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1、关于导数的几何意义(3)现在学习的是第1页，共37页一、复习一、复习1、导数的定义、导数的定义其中：其中：其几何意义是其几何意义是:表示曲线上两点连线（就是曲线的表示曲线上两点连线（就是曲线的割线割线）的斜率。的斜率。其几何意义是？其几何意义是？现在学习的是第2页，共37页2:切线切线Pl 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线吗？线吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。不能不能xyo直线与圆相切时，只有一
2、个交点直线与圆相切时，只有一个交点P现在学习的是第3页，共37页现在学习的是第4页，共37页现在学习的是第5页，共37页PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T1、曲线上一点的切线的定义、曲线上一点的切线的定义结论结论:当当Q Q点无限逼近点无限逼近P P点时点时,此时此时直线直线PQPQ就是就是P P点处的切线点处的切线PT.PT.点点P处的割线与切线存在什么关系？处的割线与切线存在什么关系？新新课课现在学习的是第6页，共37页xoyy=f(x)设曲线设曲线C是函数是函数y=f(x)的图象，的图象，在曲线在曲线C上取一点上取一点P(x0,y0)及邻近一及邻近一点点Q(x0+x,y0+y),过
3、过P,Q两点作两点作割割线线，当点当点Q沿着曲线沿着曲线无限接近无限接近于点于点P点点P处的处的切线切线。即即x0时时,如果割线如果割线PQ有一个有一个极极限位置限位置PT,那么直线那么直线PT叫做曲线在叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义：曲线在某一点处的切线的定义：xyPQT此处切线定义与以前的定义有何不同？此处切线定义与以前的定义有何不同？现在学习的是第7页，共37页 圆的切线定义并不适用于圆的切线定义并不适用于一般的曲线。一般的曲线。通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割割线趋于的确定位置的直线线趋于的确定位置的直线定义为切线定义为切线（交点可能不（交点可能不惟一）惟一）适用于各种曲线
4、。适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。映了切线的直观本质。现在学习的是第8页，共37页l2l1AB0 xy现在学习的是第9页，共37页xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy割线与切线的斜率有何关系呢？割线与切线的斜率有何关系呢？即：当即：当x0时，割线时，割线PQ的的斜率的极限斜率的极限就是曲线在点就是曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率，现在学习的是第10页，共37页现在学习的是第11页，共37页xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T继续观察图像的运动过程，还有什么发现？继续观察图像的运动过程，还有什么发现？现在学习的是第12页
5、，共37页现在学习的是第13页，共37页当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个极限位置有一个极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的斜率的斜率,称为称为曲线在点曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切切线斜率的本质线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限.要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有
6、关与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限来判断与求解要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限如有极限,则在此点有切则在此点有切线线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;3)曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个可以有多个,甚至甚至可以无穷多个可以无穷多个.现在学习的是第14页，共37页 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲线处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在在点点P(x0,f(x
7、0)处的切线的斜率是处的切线的斜率是 ：.故曲线故曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:题题型三：型三：导导数的几何意数的几何意义义的的应应用用现在学习的是第15页，共37页例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点x=1处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出该点的坐标求出该点的坐标;利用该点切线的斜率等于函数在该点的导数利用该点切线的斜率等于函数在该点的导数;利用点斜式求切线方程利
8、用点斜式求切线方程.题型一求曲线的切线方程题型一求曲线的切线方程导导数的几何意数的几何意义义的的应应用用现在学习的是第16页，共37页现在学习的是第17页，共37页练习：已知曲线yx2，求曲线过点P(3,5)的切线方程现在学习的是第18页，共37页现在学习的是第20页，共37页现在学习的是第21页，共37页现在学习的是第22页，共37页现在学习的是第23页，共37页现在学习的是第24页，共37页现在学习的是第25页，共37页现在学习的是第26页，共37页hto现在学习的是第27页，共37页跟踪训练2已知yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()解析答案返回A.f(xA)
9、f(xB)B.f(xA)f(xB)C.f(xA)f(xB)D.不能确定解析由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f(xA)f(xB).B现在学习的是第29页，共37页现在学习的是第30页，共37页现在学习的是第31页，共37页现在学习的是第32页，共37页二、函数的导数：二、函数的导数：现在学习的是第33页，共37页在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数函数导函数函数导函数由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当时当时,f(x0)是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化
10、时变化时,便是便是x的的一个函数一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:现在学习的是第34页，共37页函数在点函数在点 处的导数处的导数 、导函数、导函数 、导数、导数 之间的区别之间的区别与联系。与联系。1）函数在一点）函数在一点 处的导数处的导数 ，就是在该点的函数的改变，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数常数，不是变数。，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内）函数的导数，是指某一区间内任意点任意点x而言的，而言的，就是函就是函数数f(x)的导函数的导函数 .3）函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。现在学习的是第35页，共37页现在学习的是第36页，共37页2022/9/30感谢大家观看现在学习的是第37页，共37页