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1、8.1 时间序列平稳性和单位根检验时间序列平稳性和单位根检验Stationary Time Serial and Unit Root Test一、时间序列的平稳性一、时间序列的平稳性二、单整序列二、单整序列三、单位根检验三、单位根检验经典时间序列分析模型：经典时间序列分析模型：包括包括MA、AR、ARMA模型模型平稳时间序列模型平稳时间序列模型分析时间序列自身的变化规律分析时间序列自身的变化规律现代时间序列分析模型：现代时间序列分析模型：分析时间序列之间的结构关系分析时间序列之间的结构关系单位根检验、协整检验是核心内容单位根检验、协整检验是核心内容现代宏观计量经济学的主要内容现代宏观计量经济学
2、的主要内容一、一、时间序列的平稳性时间序列的平稳性Stationary Time Series问题的提出问题的提出经典计量经济模型常用到的数据有：经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据时间序列数据（time-series data)；截面数据截面数据(cross-sectional data)平行平行/面板数据面板数据（panel data/time-series cross-section data)时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。经典回归分析暗含着一个重要假设：经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。数据是平稳的。数据非平稳，大
3、样本下的统计推断基础数据非平稳，大样本下的统计推断基础“一致一致性性”要求要求被破怀。被破怀。数据非平稳，往往导致出现数据非平稳，往往导致出现“虚假回归虚假回归”（Spurious Regression）问题。）问题。表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性。相关性。例如：例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。2 2、平稳性的定义、平稳性的定义假定某个时间序列是由某一假定某个时间序列是由某一随机过程随机过程（stochastic process
4、）生成的，即假定时间序生成的，即假定时间序列列Xt（t=1,2,）的每一个数值都是从一个）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：概率分布中随机得到，如果满足下列条件：均值均值E(XE(Xt t)=)=是是与时间与时间t 无关的常数；无关的常数；方差方差Var(XVar(Xt t)=)=2 2是是与时间与时间t 无关的常数；无关的常数；协方差协方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)=k k 是是只与时期间隔只与时期间隔k有关，与有关，与时间时间t 无关的常数；无关的常数；则称该随机时间序列是则称该随机时间序列是平稳的（平稳的（stationary)，而该随
5、机过程是一而该随机过程是一平稳随机过程（平稳随机过程（stationary stochastic process）。宽平稳、广义平稳宽平稳、广义平稳白噪声（白噪声（white noise）过程是平稳的：过程是平稳的：Xt=t ，tN(0,2)随机游走（随机游走（random walk）过程是非平稳的：过程是非平稳的：Xt=Xt-1+t，tN(0,2)Var(Xt)=t2随随机机游游走走的的一一阶阶差差分分（first difference）是是平平稳稳的：的：Xt=Xt-Xt-1=t，tN(0,2)如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形
6、成平稳序列。取差分的方法而形成平稳序列。二、平稳性的图示判断二、平稳性的图示判断说明说明本节的概念是重要的，属于经典时间序列分析。本节的概念是重要的，属于经典时间序列分析。在实际应用研究中，一般直接采用单位根检验，在实际应用研究中，一般直接采用单位根检验，图示判断应用较少。图示判断应用较少。建议作为自学内容。建议作为自学内容。三、平稳性的单位根检验三、平稳性的单位根检验 （unit root test）1 1、DFDF检验检验（Dicky-Fuller Test）通过上式判断通过上式判断XtXt是否有单位根是否有单位根,就是时间序列就是时间序列平稳性的平稳性的单位根检验单位根检验。随机游走，非
