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1、第三章第三章 矩阵的初等变换与线矩阵的初等变换与线性方程组性方程组本讲稿第一页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组引例引例求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程第第9讲讲 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一一 线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换本讲稿第二页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组解解本讲稿第三页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第
2、三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：本讲稿第四页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组于是解得于是解得（2 2）本讲稿第五页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组小结：小结：1 1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1 1）交换方程次
3、序；）交换方程次序；（2 2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3 3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）本讲稿第六页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组3 3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换是同解变换本讲稿第七页，共七十
4、一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(B(方程组方程组（1 1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换本讲稿第八页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组定义定义1 1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下
5、面三种变换称为矩阵的初等行变换:二二 矩阵的初等变换矩阵的初等变换本讲稿第九页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相且变换类型相同同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r r”换成换成“c c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换矩阵的初等行变换与初等列变换矩阵的初等行变换与初等列变换统称为统称为初等变换初等变换.elementary transformation本讲稿第十页，共七十一页4/
6、12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价本讲稿第十一页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1 1）：）：本讲稿第十二页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵
7、的初等变换与线性方程组组本讲稿第十三页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组本讲稿第十四页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组本讲稿第十五页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组特点：特点：（1 1）、可划出一）、可划出一条阶梯线，线的条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零；（2 2）、每个台）、每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非
8、零行的行数，阶梯线的竖线后面的第台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元本讲稿第十六页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形本讲稿第十七页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河
9、北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组例如例如，本讲稿第十八页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最是这个等价类中最简单的矩阵简单的矩阵.本讲稿第十九页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组(2)的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在n阶
10、可逆阵阶可逆阵Q，A Bc(3)的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在m阶可逆阵阶可逆阵P三三 初等变换的基本性质初等变换的基本性质及及n阶可逆阵阶可逆阵Q,使得使得(1)的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在m阶可逆阵阶可逆阵P，rA B定理定理1 设设A与与B为为 矩阵，矩阵，使得使得使得使得推论推论 方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 A Er本讲稿第二十页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组如果如果A经一系列初等行变换变为经一系列初等行变换变为B，则有可逆矩阵，则有可逆矩阵P使得
11、使得那么，如何求出可逆矩阵那么，如何求出可逆矩阵P?如果对（如果对（A,E）作初等变换，那么，当）作初等变换，那么，当A变成变成B是，是，E就变成就变成了了P，也就是可逆阵，也就是可逆阵P。本讲稿第二十一页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组 解解例例四四 利用初等变换求逆矩阵及相关问题利用初等变换求逆矩阵及相关问题本讲稿第二十二页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组本讲稿第二十三页，共七十一页4/12/2023河北科大
12、理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组即即初等行变换初等行变换本讲稿第二十四页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组例例解解本讲稿第二十五页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组本讲稿第二十六页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组本讲稿第二十七页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北
13、科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组列变换列变换列变换列变换本讲稿第二十八页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组解解例例3本讲稿第二十九页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组本讲稿第三十页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组本讲稿第三十一页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学
14、院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组四四 利用初等变换求逆矩阵及相关问题利用初等变换求逆矩阵及相关问题例例1 设设 求求r?本讲稿第三十二页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组r例例2 设设 的行最简形为的行最简形为F，求，求F,并求一个可逆阵并求一个可逆阵P，使得，使得PA=F?PA=F(行最简形行最简形),本讲稿第三十三页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组注注 对于矩阵方程对于矩阵
15、方程只需转置只需转置:例例3 解矩阵方程解矩阵方程AX=B,其中其中r的解的解.例例4 设设求线性方程组求线性方程组AX=B，X?本讲稿第三十四页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组一一 矩阵秩的定义矩阵秩的定义第第10讲讲 矩阵的秩矩阵的秩本讲稿第三十五页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组本讲稿第三十六页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方
