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1、高等数学D二重积分概念第1页，此课件共23页哦 多元函数积分学多元函数积分学,包括二重积分、三重积分包括二重积分、三重积分,曲线曲线积分与曲面积分积分与曲面积分.它们是定积分概念的推广它们是定积分概念的推广.与一元函数定积分有关的是被积函数和积分区间与一元函数定积分有关的是被积函数和积分区间,当被积函数为二元或三元函数当被积函数为二元或三元函数,积分范围为平面或空间积分范围为平面或空间区域时区域时,这种积分就是二重或三重积分这种积分就是二重或三重积分;当积分范围是一当积分范围是一条曲线或一块曲面时条曲线或一块曲面时,那就是曲线积分或曲面积分那就是曲线积分或曲面积分.上页 下页第2页，此课件共2
2、3页哦第8.1节二重积分的概念与性质 第八章 上页 下页8.1.1 8.1.1 二重积分的概念二重积分的概念 8.1.2 8.1.2 二重积分的性质二重积分的性质1 1、理解二重积分的概念、理解二重积分的概念;2 2、了解重积分的性质、了解重积分的性质,理解二重积分的中值定理理解二重积分的中值定理.基本要求基本要求 第3页，此课件共23页哦解法解法:类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底：底：xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行
3、于母线平行于 z 轴的柱面，轴的柱面，求其体积求其体积.“大化小大化小,以不变代变以不变代变,求近似和求近似和,取取 极限极限”上页 下页第4页，此课件共23页哦1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“以不变代变以不变代变”在每个在每个3)“3)“求近似和求近似和”则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体(也表面积也表面积)上页 下页第5页，此课件共23页哦4)“4)“取极限取极限”令令上页 下页第6页，此课件共23页哦2.非均匀平面薄片的质量非均匀平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片,
4、在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M.度为度为设设D 的面积为的面积为 ,则则若若非常数非常数,仍可用仍可用其面密其面密“大化小大化小,以不变代变以不变代变,求近似和求近似和,求求 极限极限”解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域.上页 下页第7页，此课件共23页哦2)“以不变代变以不变代变”中中任取任取一点一点3)“求近似和求近似和”4)“取极限取极限”则第则第 k 小块的质量小块的质量上页 下页第8页，此课件共23页哦两个问题的共性：两个问题的共性：
5、(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小,以不变代变以不变代变,求近似和求近似和,取极限取极限”曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:上页 下页第9页，此课件共23页哦二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域任取任取一点一点若存在一个常数若存在一个常数 I,使使可积可积,在在D上的上的二重积分二重积分.积分和积分和积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函
6、数,上页 下页第10页，此课件共23页哦引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:如果如果 在在D上可积上可积,也常也常二重积分记作二重积分记作这时这时分区域分区域D,因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作上页 下页第11页，此课件共23页哦二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数定理定理2.(证明略证明略)定理定理1.在在D上可积上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续限个点或有限个光滑曲线外都连续,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续,则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上
7、除去有上除去有 例如例如,在在D:上二重积分存在上二重积分存在;在在D 上上 二重积分不存在二重积分不存在.上页 下页第12页，此课件共23页哦三、二重积分的几何意义与物理意义三、二重积分的几何意义与物理意义:上页 下页当被积函数大于零时当被积函数大于零时,二重积分是曲顶柱体的体积二重积分是曲顶柱体的体积当被积函数小于零时，当被积函数小于零时，几何意义：几何意义：的平面薄片的质量的平面薄片的质量.表示密度为表示密度为物理意义：物理意义：特殊地：特殊地：若若 为为D的面积，则的面积，则二重积分是曲顶柱体体积的二重积分是曲顶柱体体积的 负值负值第13页，此课件共23页哦8.1.2、二重积分的性质、
8、二重积分的性质(k 为常数为常数)为为D 的面积的面积,则则 上页 下页第14页，此课件共23页哦特别特别,由于由于则则5.若在若在D上上6.设设D 的面积为的面积为 ,则有则有 上页 下页第15页，此课件共23页哦7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理)证证:由性质由性质6 可知可知,由连续函数介值定理由连续函数介值定理,至少有一点至少有一点在闭区域在闭区域D上上 为为D 的面积的面积,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,因此因此 上页 下页第16页，此课件共23页哦当曲顶柱体的竖坐标连续变化时当曲顶柱体的竖坐标连续变化时,曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 积分中值定理的几何意义：
9、积分中值定理的几何意义：等于以等于以 为高的同底平顶柱体的体积为高的同底平顶柱体的体积.称为称为平均高度平均高度.在在D上的上的 上页 下页第17页，此课件共23页哦例例1.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中其中解解:积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周它与它与 x 轴交于点轴交于点(1,0),而域而域 D 位位从而从而于直线的上方于直线的上方,故在故在 D 上上 上页 下页第18页，此课件共23页哦例例2.估计下列积分之值估计下列积分之值解解:D 的面积为的面积为由于由于积分性质积分性质5即即:1.96 I 2D上页 下页第19页，此课件共23页哦例例3.判断积分判断积分的正负
10、号的正负号.解解:分积分域为分积分域为则则原式原式=猜想结果为负猜想结果为负 但不好估计但不好估计.舍去此项舍去此项上页 下页第20页，此课件共23页哦内容小结内容小结1.二重积分的定义二重积分的定义2.二重积分的性质二重积分的性质(与定积分性质相似与定积分性质相似)上页 下页第21页，此课件共23页哦被积函数被积函数相同相同,且且非负非负,思考与练习思考与练习解解:由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:上页 下页第22页，此课件共23页哦2.设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域,且且 0 y 1,则则的大小顺序为的大小顺序为()提示提示:因因 0 y 1,故故故在故在D上有上有上页 下页第23页，此课件共23页哦