7、平稳随机游走，非平稳对该式回归，如果确实对该式回归，如果确实发现发现=1，则称随机变，则称随机变量量XtXt有一个有一个单位根单位根。等价于通过该式判断等价于通过该式判断是否存在是否存在=0。一般检验模型一般检验模型零假设零假设 H0：=0备择假设备择假设 H1：0可通过可通过OLS法下的法下的t检验完成。检验完成。但但是是，在在零零假假设设（序序列列非非平平稳稳）下下，即即使使在在大大样样本本下下t统统计计量量也也是是有有偏偏误误的的（向向下下偏偏倚倚），通通常常的的t 检验无法使用。检验无法使用。Dicky和和Fuller于于1976年年提提出出了了这这一一情情形形下下t统统计计量量服服从
8、从的的分分布布（这这时时的的t统统计计量量称称为为 统统计计量量），即即DF分布分布。由由于于t统统计计量量的的向向下下偏偏倚倚性性，它它呈呈现现围围绕绕小小于于零零均均值的偏态分布。值的偏态分布。如果如果t临界值，则拒绝零假设临界值，则拒绝零假设H0：=0，认为，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。时间序列不存在单位根，是平稳的。单尾检验2 2、ADFADF检验（检验（Augment Dickey-Fuller test）为什么将为什么将DFDF检验扩展为检验扩展为ADFADF检验？检验？DF检检验验假假定定时时间间序序列列是是由由具具有有白白噪噪声声随随机机误误差差项项的的一一阶阶自自回回
9、归归过过程程AR(1)生生成成的的。但但在在实实际际检检验验中中，时时间间序序列列可可能能由由更更高高阶阶的的自自回回归归过过程程生生成成，或或者者随随机机误误差差项项并并非非是是白白噪噪声声，用用OLS法法进进行行估估计计均均会会表表现现出出随随机机误误差差项项出出现现自自相相关关，导致导致DF检验无效。检验无效。如如果果时时间间序序列列含含有有明明显显的的随随时时间间变变化化的的某某种种趋趋势势（如如上上升升或或下下降降），也也容容易易导导致致DF检检验验中中的的自相关随机误差项问题。自相关随机误差项问题。ADFADF检验模型检验模型零假设零假设 H0：=0 备择假设备择假设 H1：临界值
10、，临界值，不能拒绝存在单位根不能拒绝存在单位根的零假设。的零假设。时间T的t统计量小于ADF临界值，因此不能拒绝不存在趋势不能拒绝不存在趋势项的零假设项的零假设。小于小于5%显著性水平下自由度分别为显著性水平下自由度分别为1与与2的的 2分布的临界值，可见不存分布的临界值，可见不存在自相关性，因此该模型的设定是在自相关性，因此该模型的设定是正确的。正确的。检验模型检验模型2，经试验，模型，经试验，模型2中滞后项取中滞后项取2阶：阶：常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值，不不能能拒拒绝绝不存常数项的零假设。不存常数项的零假设。LM检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。G
11、DPt-1参数值的t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在不能拒绝存在单位根的零假设单位根的零假设。需进一步检验模型需进一步检验模型1。检验模型检验模型1 1，经试验，模型，经试验，模型1中滞后项取中滞后项取2阶：阶：GDPt-1参数值的t统计量为正值，大于临界值，不不能能拒拒绝绝存在单位根的零假设。存在单位根的零假设。LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。可断定中国支出法可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。时间序列是非平稳的。ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现ADFAD
12、F检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPPADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPP从从GDPP(-1)的参数值看，的参数值看，其其t统计量的值统计量的值大于临界值，大于临界值，不能拒绝存在不能拒绝存在单位根的零假单位根的零假设。同时，由设。同时，由于时间项于时间项T的的t统计量也小于统计量也小于ADF分布表中分布表中的临界值，因的临界值，因此不能拒绝不此不能拒绝不存在趋势项的存在趋势项的零假设。需进零假设。需进一步检验模型一步检验模型2。ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验G
