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1、深圳大学电子科学与技术学院关于分离变量法有界弦的自由振动关于分离变量法有界弦的自由振动第1页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院有界弦的自由振动有界弦的自由振动有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题非齐次方程的解法非齐次方程的解法非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论分离变量法提要分离变量法提要:第2页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院 物理学、工程技术领域的许多问题物理学、工程技术领域的许多问题，都可以归结为偏微
2、分方程的，都可以归结为偏微分方程的 定解问题。定解问题。偏微分方程偏微分方程定解条件定解条件求满足它们的解（定解问题）求满足它们的解（定解问题）在微积分学中在微积分学中:多元函数的多元函数的微分微分积分积分(转化为转化为)一元函数的一元函数的微分微分积分积分分离变量法分离变量法:偏微分方程偏微分方程(定解问题定解问题)(转化为转化为)常微分方程的求解常微分方程的求解第3页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院基本思想基本思想:将一个多元函数的偏微分方程转化为几将一个多元函数的偏微分方程转化为几个单元函数的常微分方程个单元函数的常微分方程基本问题基本问题:将二元的偏微分方程转化为
3、空间和时间将二元的偏微分方程转化为空间和时间的常微分方程的常微分方程,比如比如第4页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动什么是分离变量法什么是分离变量法?运用分离变量法所应该具备的条件运用分离变量法所应该具备的条件?如何应用分离变量法解定解问题如何应用分离变量法解定解问题?例例1：有界弦的自由振动有界弦的自由振动:弦长度为弦长度为L,两端固定两端固定,任任意初始位移意初始位移,任意初始速度。任意初始速度。定解问题为定解问题为:泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件(1)(2)(3)第5页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子
4、科学与技术学院主导思想：主导思想：在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时，在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时，求出足够多的形式解求出足够多的形式解线性迭加这些足够多的形式解线性迭加这些足够多的形式解使之满足初始条件使之满足初始条件常微分方程常微分方程不但含有未知函数，而且还含有不但含有未知函数，而且还含有未知函数的导数，且自变量只有一个，称之为常未知函数的导数，且自变量只有一个，称之为常微分方程。微分方程。线性线性未知函数，以及未知函数的导数都是一次幂，未知函数，以及未知函数的导数都是一次幂，称之为线性。称之为线性。通解通解一般地讲，一阶常微分方程含有一个任意常一般地讲，一
5、阶常微分方程含有一个任意常数的解，称之为通解。数的解，称之为通解。特解特解确定了任意常数的解，称之为特解。一确定了任意常数的解，称之为特解。一般来说，当初始条件给定之后，满足初始条件般来说，当初始条件给定之后，满足初始条件的特解只有一个。的特解只有一个。第6页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院启发：启发：求出足够多的求出足够多的,满足边界条件的满足边界条件的,具有具有变量分离形式的形式解。变量分离形式的形式解。线性组合这些足够多的形式解线性组合这些足够多的形式解使之满足初始条件使之满足初始条件 从物理学知，乐器发出的声音，可以分解为各种不同频率的单音，每种单音振动时从物理学
6、知，乐器发出的声音，可以分解为各种不同频率的单音，每种单音振动时所形成的正弦曲线，其振幅依赖于时间所形成的正弦曲线，其振幅依赖于时间 t。为此，特解可表示为为此，特解可表示为的形式的形式.特点特点:中的变量中的变量被形式上分离为被形式上分离为振幅振幅-关于时间关于时间t位相位相-关于坐标关于坐标x第7页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院设方程（设方程（1 1）有分离变量解：）有分离变量解：代入方程（代入方程（1 1）：）：左边是左边是x x函数，右边是函数，右边是t t的函数，只有他们均为的函数，只有他们均为常数时才相等：常数时才相等：设这一常数为设这一常数为-，则，则（4
7、）（5）（6）至此可以看出至此可以看出,利用分离变量法的利用分离变量法的条件是条件是:泛泛定方程必须是齐次的定方程必须是齐次的。否则（。否则（5 5）变成）变成 方程方程 ,不能写出变量分离的形式（不能写出变量分离的形式（6 6）。）。分离变量：第8页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院将边界条件（将边界条件（2 2）代入形式解（）代入形式解（4）：）：,如果如果 则则 (平凡解平凡解,无实际意义无实际意义),),故故这样空间函数这样空间函数 构成下列常微分方程的边值问题构成下列常微分方程的边值问题:至此可以看出至此可以看出,利用分离变量法的利用分离变量法的条件是条件是:边界
8、条件必须是齐次的边界条件必须是齐次的。否。否则则 ，不能写出关于空间函数，不能写出关于空间函数 X(x)单独的边界条件（单独的边界条件（7），），不能构成定解问题（不能构成定解问题（8）。）。（8）（7）第9页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院以下的任务：以下的任务：确定确定 取何值时取何值时，方程，方程 有有满足条件满足条件的非零解；的非零解；求出这个非零解求出这个非零解 本征值本征值本征值本征值问题问题本征函数本征函数第10页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院1.1.：方程方程(9)(9)的通解为的通解为2.:2.:方程方程(9)(9)的通解为的通解
