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1、第2章组合逻辑电路本讲稿第一页，共五十四页2022/9/292习题习题完成第完成第2章练习章练习9,23,24,30,34,38,39.第第2 2章章 组合逻辑电路（续）组合逻辑电路（续）本讲稿第二页，共五十四页2022/9/2932.12.1二值逻辑和逻辑门二值逻辑和逻辑门本讲稿第三页，共五十四页2022/9/2942.2 2.2 布尔（逻辑）代数布尔（逻辑）代数l 逻辑代数逻辑代数 逻辑代数是一个由逻辑变量集逻辑代数是一个由逻辑变量集K，常量，常量0和和1以及以及“与与”、“或或”、“非非”3种基本运算构成的一个封闭的代数系统，记为种基本运算构成的一个封闭的代数系统，记为L=K,+,-,0
2、,1。这个系统满足下列公理。这个系统满足下列公理。l（A1）如果）如果X1，则，则X0；（；（A1）如果）如果X0，则，则X1。（。（开关变量开关变量X的取值的取值特性）特性）l（A2）如果）如果X0，则，则X1；（；（A2）如果）如果X1，则，则X 0。（。（反相器的功能特反相器的功能特性）性）“与与”和和“或或”操作的特性操作的特性l（A3）000；（A3）111l（A4）111；（A4）000l（A5）01100；（A5）10011布尔布尔 18541854本讲稿第四页，共五十四页2022/9/2952.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）l布尔函数的举例布尔函数的举
3、例-电动车窗电动车窗 一键开窗下降键机械开关本讲稿第五页，共五十四页2022/9/296l 逻辑变量逻辑变量 仅取值仅取值0或取值或取值1的变量。的变量。0和和1无大小之分，代表着矛盾的双方。例如开关的接通无大小之分，代表着矛盾的双方。例如开关的接通与断开，信号的有和无，电灯的亮和灭等等。与断开，信号的有和无，电灯的亮和灭等等。2.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）l 基本逻辑运算基本逻辑运算l“与与”运算运算-如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，这种如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，这种因果关系称为因果关系称为“与与”逻辑。
4、逻辑。“与与”逻辑关系用逻辑关系用“与与”运算描述。运算描述。“与与”运算又称逻辑运算又称逻辑乘，其运算符乘，其运算符“”或或“”。两变量的。两变量的“与与”运算可表示为运算可表示为 FA B 或者或者 F=A B，读作，读作“F等于等于A与与B”。数字系统中实现数字系统中实现“与与”运算的逻辑电路称为运算的逻辑电路称为“与门与门”。A B F0 0 00 1 01 0 01 1 1“与与 运算表运算表UABF本讲稿第六页，共五十四页2022/9/297l 基本逻辑运算基本逻辑运算l“或或”运算运算-如果决定某一事件发生的多个条件，只要有一个或一个以上的如果决定某一事件发生的多个条件，只要有一
5、个或一个以上的条件成立，事件便可发生，这种因果关系称之为条件成立，事件便可发生，这种因果关系称之为“或或”逻辑。逻辑。“或或”逻辑逻辑关系用关系用“或或”运算描述。运算描述。“或或”运算又称逻辑加，其运算符为运算又称逻辑加，其运算符为“+”或或“”。两个变量的。两个变量的“或或”运算可表示为运算可表示为:F=A+B 或者或者 F=A B，读作，读作“F等于等于A或或B”。数字系统中实现数字系统中实现“或或”运算的逻辑电路称为运算的逻辑电路称为“或门或门”。A B F0 0 00 1 11 0 11 1 1 或或 运算表运算表AUBF2.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）本
6、讲稿第七页，共五十四页2022/9/298l 基本逻辑运算基本逻辑运算l“非非”运算运算-如果某一事件的发生取决于条件的否定，则这种因果关系称为如果某一事件的发生取决于条件的否定，则这种因果关系称为“非非”逻辑。逻辑。“非非”逻辑用逻辑用“非非”运算描述。运算描述。“非非”运算又称求反运算，运算运算又称求反运算，运算符为符为“”或或“”。“非非”运算可表示为运算可表示为 ，读作，读作“F等于等于A非非”。数字系统中实现数字系统中实现“非非”运算的逻辑电路称为运算的逻辑电路称为“非门非门”。“非非 运算表运算表A F0 11 0UAFl 逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑函数及逻辑函数间的相等l 逻
7、辑函数逻辑函数-设电路的输入逻辑变量为设电路的输入逻辑变量为A1,A2,An,输出逻辑变量为输出逻辑变量为F。如果当。如果当A1,A2,An的值确定后，的值确定后，F的值就唯一地被定下来，则的值就唯一地被定下来，则F称为称为A1,A2,An,的逻辑函数，记为的逻辑函数，记为F=f(A1,A2,An)。2.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）本讲稿第八页，共五十四页2022/9/299l 逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑函数及逻辑函数间的相等l 逻辑电路的功能可由相应的逻辑函数完全描述。逻辑电路的功能可由相应的逻辑函数完全描述。l 逻辑函数的相等逻辑函数的相等-设有两个逻辑函数