13、DPPGDPPADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPP从从GDPP(-1)的参数值看，的参数值看，其其t统计量的值统计量的值大于临界值，大于临界值，不能拒绝存在不能拒绝存在单位根的零假单位根的零假设。同时，由设。同时，由于常数项的于常数项的t统统计量也小于计量也小于ADF分布表中分布表中的临界值，因的临界值，因此不能拒绝不此不能拒绝不存在趋势项的存在趋势项的零假设。需进零假设。需进一步检验模型一步检验模型1。ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPPADFADF检验在检验在EviewsEviews中的
14、实现中的实现GDPPGDPP从从GDPP(-1)的参数值的参数值看，其看，其t统计统计量的值大于量的值大于临界值，不临界值，不能拒绝存在能拒绝存在单位根的零单位根的零假设。至此，假设。至此，可断定可断定GDPP时间时间序列是非平序列是非平稳的。稳的。ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPP从从GDPP(-1)的的参数值看，其参数值看，其t统统计量的值大于临界计量的值大于临界值，不能拒绝存在值，不能拒绝存在单位根的零假设。单位根的零假设。同时，由于时间项同时，由于时间项项项T的的t统计量也小统计量也小于于AFD分布表中的分布表中的临界值，因此不能临
15、界值，因此不能拒绝不存在趋势项拒绝不存在趋势项的零假设。需进一的零假设。需进一步检验模型步检验模型2。在在1%置信度下。置信度下。从从GDPP(-1)的的参数值看，其统参数值看，其统计量的值大于临计量的值大于临界值，不能拒绝界值，不能拒绝存在单位根的零存在单位根的零假设。同时，由假设。同时，由于常数项的于常数项的t统计统计量也小于量也小于AFD分分布表中的临界值，布表中的临界值，因此不能拒绝不因此不能拒绝不存在趋势项的零存在趋势项的零假设。需进一步假设。需进一步检验模型检验模型1。从从GDPP(-1)的参数值看，的参数值看，其统计量的值其统计量的值大于临界值，大于临界值，不能拒绝存在不能拒绝存
16、在单位根的零假单位根的零假设。至此，可设。至此，可断定断定GDPP时间序列是非时间序列是非平稳的。平稳的。ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验2 2GDPPGDPP从从2GDPP(-1)的参数值的参数值看，其统计量看，其统计量的值小于临界的值小于临界值，拒绝存在值，拒绝存在单位根的零假单位根的零假设。至此，可设。至此，可断定断定2GDPP时间时间序列是平稳的。序列是平稳的。GDPP是是I(2)过程。过程。*4*4、平稳性检验的其它方法、平稳性检验的其它方法PP检验检验（Phillips-Perron）检验模型中不引入滞后项，以避免自由度损失降低检检验模型中不
17、引入滞后项，以避免自由度损失降低检验效力。验效力。直接采用直接采用Newey-West一致估计式作为调整因子，修正一致估计式作为调整因子，修正一阶自回归模型得出的统计量。一阶自回归模型得出的统计量。一种非参数检验方法一种非参数检验方法霍尔工具变量方法霍尔工具变量方法用工具变量法估计用工具变量法估计ADF检验模型。检验模型。用用Xt-k和和Xt-i-k作为作为yt-1和和Xt-i的工具变量。的工具变量。检验统计量仍然服从检验统计量仍然服从ADF分布。分布。DF-GLS 方法方法（Elliott,Rothenberg,Stock,ERS）去势（趋势、均值）。去势（趋势、均值）。对去势后的序列进行对
18、去势后的序列进行ADF型检验。型检验。采用采用GLS估计检验模型。估计检验模型。证明具有更良好的性质。证明具有更良好的性质。KPSS方法方法（Kwiatkowski,Philips,Schmidt,Shin）检验趋势平稳检验趋势平稳非参数检验方法非参数检验方法其它方法其它方法LMC(Leybourne,McCabe)Ng-PerronEviews Eviews 中提供的检验方法中提供的检验方法Eviews Eviews 中提供的滞后阶数选择中提供的滞后阶数选择四、单整、趋势平稳与差分平稳四、单整、趋势平稳与差分平稳1 1、单整、单整（integrated Serial）如如果果一一个个时时间间
19、序序列列经经过过一一次次差差分分变变成成平平稳稳的的，就就称称原原序序列列是是一一阶阶单单整整（integrated of 1）序序列列，记为记为I(1)。一般地，如果一个时间序列经过一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变次差分后变成平稳序列，则称原序列是成平稳序列，则称原序列是d 阶单整阶单整（integrated of d）序列）序列，记为，记为I(d)。例如上述人均例如上述人均GDPGDP序列，即为序列，即为I(2)I(2)序列。序列。I(0)代表一平稳时间序列。代表一平稳时间序列。现现实实经经济济生生活活中中只只有有少少数数经经济济指指标标的的时时间间序序列列表现为平稳的，如利率等表