9、为(9)(10)（平凡解（平凡解:X(x)=0）由由(10)(10)得得 为了满足边界条件为了满足边界条件(10),(11)(10),(11)必须给出必须给出(11)下面求解边值问题：设第11页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院这是一个关于这是一个关于A,B的线性齐次方程组，它有非的线性齐次方程组，它有非零解的必要充分条件是系数行列式为零：零解的必要充分条件是系数行列式为零：即即上式在上式在k=0(即即=0)条件下成立，但在现在的条件下成立，但在现在的 00,方程方程(9)(9)的通解为的通解为该边值问题的解是一系列分立的正弦函数该边值问题的解是一系列分立的正弦函数B 不能
10、为零不能为零(否则否则X(x)=0)设第13页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院第14页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院将将 代入关于代入关于 T 的方程的方程:这个解称为定解问题的这个解称为定解问题的“本征解本征解”,它它满足泛定方程和齐次边界条件满足泛定方程和齐次边界条件其通解为其通解为这样这样 解方程:第15页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院但是本征解但是本征解的初始值的初始值 不能满足任意初始条件不能满足任意初始条件(2),2),为了使原定解问题的解满足任意初始条件，考虑到原泛为了使原定解问题的解满足任意初始条件，考虑到原
11、泛定方程是线性的（服从叠加原理），可以取定方程是线性的（服从叠加原理），可以取本征解的叠本征解的叠加加构成定解问题的构成定解问题的一般解一般解：一般解不但一般解不但满足泛定方满足泛定方程还满足定程还满足定解条件解条件定解问题的一般解:第16页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院 这样初始条件可以表示为这样初始条件可以表示为它们是函数它们是函数 的傅立叶级数，展开系数为的傅立叶级数，展开系数为一般解能表示任意初始条件一般解能表示任意初始条件可以再次看出可以再次看出,利用分离变量法利用分离变量法的条件是的条件是:泛定方程必须是线性的泛定方程必须是线性的。这样才能利用叠加原理，构成
12、一般这样才能利用叠加原理，构成一般解，满足任意初始条件。解，满足任意初始条件。任意初始条件:第17页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院 有界弦自由振动的有界弦自由振动的 定解问题的解由级定解问题的解由级 数给出数给出:它满足齐次边界条它满足齐次边界条 件和任意初始条件件和任意初始条件:展开系数展开系数 被被 积分确定积分确定:弦振动定解问题的结论：第18页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院 1.1.对于泛定方程对于泛定方程 写出写出形式解形式解:2.2.分离变量分离变量得到空间函数的得到空间函数的本征值问题本征值问题:3.3.解出解出 得到得到本征解本征
13、解:4.4.利用利用叠加原理叠加原理得到得到一般解一般解:5.5.代入初始条件求出待定系数代入初始条件求出待定系数 分离变量法分离变量法求解定解问题的步骤：求解定解问题的步骤：第19页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院1.1.泛定方程是泛定方程是 线性齐次的线性齐次的,例如例如2.2.边界条件是边界条件是 齐次的齐次的,例如例如3.3.初始条件可以初始条件可以 是任意函数是任意函数 讨论:分离变量法的适用条件第20页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院举例举例:例例1：设一根长为：设一根长为10个单位的细弦个单位的细弦,两端固定两端固定,初速为零初速为零,
14、初位移初位移 与材料有关的量与材料有关的量 ,求弦作微小横振动时的位移求弦作微小横振动时的位移 .解解:其定解问题为其定解问题为显然，这个问题的傅立叶级数形式解可由显然，这个问题的傅立叶级数形式解可由给出，其中给出，其中第21页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院给出给出,其中其中n 为偶数为偶数 n 为奇数为奇数 第22页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院因此因此,所求的解为所求的解为第23页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院例例2：解下列定解问题解下列定解问题例例1：定解问题定解问题分析分析:对比上面两个定解问题对比上面两个定解问题
15、,与例与例 1 所不同的是所不同的是,这一端的边界条件这一端的边界条件 已经不是第一类齐次边界条件已经不是第一类齐次边界条件 ,而是第二类齐次边界条而是第二类齐次边界条件件 第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件第24页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院一、对此，试探性提出方程组一、对此，试探性提出方程组 中第一个方程的分离变量中第一个方程的分离变量 形式的非零解。形式的非零解。上式分别对上式分别对 x、t 求偏导求偏导上面的结果，反回去代入原方程，得上面的结果，反回去代入原方程，得或或 这样，变量被分离了，这样，变量被分离了，同时得到两个
