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1、关于二重积分计算关于二重积分计算第1页，讲稿共31张，创作于星期一播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第2页，讲稿共31张，创作于星期一步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积第3页，讲稿共31张，创作于星期一求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作
2、均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量第4页，讲稿共31张，创作于星期一二、二重积分的概念二、二重积分的概念第5页，讲稿共31张，创作于星期一积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素第6页，讲稿共31张，创作于星期一对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时
3、，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值第7页，讲稿共31张，创作于星期一 在直角坐标系下用平行在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区于坐标轴的直线网来划分区域域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D则面积元素为则面积元素为第8页，讲稿共31张，创作于星期一性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质第9页，讲稿共31张，创作于星期一性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质若若 为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上特殊地特殊地则有则有第10页
4、，讲稿共31张，创作于星期一性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）第11页，讲稿共31张，创作于星期一如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型3.2 二重积分的计算二重积分的计算第12页，讲稿共31张，创作于星期一应用计算应用计算“平行截面平行截面面积为已知的立体求面积为已知的立体求体积体积”的方法的方法,得得第13页，讲稿共31张，创作于星期一如果积分区域为：如果积分区域为：Y型型第14页，讲稿共31张，创作于星期一 X型区域
5、的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与轴的直线与区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线与轴的直线与区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式则必须分割则必须分割.第15页，讲稿共31张，创作于星期一例例1 计算计算其中其中 是由直线是由直线和和 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解如图如图,既是既是 型型,又是又是 型型.若视为若视为型型,则则原式原式第16页，讲稿共31张，创作
6、于星期一例例1 计算计算其中其中 是由直线是由直线和和 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解若视为若视为型型,则则原积分原积分若视为若视为型型,则则分次序对重积分的计算非常重要分次序对重积分的计算非常重要.故合理选择积故合理选择积其中关于其中关于的积分计算比较麻烦的积分计算比较麻烦,第17页，讲稿共31张，创作于星期一解解第18页，讲稿共31张，创作于星期一例例3计算二重积分计算二重积分其中其中 是由抛物线是由抛物线及直线及直线 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解如图如图,(见见P141图图3-12)既是既是 型型,也是也是 型型.但易见选择前者计算但易见选择前者计算较麻烦较麻烦,需将积分区域划
7、分为两部分来计算需将积分区域划分为两部分来计算,择后者择后者.故选故选第19页，讲稿共31张，创作于星期一例例3计算二重积分计算二重积分其中其中 是由抛物线是由抛物线及直线及直线 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解如图如图,(见见P141图图3-11)既是既是 型型,也是也是 型型.但易见选择前者计算但易见选择前者计算较麻烦较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算需将积分区域划分为两部分来计算,择后者择后者.故选故选第20页，讲稿共31张，创作于星期一例例4 计算二重积分计算二重积分其中区域其中区域是是由由围成的矩形围成的矩形.如图如图,因为因为是矩形区域是矩形区域,且且所以所以解解第21页，讲
8、稿共31张，创作于星期一解解第22页，讲稿共31张，创作于星期一例例6 交换二次积分交换二次积分的积分次序的积分次序.解解题设二次积分的积分限题设二次积分的积分限:可改写为可改写为:所以所以第23页，讲稿共31张，创作于星期一例例7交换二次积分交换二次积分的积分次序的积分次序.解解题设二次积分的积分限题设二次积分的积分限:可改写为可改写为所以所以原式原式第24页，讲稿共31张，创作于星期一二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分第25页，讲稿共31张，创作于星期一二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图第26页，讲稿共31张，创作于星期一二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图第27页，讲稿共31张，创作于星期一注：极坐标系下区域的面积注：极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图第28页，讲稿共31张，创作于星期一解解第29页，讲稿共31张，创作于星期一解解第30页，讲稿共31张，创作于星期一感感谢谢大大家家观观看看第31页，讲稿共31张，创作于星期一