20、现为平稳的，如利率等;大大多多数数指指标标的的时时间间序序列列是是非非平平稳稳的的，例例如如，以以当当年年价价表表示示的的消消费费额额、收收入入等等常常是是2阶阶单单整整的的，以以不不变变价价格格表表示示的的消消费费额额、收收入入等等常常表表现现为为1阶单整。阶单整。大大多多数数非非平平稳稳的的时时间间序序列列一一般般可可通通过过一一次次或或多多次差分的形式变为平稳的。次差分的形式变为平稳的。但但也也有有一一些些时时间间序序列列，无无论论经经过过多多少少次次差差分分，都都不不能能变变为为平平稳稳的的。这这种种序序列列被被称称为为非非单单整整的的（non-integrated）。2 2、趋势平稳
21、与差分平稳随机过程、趋势平稳与差分平稳随机过程 含有一阶自回归的随机过程：含有一阶自回归的随机过程：如果如果=1，=0，Xt成为一带位移的随机游走过程。根据成为一带位移的随机游走过程。根据的正的正负，负，Xt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为随机性随机性趋势（趋势（stochastic trend）。如果如果=0，0，Xt成为一带时间趋势的随机变化过程。根据成为一带时间趋势的随机变化过程。根据的正负，的正负，Xt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为确确定性趋势（定性趋势（deterministic tre
22、nd）。如果如果=1，0，则，则Xt包含有确定性与随机性两种趋势。包含有确定性与随机性两种趋势。判断一个非平稳时间序列的趋势是随机性的还是确定判断一个非平稳时间序列的趋势是随机性的还是确定性的，可通过性的，可通过ADF检验中所用的第检验中所用的第3个模型进行。个模型进行。该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量，即该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量，即分离出了确定性趋势的影响。分离出了确定性趋势的影响。如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势；势；如果
23、没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于如果没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。零，则该序列显示出确定性趋势。差分平稳过程和趋势平稳过程差分平稳过程和趋势平稳过程具有随机性趋势的时间序列通过差分的方法消除随具有随机性趋势的时间序列通过差分的方法消除随机性趋势。该时间序列称为机性趋势。该时间序列称为差分平稳过程差分平稳过程（difference stationary process）；具有确定性趋势的时间序列通过除去趋势项消除确具有确定性趋势的时间序列通过除去趋势项消除确定性趋势。该时间序列称为定性趋势。该时间序列称为趋势平稳过程（趋势平稳过程（trend st
24、ationary process）。8.2 8.2 随机时间序列分析模型随机时间序列分析模型Stochastic Time Serial ModelStochastic Time Serial Model一、一、时间序列模型概述时间序列模型概述 二、随机时间序列模型的平稳性条件二、随机时间序列模型的平稳性条件三、随机时间序列模型的识别三、随机时间序列模型的识别四、随机时间序列模型的估计四、随机时间序列模型的估计五、随机时间序列模型的检验五、随机时间序列模型的检验说明说明严格从理论体系讲，本节内容属于时间序列分严格从理论体系讲，本节内容属于时间序列分析，但不属于我们所定义的狭义的计量经济学。析，
25、但不属于我们所定义的狭义的计量经济学。本节内容一般不纳入计量经济学的课堂教学内本节内容一般不纳入计量经济学的课堂教学内容，供没有学习过应用数理统计或者经济预测容，供没有学习过应用数理统计或者经济预测课程的同学自学。课程的同学自学。课件只提供一个简单的思路。课件只提供一个简单的思路。一、一、时间序列模型概述时间序列模型概述1、时间序列模型、时间序列模型两类时间序列模型两类时间序列模型时间序列结构模型：时间序列结构模型：通过协整分析，建立反映不同时间通过协整分析，建立反映不同时间序列之间结构关系的模型，揭示了不同时间序列在每个序列之间结构关系的模型，揭示了不同时间序列在每个时点上都存在的结构关系。