16、常微分方程！同时得到两个常微分方程！第25页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院二、捆绑边界条件二、捆绑边界条件由于由于将其与方程组中的边界条件将其与方程组中的边界条件捆绑捆绑由由由由其中，其中，。因为如果。因为如果 ，则，则 所涉及的解，显所涉及的解，显然不是我们所需要的（零解！）。然不是我们所需要的（零解！）。由此可见，只有由此可见，只有 。将此结果与所得到的常。将此结果与所得到的常微分方程中的第二个方程（关于微分方程中的第二个方程（关于x）联立）联立组成了关于组成了关于的的本征值问题本征值问题第26页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院三、在右列方程组
17、中，解出非零的三、在右列方程组中，解出非零的 。重复前面的讨论重复前面的讨论,只有当只有当 时时,本征值本征值问题才有非零解问题才有非零解,此时此时 的通的通解仍为解仍为 代入边界条件代入边界条件:,得得由于由于 ,故故 ,即即从而求得了一系列本征值与本征函数从而求得了一系列本征值与本征函数本征值本征值本征函数本征函数第27页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院四、回过头来求函数四、回过头来求函数将这些本征值将这些本征值,代入关于代入关于T(t)的方程中的方程中,其通解为其通解为将将 和和 一并代入一并代入 ,经整经整理后得到了既满理后得到了既满足泛定方程足泛定方程,又满足边
18、界条件的一组分离变量形式的解又满足边界条件的一组分离变量形式的解关于关于 t 的的关于关于 x 的的第28页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院五、求满足五、求满足(捆绑捆绑)初始条件的解初始条件的解利用初始条件利用初始条件,确定上面方程中的任意常数确定上面方程中的任意常数第29页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院故故,所求之解为所求之解为第30页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院对比：第31页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院第32页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院方方程程一一的的解解方方程程
19、二二的的解解第33页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院第34页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院确定的时间确定的时间t0确定的弦点确定的弦点弦的空间形状是一条正弦曲弦的空间形状是一条正弦曲线线,其振幅与其振幅与t0有关。有关。弦点在其平衡位置附近作简谐弦点在其平衡位置附近作简谐振荡，其振幅与振荡，其振幅与x0有关。有关。讨论:本征解的物理意义第35页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院第36页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院un(x,t)表示这样一个运动：在考察的弦上各点，以同样角频率n作简谐振动，各点处的初位相n
20、也相同，而各点的振幅则随点的位置改变而变化，此时振动的波形，在任何时刻都呈现正弦曲线。波节波节波腹波腹第37页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院正弦曲线的零点正弦曲线的零点:正弦曲线在正弦曲线在 0,L 区间有区间有n+1个零点个零点,即波形在该区间有即波形在该区间有n+1个节点个节点 xm，第，第1个节点在个节点在x0=0，第，第n+1个节点在个节点在xn=L。结论：结论：有界弦自由振动的本征解有界弦自由振动的本征解为驻波。为驻波。零点位置零点位置:讨论:本征解为驻波第38页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院0 Lx0(驻波条件驻波条件)(为波长为波长
21、)第39页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院第40页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院“单模激光单模激光”是工作在单个本征态的典型的物是工作在单个本征态的典型的物理系统，单模激光的产生满足理系统，单模激光的产生满足“驻波条件驻波条件”：激光谐振腔激光谐振腔x驻波条件：腔长等于半波长的整数倍驻波条件：腔长等于半波长的整数倍E单个本征态的例子：单模激光第41页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院x0 a x n=1n=2n=3势阱中粒子的一个势阱中粒子的一个本征态对应于一个本征态对应于一个特定波长的驻波：特定波长的驻波：单个本征态的又一个例
22、子单个本征态的又一个例子:势阱粒子的几率波势阱粒子的几率波第42页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院 每个本征解表示一个谐波每个本征解表示一个谐波,第第 n 个本征解表示个本征解表示 n 阶谐波阶谐波:谐波的叠加给出一般波形谐波的叠加给出一般波形:谐波与一般波形第43页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院若弦还受到时空依赖的外力的作用若弦还受到时空依赖的外力的作用(设弦单设弦单位长度受力为位长度受力为F(x,t)，其方向竖直于，其方向竖直于x轴轴):):0 xxu水平方向：没有变化水平方向：没有变化竖直方向：竖直方向：回顾受迫振动方程:第44页，讲稿共64
