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1、高等数学课件D二重积分概念现在学习的是第1页，共26页三、二重三、二重积分的性分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重二、二重积分的定分的定义与可与可积性性 四、曲四、曲顶柱体体柱体体积的的计算算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第十章 现在学习的是第2页，共26页解法解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲曲顶柱体的体柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底：xoy 面上的闭区域 D顶:连续曲面侧面：面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求 极限”机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第3页，共26页
2、1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第4页，共26页4)“取极限”令机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第5页，共26页2.平面薄片的平面薄片的质量量 有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.度为设D 的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求 极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第6页，共26页
3、2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第7页，共26页两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第8页，共26页二、二重二、二重积分的定分的定义及可及可积性性定定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I,使可可积,在D上的二重二重积分分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学
4、习的是第9页，共26页引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第10页，共26页二重二重积分存在定理分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如,在D:上二重积分存在;在D 上 二重积分不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第11页，共26页三、二重三、二重积分的性分的性质(k 为常数)为D 的面积,则 机动 目录
5、 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第12页，共26页特别,由于则5.若在D上6.设D 的面积为,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第13页，共26页7.(二重积分的中值定理)证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第14页，共26页例例1.比较下列积分的大小:其中解解:积分域 D 的边界为圆周它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位从而于直线的上方,故在 D 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第15页，共26页例例2.判断积分的正负号.解解
6、:分积分域为则原式=猜想结果为负 但不好估计.舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第16页，共26页例例3.估计下列积分之值解解:D 的面积为由于积分性质5即:1.96 I 2D机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第17页，共26页8.设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第18页，共26页四、曲四、曲顶柱体体柱体体积的的计算算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截
7、柱体的机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第19页，共26页同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第20页，共26页例例4.求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第21页，共26页内容小内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第22页，共26页被积函数相同,且非负,思考与思考与练习解解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第23页，共26页2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则的大小顺序为()提示:因 0 y 1,故故在D上有机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第24页，共26页3.计算解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第25页，共26页4.证明:其中D 为解解:利用题中 x,y 位置的对称性,有又 D 的面积为 1,故结论成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第26页，共26页