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1、第2章矩阵的初等变换与线性方程组本讲稿第一页，共五十七页2.1初等变换与矩阵等价初等变换与矩阵等价定义定义 2.1对对矩矩阵阵施施行行下下列列三三种种变变换换称称为为矩矩阵阵的的初初等等行变换行变换(1)互换两行互换两行 (记作记作 ri rj);(2)以数以数 0 乘以某一行乘以某一行 (记作记作 ri);(3)将将第第 j 行行各各元元素素乘乘以以数数 后后加加到到第第 i 行行的的对对应应元元素素上上去去(记作记作 ri+rj)相应地，矩阵的三种初初等等列列变变换换的记号只需将 r 换换成成 c。本讲稿第二页，共五十七页定义定义 2.2如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换后变经过有限次初
2、等变换后变成成B，则称矩阵，则称矩阵A与与B等价，记为等价，记为AB。等价关系具有下列性质：等价关系具有下列性质：（1）反身性，即）反身性，即AA；（2）对称性，即若）对称性，即若AB，则，则BA；（3）传递性，即若）传递性，即若AB，BC，则，则AC。本讲稿第三页，共五十七页2.22.2 矩阵的标准型矩阵的标准型一、阶梯形矩阵一、阶梯形矩阵满足以下条件的矩阵满足以下条件的矩阵A被称为被称为阶梯形矩阵阶梯形矩阵：（1）A中若有零行（元素全为零的行），则零行以下的中若有零行（元素全为零的行），则零行以下的行全为零行；行全为零行；（2）非零行中左起第一个不为令的元素（称为首非）非零行中左起第一个不
3、为令的元素（称为首非零元）的位置按从上到下往右移动，即上一行的首非零元）的位置按从上到下往右移动，即上一行的首非零元在下一行首非零元的左上方。零元在下一行首非零元的左上方。例如：例如：本讲稿第四页，共五十七页都是阶梯形矩阵，而矩阵都不是阶梯形矩阵。本讲稿第五页，共五十七页二.矩阵的标准形左上角为单位矩阵，其余元素全为零的矩阵称为标准形矩阵，即标准形矩阵具有如下的形式：三、定理定理2.1 任何非零矩阵都可以仅用初等行变换化为阶梯形矩阵。定理2.2 任何非零矩阵都可以用初等变换化为标准形。本讲稿第六页，共五十七页例 设试用初等行变换把A化成阶梯型矩阵。解本讲稿第七页，共五十七页本讲稿第八页，共五十
4、七页进一步，可再施行列变换把进一步，可再施行列变换把B化为标准型：化为标准型：本讲稿第九页，共五十七页本讲稿第十页，共五十七页2.3 初等矩阵初等矩阵定义定义1.4.6由由单单位位矩矩阵阵 E 经经过过一一次次初初等等变变换换得得到到的的矩阵称为矩阵称为初等矩阵初等矩阵。定理定理2.3 n阶方阵阶方阵A为可逆矩阵的充要条件是为可逆矩阵的充要条件是A的标的标准形为单位矩阵。准形为单位矩阵。本讲稿第十一页，共五十七页(1)ri rjci cj 也得到也得到 E(i,j)第 i 行第 j行本讲稿第十二页，共五十七页(2)ri ci 也得到也得到 E(i()00第 i 行本讲稿第十三页，共五十七页(3
5、)ri+rj cj+ci 也得到也得到 E(i,j()第 i 行第 j 行本讲稿第十四页，共五十七页1.初等矩阵都是可逆矩阵，初等矩阵都是可逆矩阵，2.初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵初等矩阵的性质初等矩阵的性质本讲稿第十五页，共五十七页定理定理2.4对对A施施行行一一次次初初等等行行变变换换，相相当当于于在在A的的左左侧侧乘乘以以一一个个相应的初等矩阵相应的初等矩阵；对对A施施行行一一次次初初等等列列变变换换，相相当当于于在在A的的右右侧侧乘乘以以一一个个相相应的初等矩阵应的初等矩阵；例如：例如：设设A是一个是一个 m n 矩阵矩阵本讲稿第十六页，共五十七页(1)
6、Ar1 r2E(1,2)A本讲稿第十七页，共五十七页(2)Ac3 c4A E(3,4)本讲稿第十八页，共五十七页定定理理2.5 若若方方阵阵A可可逆逆，则则存存在在有有限限个个初初等等矩矩阵阵 P1,P2,Pm,使使 A=P1 P2 Pm证：因为A可逆，则 r(A)=n，标准形为 En，必然Q1 Q2 QsAQs+1 Qm=En即得证存在有限次初等变换使A化为En，Q1，Q2，Qm，使故存在有限个初等矩阵本讲稿第十九页，共五十七页定定理理2.6 A、B都都为为mn矩矩阵阵，则则AB的的充充要要条条件件是是存存在在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P和和n阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q，使得，使得PAQ=B.本讲稿