8、设有两个逻辑函数 F1=f1(A1,A2,An),F2=f2(A1,A2,An)若对应于若对应于A1,A2,An的任何一组取值，的任何一组取值，F1 和和F2的值都相同，则称的值都相同，则称 函数函数F1和函数和函数F2相等，记作相等，记作F1=F2。2.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）本讲稿第九页，共五十四页2022/9/2910l 公理（公理（5条）条）基本公式基本公式l（A1）如果）如果X1，则，则X0；（；（A1）如果）如果X0，则，则X1。（。（开关变量开关变量X的取值的取值特性）特性）l（A2）如果）如果X0，则，则X1；（；（A2）如果）如果X1，则，则X
9、 0。（。（反相器的功能特反相器的功能特性）性）“与与”和和“或或”操作的特性操作的特性l（A3）000；（A3）111l（A4）111；（A4）000l（A5）01100；（A5）100112.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）本讲稿第十页，共五十四页2022/9/2911l 单变量定理单变量定理l 可用完备归纳法证明可用完备归纳法证明基本公式基本公式2.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）本讲稿第十一页，共五十四页2022/9/2912l 二变量和三变量定理二变量和三变量定理l 运算优先顺序运算优先顺序l 分配律分配律l 定理定理T9和和T10广泛
10、地用来简化逻辑函数。广泛地用来简化逻辑函数。基本公式基本公式2.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）本讲稿第十二页，共五十四页2022/9/2913l n变量定理变量定理l 可用有限归纳法证明可用有限归纳法证明例：证明例：证明 XX XX 1、当、当n2时，时，X+X=X （T3）2、设当、设当ni时，时，X+X+X=X3、则当、则当ni+1时，时，X+X+X+X=X+(X+X+X)（T7）=X+X=X基本公式基本公式2.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）本讲稿第十三页，共五十四页2022/9/2914l 代入规则代入规则-任何一个含有变量任何一个含有
11、变量A的逻辑等式，如果将所有出现的逻辑等式，如果将所有出现A的位的位置都代之以同一个逻辑函数置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。，则等式仍然成立。例如：给定逻辑等式例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若用，若用A+BC代替代替A，则该等，则该等式仍然成立，即：式仍然成立，即：(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C 同理，因为同理，因为X+X=1，所以有：，所以有：f(A1,A2,An)+f(A1,A2,An)=1重要规则重要规则2.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）本讲稿第十四页，共五十四页2022/9/2915l 反演规则反演规则-如果将
12、逻辑函数如果将逻辑函数F中所有的中所有的“”变成变成“+”,“+”变成变成“”,“0”变成变成“1”,“1”变成变成“0”,原变量变成反变量，反变量变原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得到的新函数是原函数的反函数成原变量，所得到的新函数是原函数的反函数 F。（。（德德摩根定理摩根定理T13、T14）例如：已知例如：已知F=AB+CD，根据反演规则可得到：，根据反演规则可得到：F=(A+B)(C+D)+01原变量原变量反变量反变量F +01原变量原变量反变量反变量F重要规则重要规则2.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）本讲稿第十五页，共五十四页2022/9/2916使用
13、德使用德摩根定理时，要保持原逻辑表示式中运算符号的优先顺序不变。摩根定理时，要保持原逻辑表示式中运算符号的优先顺序不变。重要规则重要规则2.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）本讲稿第十六页，共五十四页2022/9/29172022/9/2917由对偶性原理，如将逻辑函数由对偶性原理，如将逻辑函数由对偶性原理，如将逻辑函数由对偶性原理，如将逻辑函数F F F F中所有的中所有的中所有的中所有的“”变成变成变成变成“+”,“+”变成变成变成变成“”,“0 0 0 0”变成变成变成变成“1 1 1 1”,“1 1 1 1”变成变成变成变成“0 0 0 0”,逻辑变量保持不变，则
