值表来证明，真值表如右表。记忆：“上面砍一刀，下面变个号”。39第39页，此课件共105页哦 例如，已知等式 ，用函数YAC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：1 1、代代入入规规则则：任何一个含有变量A的逻辑
31、等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数Y代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。五、关于等式的两个重要规则五、关于等式的两个重要规则 利用代入规则可将逻辑代数公理、定理中的变量用任意函数代替，从而推导出更多的等式。例如，已知 ，用函数 代替等式中的A，可得到等式即一个函数和其反函数进行“或”运算，其结果为1。40第40页，此课件共105页哦 运用反演规则时应注意两点：不能破坏原式的运算顺序先算括号里的，然后按“先与后或”的原则运算。不是一个变量上的非号应保持不变。2 2、反反演演规规则则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表 达 式 中 的 所 有“”换 成“”，“”换 成“”，“0
32、”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数 （或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：41第41页，此课件共105页哦F(A+B)(C+D)例例1：已知FABCD，根据反演规则可得到:例例2：已知与变或时要加与变或时要加括号括号例例3：已知长非号不变长非号不变42第42页，此课件共105页哦六、若干常用公式六、若干常用公式1 1、合并律（公式、合并律（公式1414）：证明：2 2、原变量吸收律（公式、原变量吸收律（公式1515）：A+AB=A，A (A+B)=A 证明：A+AB=A(1+B)=A 1=A A (A+B)=A A+A
33、 B=A+A B=A(1+B)=A3 3、反变量吸收律（公式、反变量吸收律（公式1616）：证明：43第43页，此课件共105页哦4 4、包含律、包含律(公式公式17)17)：证明：推论：证明：该公式及推论说明，在一个与或表达式中，如果两个乘积项中，一项包含了原变量A，另一项包含了反变量A，而这两项中其余的因子(如B和C)都是第三个乘积项中的因子，则这个第三项是多余的。44第44页，此课件共105页哦5 5、公式、公式1818：证明：公式18说明，两个变量异或，其反就是它们的同或（两个变量取值相同时其值为1，故称同或），反之，两者同或的反就是它们的异或。45第45页，此课件共105页哦作业题作
34、业题P68 题题1.1 题题1.2、题题1.3、题题1.4 题题1.5 题题1.6、46第46页，此课件共105页哦1.2 1.2 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法1.2.1 1.2.1 逻辑函数的标准与或式和最简式逻辑函数的标准与或式和最简式一、标准与或表达式一、标准与或表达式 化简逻辑函数的方法有两种：一种称为公式化简法，就是用逻辑代数中的公式和定理进行化简；另一种称为图形化简法，用来进行化简的工具是卡诺图。所谓与-或表达式是指由若干与项进行或运算构成的表达式。每个与项可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以由多个原变量或者反变量相与组成。例如 、均为与项，将这3个与项相或便可构成一个
35、3变量函数的与-或表达式。即47第47页，此课件共105页哦 为了在逻辑问题的研究中使逻辑函数能和惟一的表达式对应，引入了逻辑函数表达式的标准形式。常用的有逻辑函数的标准与-或形式和标准或-与形式。标准与-或形式是由逻辑函数的最小项相或构成。定义：如果一个具有n个变量的函数的与项包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现，且仅出现一次，则这个与项被称为最小项，也叫标准与项。n个变量的最小项共有2n个。例如，3个变量A、B、C可以构成8个最小项，分别是：1 1、最小项的概念、最小项的概念 这8个乘积项共同的特点是：每个乘积项都有三个因子。每一个变量都以原变量或反变量的形式，作为一个因子
36、在乘积项中出现且仅出现一次。48第48页，此课件共105页哦 为了书写方便，常对最小项进行编号，用mi 表示，下标i的取值规则是：按照变量顺序将最大项中的原变量用1表示，反变量用0表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即下标i的值。例如最小项 可用m5 表示。3 3、最小项的性质、最小项的性质 ：、任意一个最小项mi，只有变量的一组取值使mi1，而变量取其它值时，mi0。例如，只有A1、B1、C0时，m61。、相同变量构成的两个不同最小项相与为0。即当ij时，mimj=0。例如，。2 2、最小项的编号、最小项的编号49第49页，此课件共105页哦 、n个变量的全部最小项相或为1