26、时点上都存在的结构关系。随机时间序列模型：随机时间序列模型：揭示时间序列不同时点观测值之间揭示时间序列不同时点观测值之间的关系，也称为的关系，也称为无条件预测模型。无条件预测模型。随机性时间序列模型包括：随机性时间序列模型包括：AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)。随机性时间序列模型并不属于现代计量经济学。随机性时间序列模型并不属于现代计量经济学。2、随机时间序列模型的适用性、随机时间序列模型的适用性用于无条件预测用于无条件预测结构模型用于预测的条件：建立正确的结构模型，给定结构模型用于预测的条件：建立正确的结构模型，给定外生变量的预测值。外生变量的预测值。无条件预测模型的优点。无条件预
27、测模型的优点。结构模型的简化形式结构模型的简化形式结构模型经常可以通过约化和简化，变换为随及时间序结构模型经常可以通过约化和简化，变换为随及时间序列模型。列模型。二、随机时间序列模型的平稳性条件二、随机时间序列模型的平稳性条件1 1、AR(p)AR(p)模型的平稳性条件模型的平稳性条件随随机机时时间间序序列列模模型型的的平平稳稳性性，可可通通过过它它所所生生成成的随机时间序列的平稳性来判断。的随机时间序列的平稳性来判断。如如果果一一个个p p阶阶自自回回归归模模型型AR(p)AR(p)生生成成的的时时间间序序列列是是平平稳稳的的，就就说说该该AR(p)AR(p)模模型型是是平平稳稳的的；否则，
28、就说该否则，就说该AR(p)AR(p)模型是非平稳的。模型是非平稳的。考虑考虑p p阶自回归模型阶自回归模型AR(p)AR(p)AR(AR(p p)的特征方程的特征方程 可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于（根的模大于1），则），则AR(p)模型是平稳的。模型是平稳的。容易得到如下平稳性条件容易得到如下平稳性条件2 2、MA(q)MA(q)模型的平稳性模型的平稳性有限阶移动平均模型总是平稳的。有限阶移动平均模型总是平稳的。当滞后期大于q时，X的自协方差系数为0。3、ARMA(p,q)模型的平稳性模型的平稳性ARMA(p,q)平稳性取决
29、于平稳性取决于AR(p)的平稳性。的平稳性。当当AR(p)AR(p)部分平稳时，则该部分平稳时，则该ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型是平模型是平稳的，否则，不是平稳的。稳的，否则，不是平稳的。4 4、总结、总结一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型。的随机过程或模型。一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。如果将一个非平稳时间序列通
30、过如果将一个非平稳时间序列通过d d次差分，将次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型作为它的生成模型，则该原始时间序列是模型作为它的生成模型，则该原始时间序列是一个一个自回归单整移动平均（自回归单整移动平均（autoregressive autoregressive integrated moving averageintegrated moving average）时间序列，记）时间序列，记为为ARIMA(p,d,q)ARIMA(p,d,q)。三、随机时间序列模型的识别三、随机时间序列模型的识别所所谓谓随随机机时时间间序
31、序列列模模型型的的识识别别，就就是是对对于于一一个个平平稳稳的的随随机机时时间间序序列列，找找出出生生成成它它的的合合适适的的随随机机过过程程或或模模型型，即即判判断断该该时时间间序序列列是是遵遵循循一一纯纯ARAR过程、还是遵循一纯过程、还是遵循一纯MAMA过程或过程或ARMAARMA过程。过程。所所使使用用的的工工具具主主要要是是时时间间序序列列的的自自相相关关函函数数（autocorrelation autocorrelation functionfunction，ACFACF）及及偏偏自自相相 关关 函函 数数（partial partial autocorrelation autoc