14、得到逻辑函数逻辑变量保持不变，则得到逻辑函数逻辑变量保持不变，则得到逻辑函数逻辑变量保持不变，则得到逻辑函数F F F F的对偶式的对偶式的对偶式的对偶式F F F FD D D D。如果。如果。如果。如果F F F FD D D D是是是是F F F F的对偶式，则的对偶式，则的对偶式，则的对偶式，则F F F F也是也是也是也是F F F FD D D D的对偶式，即的对偶式，即的对偶式，即的对偶式，即F F F F与与与与F F F FD D D D互为对偶式。互为对偶式。互为对偶式。互为对偶式。+0 00 01 11 1 F FF FD DF FD D(X1,X2,(X1,X2,X,X
15、n n,),)F(X1,X2,F(X1,X2,X,Xn n,),)F(X1,X2,F(X1,X2,X,Xn n)F FD D(X1,X2,(X1,X2,X,Xn n)重要规则重要规则2.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）l 对偶规则（对偶性原理）对偶规则（对偶性原理）本讲稿第十七页，共五十四页2022/9/2918l 对偶规则（对偶性原理）对偶规则（对偶性原理）l 对开关代数的任何定理或恒等式，若交换所有的对开关代数的任何定理或恒等式，若交换所有的0和和1以及以及“”和和“”，结果仍，结果仍正确。正确。l 它使要学的东西减了一半！它使要学的东西减了一半！重要规则重要规则2
16、.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）本讲稿第十八页，共五十四页2022/9/2919求某一函数求某一函数F F 的对偶式时，同样要注意的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变保持原函数的运算顺序不变。对偶规则：若两个逻辑函数对偶规则：若两个逻辑函数F F和和G G 相等，则其对偶式相等，则其对偶式F FD D 和和G GD D 也相等。也相等。如：如：则：则：重要规则重要规则2.2 2.2 布尔（逻辑）代数（续）布尔（逻辑）代数（续）本讲稿第十九页，共五十四页2022/9/29201、真值表真值表2.3 2.3 标准形式标准形式l 逻辑函数的表示法逻辑函数的表示法l
17、 真值表真值表l 逻辑表达式逻辑表达式l 图形图形真值表是一种由逻辑变量的所有可能取值组合及真值表是一种由逻辑变量的所有可能取值组合及其对应的逻辑函数值所构成的表格。其对应的逻辑函数值所构成的表格。A B C FA B C F0 0 00 0 00 00 0 10 0 11 10 1 00 1 00 00 1 10 1 11 11 0 01 0 01 11 0 11 0 11 11 1 01 1 00 01 1 11 1 10 0例如：函数例如：函数 的真值表如下：的真值表如下：本讲稿第二十页，共五十四页2022/9/2921文字：变量或变量的补，如文字：变量或变量的补，如X、Y、X、Y；乘积
18、项：单个变量或乘积项：单个变量或2个或个或2个以上变量的逻辑积，如个以上变量的逻辑积，如 Z，WXY；“积之和积之和”表达式：乘积项的逻辑和，如表达式：乘积项的逻辑和，如 ZWXY；求和项：单个变量或求和项：单个变量或2个或个或2个以上变量的逻辑和，如个以上变量的逻辑和，如 Z，WXY；“和之积和之积”表达式：求和项的逻辑积，如表达式：求和项的逻辑积，如 Z(WXY)；标准项：标准项：一个具有一个具有一个具有一个具有n n个变量的函数的个变量的函数的个变量的函数的个变量的函数的乘积项或求和项，乘积项或求和项，如果包含全部如果包含全部如果包含全部如果包含全部n n个个个个 变量变量变量变量,每个
19、变量都以原变量或反变量形式出现每个变量都以原变量或反变量形式出现每个变量都以原变量或反变量形式出现每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次且仅出现一次且仅出现一次且仅出现一次，如，如 WXY，WXY；非标准项：不是标准项的乘积项或求和项，如非标准项：不是标准项的乘积项或求和项，如WXXY；2、逻辑表达式逻辑表达式2.3 2.3 标准形式标准形式本讲稿第二十一页，共五十四页2022/9/2922l l 最小项：一个具有最小项：一个具有最小项：一个具有最小项：一个具有n n个变量的函数的个变量的函数的个变量的函数的个变量的函数的“积积积积”项，如果包含全部项，如果包含全部项，如果包含全部项
20、，如果包含全部n n个变量个变量个变量个变量,每个每个每个每个变量都以原变量或反变量形式出现变量都以原变量或反变量形式出现变量都以原变量或反变量形式出现变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次。且仅出现一次。且仅出现一次。且仅出现一次。l l“最小项之和最小项之和最小项之和最小项之和”表达式：完全由最小项所组成的逻辑和表达式：完全由最小项所组成的逻辑和表达式：完全由最小项所组成的逻辑和表达式：完全由最小项所组成的逻辑和,该函数表达式，也该函数表达式，也该函数表达式，也该函数表达式，也称为标准称为标准称为标准称为标准“积之和积之和积之和积之和”表达式。表达式。表达式。表达式。2.3 2.3