7、第二十页，共五十七页表示为：表示为：A=P1 P2 PmEAEA1(A E)(E A1)初等行变换利用初等行变换求逆矩阵利用初等行变换求逆矩阵本讲稿第二十一页，共五十七页例例设求 A1.解：r22r1r33r1本讲稿第二十二页，共五十七页r1 2r3r2 5r3r1+r2r3 r2本讲稿第二十三页，共五十七页故本讲稿第二十四页，共五十七页对对 A 也可通过初等列变换求也可通过初等列变换求 A1初等列变换A=P1 P2 Pm注：注：表示为：表示为：EAEA1本讲稿第二十五页，共五十七页2.4 矩阵的秩矩阵的秩1.k 阶子式阶子式设设 A 为为 mn 矩矩阵阵，在在 A 中中任任取取 k 行行 k
8、 列列(1 k min(m,n)，由由这这 k 行行，k 列列的的交交叉叉处处的的 k2 个个元元素素(按按原原来来的的前前后后顺顺序序)所所构构成成的的 k 阶阶行行列列式式，称为矩阵称为矩阵A的一个的一个 k 阶子式。阶子式。本讲稿第二十六页，共五十七页例如：例如：一个2阶子式本讲稿第二十七页，共五十七页例如：例如：一个2阶子式一个3阶子式本讲稿第二十八页，共五十七页(1)A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式(2)当 A 为 n 阶方阵时，n 阶子式即为|A|注：(3)当 A 为 mn 阶方阵时，A共有 个k 阶子式。本讲稿第二十九页，共五十七页2.矩阵的秩矩阵的秩例如：例如：
9、r(A)=3 定义定义2.4矩矩阵阵A的的不不为为0的的子子式式的的最最高高阶阶数数称称为为矩矩阵阵A的的秩秩，记记为为r(A)。(显然显然 r(A)min(m,n)本讲稿第三十页，共五十七页规定：规定：注：注：(1)非奇异矩阵A，有|A|0，A的秩就等于它的阶数，A又称为满秩矩阵满秩矩阵。(2)奇异矩阵A，也称为降秩矩阵降秩矩阵。定理定理2.7 若矩阵若矩阵 A 中至少有一个中至少有一个 k 阶子式阶子式D不为不为0，而包含而包含D的所有的所有 k+1 阶子式全为阶子式全为0，则，则 r(A)=k。零矩阵的秩为0，即 r(O)=0例2.3（P.41）本讲稿第三十一页，共五十七页3.初等变换求
10、矩阵的秩初等变换求矩阵的秩定理定理2.8 对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变例：例：解：解：本讲稿第三十二页，共五十七页阶梯形阶梯形r(A)=3本讲稿第三十三页，共五十七页进一步进一步AA的标准形标准形注：若注：若A 为为 n 阶满秩方阵，则其标准形为阶满秩方阵，则其标准形为 n 阶单位阵阶单位阵E。本讲稿第三十四页，共五十七页定理定理2.9 一个矩阵的标准形是唯一的。一个矩阵的标准形是唯一的。本讲稿第三十五页，共五十七页2.5 2.5 线性方程组有解的判定定理线性方程组有解的判定定理本讲稿第三十六页，共五十七页一、线性方程组的基本形式一、线性方程组的基本形式 a
11、11x1+a1nxn=b1,a21x1+a2nxn=b2,am1x1+amnxn=bm,(3.1.1)的方程组，称为的方程组，称为n个未知数个未知数m个方程的线性方程组。个方程的线性方程组。形如形如当当b1,b2,bm全为全为0时，方程（时，方程（3.1.1）成为）成为本讲稿第三十七页，共五十七页令令A=(aij)mn,X=x1,x2,xnT,b=b1,b2,bmT则得（则得（3.1.1）矩阵形式）矩阵形式Ax=b(3.1.3)a21x1+a2nxn=0,am1x1+amnxn=0,(3.1.2)a11x1+a1nxn=0,称为（称为（3.1.1）对应的齐次线性方程组。）对应的齐次线性方程组。
12、二、齐次线性方程组解的存在性二、齐次线性方程组解的存在性 显然，齐次线性方程组总有零解。一般有如显然，齐次线性方程组总有零解。一般有如下结论：下结论：本讲稿第三十八页，共五十七页 定理定理2.10 对于对于n元齐次方程组元齐次方程组 Ax=0.设设 r(A)=r,则则(I)r=n，有唯一解，有唯一解(即零解即零解)；(II)r n，有无穷解，即有非零解，有无穷解，即有非零解.例例 设设A是是n阶方阵，证明，存在一个阶方阵，证明，存在一个ns矩阵矩阵B0，使得，使得AB=0的充要条件是的充要条件是A=0。证证 将将B按行分块按行分块B=（1,2,s）,则则齐齐次次线线性方程性方程组组Ax=0的解