32、orrelation functionfunction，PACF PACF）。）。1 1、AR(p)AR(p)过程过程自相关函数自相关函数ACFACFk期滞后自协方差 k阶自相关函数 可见，无论可见，无论k k有多大，有多大，k k的计算均与其到的计算均与其到p p阶滞后的自阶滞后的自相关函数有关，因此呈拖尾状。相关函数有关，因此呈拖尾状。如果如果AR(p)AR(p)是平稳的，则是平稳的，则|k k|递减且趋于零。递减且趋于零。偏自相关函数偏自相关函数 自相关函数自相关函数ACF(k)ACF(k)给出了给出了X Xt t与与X Xt-1t-1的总体相关性，的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变
33、量间完全不同的隐但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系。含关系。与之相反，与之相反，X Xt t与与X Xt-kt-k间的间的偏自相关函数偏自相关函数(partial(partial autocorrelationautocorrelation，简记为，简记为PACF)PACF)则是消除了中则是消除了中间变量间变量X Xt-1t-1，X Xt-k+1t-k+1 带来的间接相关后的直带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值接相关性，它是在已知序列值X Xt-1t-1，X Xt-k+1t-k+1的的条件下，条件下，X Xt t与与X Xt-kt-k间关系的度量。间关系的度量。AR(p
34、)AR(p)的一个主要特征是的一个主要特征是:kp:kp时，时，k k*=Corr(*=Corr(X Xt t,X,Xt-kt-k)=0)=0 ，即即 k k*在在p p以后是截尾的。以后是截尾的。随机时间序列的识别原则：随机时间序列的识别原则：若若XtXt的的偏偏自自相相关关函函数数在在p p以以后后截截尾尾，即即kp时时，k*=0=0，而而它它的的自自相相关关函函数数 k是是拖拖尾尾的的，则则此此序列是自回归序列是自回归AR(p)AR(p)序列。序列。2 2、MA(q)MA(q)过程过程MA(q)模型的识别规则：模型的识别规则：若随机序列的自相关若随机序列的自相关函数截尾，即自函数截尾，即
35、自q q以后，以后，k k=0=0（kqkq）；而它的）；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是滑动平均偏自相关函数是拖尾的，则此序列是滑动平均MA(q)MA(q)序列。序列。3 3、ARMA(p,q)ARMA(p,q)过程过程ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的识别规则：模型的识别规则：若随机序列的自若随机序列的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的，则此序相关函数和偏自相关函数都是拖尾的，则此序列是列是ARMA(p,q)ARMA(p,q)序列。序列。实际上，实际上，ARMA(p,q)ARMA(p,q)过程的偏自相关函数，可过程的偏自相关函数，可能在能在p p阶滞后前有几项明显的尖柱（阶滞
36、后前有几项明显的尖柱（spikesspikes），），但从但从p p阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数则是在相关函数则是在q q阶滞后前有几项明显的尖柱，阶滞后前有几项明显的尖柱，从从q q阶滞后项开始逐渐趋向于零。阶滞后项开始逐渐趋向于零。四、随机时间序列模型的估计四、随机时间序列模型的估计AR(p)AR(p)、MA(q)MA(q)、ARMA(p,q)ARMA(p,q)模模型型的的估估计计方方法法较较多，多，大体上分为大体上分为3 3类：类：最小二乘估计；最小二乘估计；矩估计；矩估计；利用自相关函数的直接估计利用自相关函数的直接估计。下面有选择地加以
37、介绍。下面有选择地加以介绍。AR(p)AR(p)模型的模型的Yule WalkerYule Walker方程估计方程估计k=-k此方程组被称为此方程组被称为Yule WalkerYule Walker方程组。该方程方程组。该方程组建立了组建立了AR(p)AR(p)模型的模型参数模型的模型参数 1 1,2 2,p p与自相关函数与自相关函数 1 1,2 2,p p的关系。的关系。MA(q)MA(q)模型的矩估计模型的矩估计将将MA(q)模型的自协方差函数中的各个量用估计模型的自协方差函数中的各个量用估计量代替，得到：量代替，得到：非线性方程组，用直接法非线性方程组，用直接法或迭代法求解。常用的迭