37、。或说全部最小项之和等于1，即mi1。例如，3变量最小项之和 、n个变量构成的最小项有n个相邻最小项。相邻最小项是指除一个变量互为相反外，其余部分均相同的最小项。例如，。例如，3变量最小项 ，其相邻项有3个：具有相邻性的两个最小项之和可以合并为一项并消去一个变量。例如：50第50页，此课件共105页哦 4、逻辑函数的标准与-或表达式 由若干最小项相或构成的逻辑表达式称为标准“与-或”表达式，也叫做最小项表达式。标准与-或表达式为：Y=mi(i=0,1,2n)例如，为3变量构成的4个最小项，对这4个最小项进行“或”运算，即可得到一个3变量函数的标准“与-或”表达式该函数表达式又可简写为51第51
38、页，此课件共105页哦例：将以下逻辑函数化成最小项之和的形式。)3,6,7()()(),(),(mBCACABABCAABCCCABCBAYBCABCBAY=+=+=+=的形式：解：展开成最小项之和解：展开成最小项之和的形式：52第52页，此课件共105页哦 逻辑函数的标准与或表达式，也可以从真值表直接得到。只要在真值表中挑选那些使函数值为1的变量取值，变量取值为1的写成原变量，为0的写成反变量，这样对应于使函数值为1的每一种取值，都可以写出一个乘积项，只要把这些乘积项加起来，所得到的就是函数的标准与或表达式。例如，逻辑函数 的真值表如右，根据真值表直接写出Y的标准与或表达式为：0010111
39、00 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1YA B C或53第53页，此课件共105页哦 一个逻辑函数的最简表达式，按照式中变量之间运算关系的不同，分为最简与或式、最简与非与非式、最简或与式、最简或非或非式、最简与或非式五种。二、逻辑函数的最简表达式二、逻辑函数的最简表达式 1 1、最简与或式、最简与或式 定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式，称为最简与或表达式。例1.2.2：显然，在函数Y的各个与或表达式中，式(1.2.2c)是最简的，因为它符合最简与或表达式的定义。54第54页，此课件共105页哦 2 2、
40、最简与非与非式、最简与非与非式 定义：非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非与非表达式，称为最简与非与非表达式。注意，单个变量上面的非号不算，因为已将其当成反变量。例1.2.3：写出函数 的最简与非与非表达式。在最简与或表达式的基础上，两次取反，再用摩根定理去掉下面的反号，便可得到函数的最简与非与非表达式。解：式（1.2.3）就是函数Y的最简与非与非表达式。55第55页，此课件共105页哦 3 3、最简或与式、最简或与式 定义：括号个数最少，每个括号中相加的变量个数也最少的或与式，称为最简或与表达式。例1.2.4：写出函数 的最简或与表达式。在反函数最简与或表达式的基础上，取反，再用
41、摩根定理去掉反号，便可得到函数的最简或与表达式。当然，在反函数最简与或表达式的基础上，也可用反演规则，直接写出函数的最简或与式。解：式（1.2.4）就是函数Y的最简或与表达式。56第56页，此课件共105页哦 4 4、最简或非或非式、最简或非或非式 定义：非号个数最少，非号下面相加变量个数也最少的或非或非表达式，称为最简或非或非表达式。例1.2.5：写出函数 的最简或非或非表达式。在最简或与表达式的基础上，两次取反，再用摩根定理去掉下面的反号，所得到的便是函数的最简或非或非表达式。解：式（1.2.5）就是函数Y的最简或非或非表达式。57第57页，此课件共105页哦 5 5、最简与或非式、最简与
42、或非式 定义：在非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非式，称为最简与或非表达式。例1.2.6：写出函数 的最简与或非表达式。在最简或非或非式的基础上，用摩根定理去掉大反号下面的小反号，便可得到函数的最简与或非表达式。当然，在反函数最简与或式的基础上，直接取反亦可。解：式（1.2.6）就是函数Y的最简与或非表达式。58第58页，此课件共105页哦 从上面各种最简式的介绍中，不难发现，只要得到了函数的最简与或式，再用摩根定理进行适当变换，就可以获得其他几种类型的最简式。因此下面要讲解的公式化简法和图形化简法，所说明的都是如何在与或式的基础上，获得最简与或表达式的方
43、法。至于给定函数的表达式不是与或式时，则只需要用公式和定理，便可将其展开、变换成与或式，而且在展开、变换过程中，能化简的理所当然地应顺便化简。59第59页，此课件共105页哦 公式化简法，就是在与或表达式的基础上，利用公式、定理和规则，消去表达式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，求出函数的最简与或式。这种方法没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公式、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。1.2.2 1.2.2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法60第60页，此课件共105页哦 一、并项法 运用公式将两个与项合并成一个与项，合并后消去一个变量。例：61第61页，此课件共105页哦 二