16、程组方程组例例5.1解解本讲稿第三十七页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组例例5.2解解本讲稿第三十八页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组例例5.35.3解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，本讲稿第三十九页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组另解另解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此方法简单！本讲稿第四十页，共七十一页
17、4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组定理定理3 若若 则则推论推论 若若P、Q可逆，则可逆，则R(PAQ)=R(A)例例6 设设A为为 矩阵矩阵,R(A)=2,求求R(AB).二二 初等变换法求矩阵的秩初等变换法求矩阵的秩本讲稿第四十一页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组初等变换法初等变换法:用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵,则行阶梯形矩阵则行阶梯形矩阵中中非零行的行数非零行的行数就是就是矩阵的
18、秩矩阵的秩.例例7 求矩阵求矩阵的秩的秩.例例8 设设 已知已知R(A)=2，求，求 及及 本讲稿第四十二页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例7解解本讲稿第四十三页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组本讲稿第四十四页
19、，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组本讲稿第四十五页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组本讲稿第四十六页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知本讲稿第四十七页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组
20、本讲稿第四十八页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.本讲稿第四十九页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组本讲稿第五十页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组三三 常用的矩阵秩不等式常用的矩阵秩不等式l l l 当当 时，时，l 例例9 设设A为为n阶矩阵，证明阶矩阵
21、，证明例例10 设设 且且 则则列满秩列满秩以后陆续证明以后陆续证明本讲稿第五十一页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组对于线性方程组对于线性方程组Ax=b,(1)当当 时时,方程组无解方程组无解;(2)当当 时时,方程组有解方程组有解;时时,有无限多个解有无限多个解.且且 时时,有唯一解有唯一解,第第11讲讲 线性方程组的解线性方程组的解相容相容 不相容不相容特解特解 通解通解不妨设不妨设R(A)=r.的行最简形为的行最简形为本讲稿第五十二页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章
22、第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组重要定理重要定理定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的.定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零.定理定理3 3 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 没有非零解没有非零解.定理定理4 4 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 有非零解有非零解,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零.本讲稿第五十
23、三页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组(1)无解无解的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)R(A,b);一一 线性方程组解的判别定理线性方程组解的判别定理定理定理4 n元线性方程组元线性方程组 Ax=b(2)有惟一解有惟一解的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n;(3)有无限多解有无限多解的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n.(或：有解的充分必要条件是或：有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)推论推论1 Ax=0有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是
24、R(A)n 推论推论2 AX=B有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)例例11 证明证明本讲稿第五十四页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组例例1212 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二二 求解线性方程组求解线性方程组本讲稿第五十五页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组本讲稿第五十六页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理
25、学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组由此即得由此即得本讲稿第五十七页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组例例13 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，故方程组无解故方程组无解本讲稿第五十八页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组例例14 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变
26、换本讲稿第五十九页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组故方程组有解，且有故方程组有解，且有本讲稿第六十页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组所以方程组的通解为所以方程组的通解为本讲稿第六十一页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组例例15 解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为本讲
27、稿第六十二页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组本讲稿第六十三页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组由此得通解：由此得通解：本讲稿第六十四页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组例例16 设有线性方程组设有线性方程组解解本讲稿第六十五页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学
28、院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组本讲稿第六十六页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组其通解为其通解为本讲稿第六十七页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组这时又分两种情形：这时又分两种情形：本讲稿第六十八页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组本讲稿第六十九页，共七十一页4/12/2023河北科大理学院河北科大理学院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性矩阵的初等变换与线性方程组方程组例例12 求求解齐次线性方程组解齐次线性方程组例例13 求求解非齐次线性方程组解非齐次线性方程组本讲稿第七十页，共七十一页4/12/2023河北科大理学河北科大理学院院第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程矩阵的初等变换与线性方程组组例例14 设有线性方程组设有线性方程组问问 取何值时取何值时,此方程组此方程组(3)有无限多解有无限多解?并在有无限多解时求其通解并在有无限多解时求其通解.(1)有惟一解有惟一解;(2)无解无解;本讲稿第七十一页，共七十一页