13、的解.AB=A（1,2,s）=（A1,A2,As）故故AB=0等价于等价于Ai=0(i=1,2,s),即即B的每一列都是的每一列都是本讲稿第三十九页，共五十七页若若AB=0,B0,则则Ax=0有非零解有非零解,故故r n，从而从而|A|=0;|A|=0;反之反之,若若|A|=0，则，则Ax=0有非零解。取有非零解。取Ax=0的的 s 个非零解个非零解作为作为B的的 s 个列个列,则则B0,但但AB=0.本讲稿第四十页，共五十七页定理定理3.1.5 线性方程组线性方程组(3.1.1)有解有解 且当且当 r(A)=r(A,b)=r 时，方程组时，方程组(3.1.1)有有 n r 个自由变量个自由变
14、量(自由未知数自由未知数).故有故有(I)r=n时，时，(II)rn 时，时，方程组有无穷个解方程组有无穷个解.自由变量个数为零，方程组有唯一解自由变量个数为零，方程组有唯一解.r(A)=r(A,b)三、非齐次线性方程组解的存在性三、非齐次线性方程组解的存在性本讲稿第四十一页，共五十七页推论推论3.1.6 若若r(A)r(A,b)，则方程组，则方程组(3.1.1)无解。无解。推论推论3.1.7 方程组方程组Ax=b有唯一解的充要条件是有唯一解的充要条件是r(A)=r(A,b)=n（未知数的个数）。（未知数的个数）。推论推论3.1.8 当当A为方阵时，方程组为方阵时，方程组Ax=b有唯一解的有唯
15、一解的充要条件是充要条件是A的行列式不等于的行列式不等于0，此时，此时x=A-1b。本讲稿第四十二页，共五十七页例例1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组x1 x2+2x4+x5=0,3x1 3x2+7x4=0,x1 x2+2x3+3x4+2x5=0,2x1 2 x2+2x3+7x4 3x5=0.解解：本讲稿第四十三页，共五十七页1 1 0 2 10001300211002351 1 0 2 1002110001300026本讲稿第四十四页，共五十七页1 1 0 2 1002110001 300000令令 x2,x5 为自由变量，简化方程变为为自由变量，简化方程变为令令得得 x1=1,x3=
16、0,x4=0;1 1 0 2 1002110001 30002 6原方程可化简为原方程可化简为本讲稿第四十五页，共五十七页令令得得 x1=7,x3=2,x4=3.则得基础解系为则得基础解系为方程组通解为方程组通解为 k1 1+k2 2.本讲稿第四十六页，共五十七页例例2 求解求解x1+3 x2 x3+2x4 x5=4，3x1+x2+2x3 5x4 4x5=1，2x1 3x2 x3 x4+x5=4，4x1+16 x2+x3+3x4 9x5=21.解：解：本讲稿第四十七页，共五十七页本讲稿第四十八页，共五十七页本讲稿第四十九页，共五十七页原方程组可化简为原方程组可化简为对应的奇次方程组为对应的奇次
17、方程组为即即本讲稿第五十页，共五十七页在方程组中令在方程组中令 x4,x5 为自由变量为自由变量.取取 x1=27,x2=4,x3=41;得得取取得得 x1=22,x2=4,x3=33.在简化的齐次方程组中，在简化的齐次方程组中，本讲稿第五十一页，共五十七页得基础解系得基础解系本讲稿第五十二页，共五十七页对于非齐次阶梯方程组中令对于非齐次阶梯方程组中令 x4=x5=0.得一特解得一特解:故原方程组通解为故原方程组通解为x=k1 1+k2 2+0.本讲稿第五十三页，共五十七页 例例2.7当当a、b为何值时，方程组为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出解。无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出解。解解本讲稿第五十四页，共五十七页（1）当）当b=0时，时，R(A)=2R(A,b)=3,原方程无解；原方程无解；（2）当）当b0时，时，当当a1时，时，R(A)=R(A,b)=3,方程组有唯一解。阶梯型矩方程组有唯一解。阶梯型矩阵对应的同解方程组为阵对应的同解方程组为本讲稿第五十五页，共五十七页解之得解之得R(A)=2，R(A,b)=3,方程组无解；方程组无解；R(A)=R(A,b)=2,方程组有无穷多组解：方程组有无穷多组解：本讲稿第五十六页，共五十七页阶梯型矩阵对应的同解方程组为阶梯型矩阵对应的同解方程组为由此得通解为由此得通解为本讲稿第五十七页，共五十七页