38、或迭代法求解。常用的迭代方法有线性迭代法和代方法有线性迭代法和Newton-RaphsanNewton-Raphsan迭代法。迭代法。ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的矩估计模型的矩估计 在在 ARMA(p,q)中中 共共 有有(p+q+1)个个 待待 估估 参参 数数 1,2,p与与 1,2,q以以及及 2，其其估估计计量量计计算步骤及公式如下：算步骤及公式如下：第一步第一步，估计，估计 1,2,p 第二步，第二步，改写模型，求改写模型，求 1,2,q以及以及 2的估计的估计值值 构成一个构成一个MAMA模型。按照估计模型。按照估计MAMA模型参数的方法，模型参数的方法，可以得到可以
39、得到 1 1,2 2,q q以及以及 2 2的估计值。的估计值。AR(p)AR(p)的最小二乘估计的最小二乘估计解该方程组，就可得到待估参数的估计值。解该方程组，就可得到待估参数的估计值。五、模型的检验五、模型的检验1 1、残差项的白噪声检验、残差项的白噪声检验由于由于ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的识别与估计是在假设随模型的识别与估计是在假设随机扰动项是一白噪声的基础上进行的，因此，机扰动项是一白噪声的基础上进行的，因此，如果估计的模型确认正确的话，残差应代表一如果估计的模型确认正确的话，残差应代表一白噪声序列。白噪声序列。如果通过所估计的模型计算的样本残差不代表如果通过所估计的模
40、型计算的样本残差不代表一白噪声，则说明模型的识别与估计有误，需一白噪声，则说明模型的识别与估计有误，需重新识别与估计。重新识别与估计。在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自相关。相关。可用可用Q QLBLB统计量进行统计量进行 2 2检验：在给定显著性水平检验：在给定显著性水平下，可计算不同滞后期的下，可计算不同滞后期的Q QLBLB值，通过与值，通过与 2 2分布分布表中的相应临界值比较，来检验是否拒绝残差表中的相应临界值比较，来检验是否拒绝残差序列为白噪声的假设。若大于相应临界值，则序列为白噪声的假设。若大于相应临界值，则应拒绝所估计的模型，需重新
41、识别与估计。应拒绝所估计的模型，需重新识别与估计。2 2、AICAIC与与SBCSBC模型选择标准模型选择标准在多组通过识别检验的（在多组通过识别检验的（p,qp,q）值选择最适当）值选择最适当的模型。的模型。常用的模型选择的判别标准有：常用的模型选择的判别标准有：赤池信息法赤池信息法（Akaike information criterion，简记为，简记为AICAIC）与施瓦兹贝叶斯法（与施瓦兹贝叶斯法（Schwartz Bayesian criterion，简记为，简记为SBCSBC）：）：在选择可能的模型时，在选择可能的模型时，AICAIC与与SBCSBC越小越好。越小越好。3.2 协整
42、与误差修正模型协整与误差修正模型Cointegration and Error Correction Model一、长期均衡与协整分析一、长期均衡与协整分析二、协整检验二、协整检验三、误差修正模型三、误差修正模型一、长期均衡与协整分析一、长期均衡与协整分析Equilibrium and Cointegration1、问题的提出、问题的提出经经典典回回归归模模型型（classical classical regression regression modelmodel）是是建建立立在在平平稳稳数数据据变变量量基基础础上上的的，对对于于非非平平稳稳变变量量，不不能能使使用用经经典典回归模型，否则会
43、出现回归模型，否则会出现虚假回归虚假回归等诸多问题。等诸多问题。由由于于许许多多经经济济变变量量是是非非平平稳稳的的，这这就就给给经经典典的的回回归归分分析析方方法带来了很大限制。法带来了很大限制。但但是是，如如果果变变量量之之间间有有着着长长期期的的稳稳定定关关系系，即即它它们们之之间间是是协协整整的的（cointegration)cointegration)，则则是是可可以以使使用用经经典典回回归归模模型型方方法建立回归模型的。法建立回归模型的。例例如如，中中国国居居民民人人均均消消费费水水平平与与人人均均GDPGDP变变量量的的例例子子,从从经经济济理理论论上上说说，人人均均GDPGDP
44、决决定定着着居居民民人人均均消消费费水水平平，它它们们之之间间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的。有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的。经经济济理理论论指指出出，某某些些经经济济变变量量间间确确实实存存在在着着长长期期均均衡衡关关系系，这这种种均均衡衡关关系系意意味味着着经经济济系系统统不不存存在在破破坏坏均均衡衡的的内内在在机机制制，如如果果变变量量在在某某时时期期受受到到干干扰扰后后偏偏离离其其长长期期均均衡衡点点，则则均均衡衡机机制制将将会会在在下下一一期期进进行行调调整整以以使使其其重重新新回回到到均均衡衡状状态。态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述 2 2、长期均衡、长期