44、、吸收法 利用公式吸收掉多余的项。62第62页，此课件共105页哦三、消去法利用公式 消去乘积项中多余的因子。四、配项消项法利用公式 ，加上冗余项，以消去更多乘积项。63第63页，此课件共105页哦五、配项法 利用配项 利用 配项64第64页，此课件共105页哦 实际应用中遇到的逻辑函数往往比较复杂，化简时应灵活使用所学的公式、定理及规则，综合运用各种方法。下面举例说明。例1：化简 解：65第65页，此课件共105页哦例2：化简 解：66第66页，此课件共105页哦例3：化简 解：67第67页，此课件共105页哦例例4 4 化简化简解：解：68第68页，此课件共105页哦69第69页，此课件共
45、105页哦作业题作业题P69 题题1.7 （写出（写出Y1、Y4的标准与或式）的标准与或式）题题1.8 、题题1.9、P70 题题1.10、70第70页，此课件共105页哦 逻辑函数的卡诺图法化简也称为图形法化简。卡诺图法是由美国工程师卡诺（Karnaugh）于1953年提出来的。它比代数法化简形象直观，易于掌握，只要按照一定的规则，便可十分方便地将逻辑函数化为最简式。由于卡诺图化简法具有简单、直观、容易掌握等优点，在逻辑设计中得到广泛应用。卡诺图是由真值表变换而来的一种方格图。卡诺图上的每一个方格代表真值表上的一行，因而代表一个最小项。真值表有多少行，卡诺图就有多少个方格。卡诺图不仅是逻辑函
46、数的描述工具，而且还是逻辑函数化简的重要工具。1.2.3 1.2.3 逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法71第71页，此课件共105页哦 一、逻辑变量的卡诺图 1、卡诺图的构成 卡诺图就是与变量的最小项对应的、变量按循环码顺序排列的方格图。n个逻辑变量有2n组合，最小项就有2n个，卡诺图也相应有2n个小方格。2、3、4变量卡诺图如图(a)、(b)、(c)所示。m3 m2 m1 m0 BA0110(a)0m6m2m7m3m5 m4 m1m0 100011110BCA(b)m10m11m9m8m14m15m13m12m6m2m7m3m5 m4 m1 m0 00011110CDAB000111
47、10(c)变量的顺序是00，01，11，10，而不是00，01，10，11。这是为使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变。72第72页，此课件共105页哦 2、卡诺图的特点 1、用几何相邻形象地表示变量各个最小项在逻辑上的相邻性。几何相邻包括：相接紧挨着；相对任一行或一列的两头；相重对折起来后位置重合。逻辑相邻：如果两个最小项，除了一个变量的形式不同外，其余的都相同，那么这两个最小项就认为在逻辑上是相邻的。而在逻辑上相邻的最小项，是可以合并的。2、卡诺图的主要缺点，是随着变量个数的增加，图形迅速地复杂起来。当变量多于6个时，不仅画图十分麻烦，而且即使画出来了，许多小方块最小项，是否逻辑相邻，
48、也难以辨认，已无实用价值。73第73页，此课件共105页哦 例如，四变量卡诺图中，每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是和m5相接的 m1，m4，m7，m13。这种相邻称为相接相邻。而m2的4个相邻最小项除了与之几何相接的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一行的两端)和m10(同一列的两端)。这种相邻称为相对相邻。从各卡诺图可以看出，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。m10m11m9m8m14m15m13m12m6m2m7m3m5 m4 m1 m0 00011110CDAB00011110(c)74第74页，此课件
49、共105页哦m18m19m17m16m26m27m25m24m10m2m11m3m9 m8 m1 m0 m20m21m23m22m28m29m31m30m12m4m13m5m14 m15 m7m6 00011110000 001 011 010110111 101 100CDEAB5变量卡诺图 5变量卡诺图如下图所示。例如五变量卡诺图中的m3，除了相接相邻的m1，m2，m11和相对相邻的m19外，还与处在“相重”位置的最小项m7相邻。这种相邻称为相重相邻（或称重叠相邻）。75第75页，此课件共105页哦 3、变量卡诺图中最小项合并的规律、变量卡诺图中最小项合并的规律 卡诺图的构造特点使卡诺图具
50、有一个重要性质：可以从图形上直 观 地 找 出 相 邻 最 小 项 合 并。合 并 的 理 论 依 据 是 并 项 定 理 。例如，用卡诺图化简逻辑函数的基本原理：用卡诺图化简逻辑函数的基本原理：通过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。通常把用来包围那些能由一个简单“与”项代替的若干最小项的“圈”称为卡诺圈。卡诺圈。m7m5 AB1000011100CD011110m13 m15 在变量卡诺图中，凡是几何相邻的最小项均可合并，合并时可以消去有关变量。两个最小项合并成一项时可消去一个变量，4个最小项合并成一项时可消去两个变量，2n