23、张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院受迫振动方程受迫振动方程注注:齐次方程齐次方程:只含有对只含有对u的各种运算的各种运算非齐次方程：含有对非齐次方程：含有对 u 运算之外的项运算之外的项 f(x,t),被称为驱动项被称为驱动项,或自由项或自由项第45页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院长度为长度为 L，线密度为，线密度为 ，且两端固定的弦在，且两端固定的弦在某种介质中作微振动，设弦在介质中振动时某种介质中作微振动，设弦在介质中振动时受到的阻力与振动的速度成正比。已知弦振受到的阻力与振动的速度成正比。已知弦振动的初始位移与初始速度分别为动的初始位移与初始速度分别为 和
24、和 ，试求弦上任意点试求弦上任意点 x 在任意在任意 时刻离开其平时刻离开其平衡位置的位移衡位置的位移 。例例2：阻尼弦振动阻尼弦振动:第46页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院任意任意 t 时刻弦的形状时刻弦的形状:0 xu弦振动时单位长度受弦振动时单位长度受到的阻力可以表示为到的阻力可以表示为L介质的阻力介质的阻力负号表述阻力与振动方向相反负号表述阻力与振动方向相反比例系数比例系数振动方向振动方向第47页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院现在现在阻尼弦振动：定解问题第48页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院虽然泛定方程比标准形式多
25、了阻尼项虽然泛定方程比标准形式多了阻尼项 ，但仍然是线性齐次方程，而边界条件是齐次的，但仍然是线性齐次方程，而边界条件是齐次的，故可以用分离变量法求解。令故可以用分离变量法求解。令第49页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院通解：通解：定解问题的定解问题的本征解：本征解：一般解：一般解：初始条初始条件件第50页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院10-14Lx弦的初始状态弦的初始状态弦左端点不固定弦左端点不固定 （左端的切线斜率为零）（左端的切线斜率为零）例例5：弦振动弦振动第二类边界条件第一类边界条件L2L第51页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科
26、学与技术学院cosL=0B=0第52页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院Dn=0弦的x=L端固定，x=0端在-1,1间振荡。弦上任意点x以其初始位移cos(x/2L)为振幅，以a/4L为频率作简谐振荡。在任意时刻t，弦在x=0端的斜率为零。第53页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院10-1Lx弦的初始状态弦的初始状态弦两端点不固定弦两端点不固定 （两端的切线斜率为零）（两端的切线斜率为零）例例6：弦振动弦振动（第二类边界条件）（第二类边界条件）第54页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院设方程（设方程（1 1）有分离变量解：）有分离变量
27、解：代入方程（代入方程（1 1）：）：两边对两边对x求导数：求导数：设这一常数为设这一常数为-，则，则（4）（5）（6）分离变量：第55页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院将边界条件（将边界条件（3 3）代入形式解）代入形式解（4），得到：，得到：这样空间函数这样空间函数 X(x)构成下列常微分方程的边值问题构成下列常微分方程的边值问题:（8）（7）第56页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院1.1.：(9)(9)的通解的通解2.:(9)2.:(9)的通解的通解(9)(10)有特解有特解:X0(x)=A(常数常数)由由(10)(10)得得 ,为了满足边界条
28、件为了满足边界条件(10),(10),必须有必须有(平庸解平庸解 )但但下面求解边值问题:设第57页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院为了满足边界条件为了满足边界条件(10),(10),必须有必须有3.,3.,方程方程(9)(9)的通解为的通解为(9)(10)求解边值问题:设=2第58页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院第59页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院第60页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院两边比较两边比较系数系数初始初始条件条件10-1Lx结果结果弦上任意点弦上任意点x以其初始位移以其初始位移 为振幅
29、，以为振幅，以 为频率作简谐振动为频率作简谐振动第61页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院 1.1.对于泛定方程对于泛定方程 写出写出形式解形式解:2.2.分离变量分离变量得到空间函数的得到空间函数的本征值问题本征值问题:3.3.解出解出 得到得到本征解本征解:4.4.利用利用叠加原理叠加原理得到得到一般解一般解:5.5.代入初始条件求出待定系数代入初始条件求出待定系数 分离变量法分离变量法求解定解问题的步骤：求解定解问题的步骤：小结：小结：第62页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院本征方程X(x)+X(x)=0的本征值与本征函数边界条件本征值本征函数n的取值ux=0=0，ux=L=0n=1,2,3,n=0,1,2,3,n=0,1,2,3,n=0,1,2,3,第63页，讲稿共64张，创作于星期日深圳大学电子科学与技术学院感感谢谢大大家家观观看看第64页，讲稿共64张，创作于星期日