45、均衡该均衡关系意味着该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。在在t-1期末，存在下述三种情形之一：期末，存在下述三种情形之一：Y等于它的均衡值：等于它的均衡值：Yt-1=0 0+1 1Xt；Y小于它的均衡值：小于它的均衡值：Yt-1 0 0+1 1Xt；在在时时期期t，假假设设X有有一一个个变变化化量量 Xt，如如果果变变量量X与与Y在在时时期期t与与t-1末末期期仍仍满满足足它它们们间间的的长长期期均均衡衡关关系，即上述第一种情况，则系，即上述第一种情况，则Y的相应变化量为的相应变化量为:vt=t-t-1 如如果果t-1期期末末，发发生生了了上上述述第第二二种种
46、情情况况，即即Y的的值值小小于于其其均均衡衡值值，则则t期期末末Y的的变变化化往往往往会会比比第第一种情形下一种情形下Y的变化大一些；的变化大一些；反反之之，如如果果t-1期期末末Y的的值值大大于于其其均均衡衡值值，则则t期期末末Y的变化往往会小于第一种情形下的的变化往往会小于第一种情形下的 Yt。可可见见，如如果果Yt=0 0+1 1Xt+t t正正确确地地提提示示了了X与与Y间间的的长长期期稳稳定定的的“均均衡衡关关系系”，则则意意味味着着Y对其均衡点的偏离从本质上说是对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性临时性”的。的。一一个个重重要要的的假假设设就就是是:随随机机扰扰动动项项 t t必必
47、须须是是平平稳稳序序列列。如如果果 t t有有随随机机性性趋趋势势（上上升升或或下下降降），则则会会导导致致Y对对其其均均衡衡点点的的任任何何偏偏离离都都会会被被长长期期累积下来而不能被消除。累积下来而不能被消除。式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非非均衡误差（均衡误差（disequilibrium error），它是变量X与Y的一个线性组合：如果如果X与与Y间的长期均衡关系正确，该式表述的非间的长期均衡关系正确，该式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有即是具有0均值的均值的I(0)序列。序列。非稳定的时间序列，
48、它们的线性组合也可能成为非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。平稳的。称变量称变量X与与Y是协整的（是协整的（cointegrated）。）。3 3、协整、协整如果序列如果序列XX1t1t,X,X2t2t,X,Xktkt 都是都是d d阶单整，存在向量阶单整，存在向量=(1 1,2 2,k k)，使得，使得Z Zt t=X XT T I(d-b)I(d-b)，其中，其中，b0b0，X=(XX=(X1t1t,X,X2t2t,X,Xktkt)T T，则认为序列，则认为序列XX1t1t,X,X2t2t,X,Xktkt 是是(d,b)(d,b)阶协整阶协整，记为，记为X XttCI(d,b
49、)CI(d,b)，为协整向量（为协整向量（cointegrated vector）。）。如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。不相同，就不可能协整。3 3个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。可能经过线性组合构成低阶单整变量。（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各两个变量，
50、虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（自的长期波动规律，但是如果它们是（d,dd,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。比例关系。例如，中国例如，中国CPCCPC和和GDPPCGDPPC，它们各自都是，它们各自都是2 2阶单整，如果阶单整，如果它们是它们是(2,2)(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立如下居民人均消费函数模型是合理的。如下居民人均消费函数模型是合理的。尽管两个时间序列是非平稳的