21、标准形式标准形式=m5+m4+m3+m1例如：例如：例如：例如：最小项最小项最小项最小项=m(1,3,4,5)本讲稿第二十二页，共五十四页2022/9/2923 1.原变量取原变量取“1”，反变量取，反变量取“0”2.变量顺序确定后，二进制数对应的十进制即为最小项的下标变量顺序确定后，二进制数对应的十进制即为最小项的下标il 编号编号m i的计算方法：的计算方法：变量的各组取值对应的最小项及其编号ABC最小项编号000m0001m1010m2011m3100m4101m5110m6111m7三三变变量量函函数数的的最最小小项项2.3 2.3 标准形式标准形式本讲稿第二十三页，共五十四页2022
22、/9/2924=m5+m4+m3+m1注意：这些最小项不在注意：这些最小项不在F(A,B,C)中，就在中，就在F(A,B,C)中。中。=m(1,3,4,5)所以所以 注意：变量顺序注意：变量顺序注意：变量顺序注意：变量顺序因此因此2.3 2.3 标准形式标准形式本讲稿第二十四页，共五十四页2022/9/29251.2.m i m j=0 (i j)3.n个变量的每一个最小项有个变量的每一个最小项有n个相邻项个相邻项(其余项相同其余项相同,有一项互补有一项互补)l 最小项的性质最小项的性质 的相邻项有：的相邻项有：2.3 2.3 标准形式标准形式本讲稿第二十五页，共五十四页2022/9/2926
23、l “最大项之积最大项之积”表达式（即标准积式）表达式（即标准积式）求和项：单个变量或求和项：单个变量或2个或个或2个以上变量的逻辑和。个以上变量的逻辑和。例如：例如：Z，W+X+Y，X+Y+Z，W+Y+Z。“和之积和之积”表达式：求和项的逻辑积。表达式：求和项的逻辑积。例如：例如：Z(WXY)(XYZ)(WYZ)最大项：一个具有最大项：一个具有n个变量的函数的个变量的函数的“和和”项，如果包含全部项，如果包含全部n个变量，每个个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次。且仅出现一次。“最大项之积最大项之积”表达式：完全由最大项所组成的逻辑积表达式：
24、完全由最大项所组成的逻辑积,该函数表达式也称为该函数表达式也称为标准标准“和之积和之积”表达式。表达式。最大项最大项例如：例如：2.3 2.3 标准形式标准形式本讲稿第二十六页，共五十四页2022/9/2927注意：变量顺序。注意：变量顺序。1.原变量取原变量取“0”，反变量取，反变量取“1”2.变量顺序确定后，按变量排列顺序组成的变量顺序确定后，按变量排列顺序组成的“二进制数二进制数”所对应的十进制所对应的十进制即为最大项的下标即为最大项的下标il 编号编号M i的计算方法：的计算方法：如：如：2.3 2.3 标准形式标准形式本讲稿第二十七页，共五十四页2022/9/2928变量的各组取值变
25、量的各组取值变量的各组取值变量的各组取值A B C0000 00 01 10100 01 11 11 10 00 01 10 01 11 11 10 0111对应的最小项及其编号对应的最小项及其编号对应的最小项及其编号对应的最小项及其编号对应的最大项及其编号对应的最大项及其编号对应的最大项及其编号对应的最大项及其编号最小项最小项最小项最小项编编编编 号号号号最大项最大项最大项最大项编编编编 号号号号n个变量有个变量有2n个最小项，个最小项，2n 个最大项。个最大项。2.3 2.3 标准形式标准形式本讲稿第二十八页，共五十四页2022/9/29291.2.Mi +M j=1 (i j)3.n个变
26、量的每一个最大项有个变量的每一个最大项有n个相邻项个相邻项(其余项相同其余项相同,有一项互补有一项互补)如如:相邻项相邻项l 最大项的性质最大项的性质与最小项类似，有与最小项类似，有4.且有且有5.一个函数表达式中一个函数表达式中一个函数表达式中一个函数表达式中,i个最小项之和等于个最小项之和等于2 2n n-i-i个最大项之积个最大项之积2.3 2.3 标准形式标准形式本讲稿第二十九页，共五十四页2022/9/29302.4 2.4 逻辑电路化简逻辑电路化简l 一般来说，逻辑函数表达式越简单，设计出来的电路也就越简单，成本一般来说，逻辑函数表达式越简单，设计出来的电路也就越简单，成本越低。越
27、低。例：化简例：化简解：解：l 代数化简法：运用逻辑代数的代数化简法：运用逻辑代数的公理公理、定理定理和和规则规则对逻辑函数进行推导、变换而进对逻辑函数进行推导、变换而进行化简。没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵行化简。没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。有时很难判定结果是否为最简。活运用的程度。有时很难判定结果是否为最简。7个门个门3个门个门2个门个门本讲稿第三十页，共五十四页2022/9/2931l 最简最简“与或与或”式应满足的两个条件：式应满足的两个条件：l 表达式中表达式中“与项与项”的个数最少；的个数最少；
28、l 在满足上面要求的前提下在满足上面要求的前提下,“与项与项”中的变量总数最少。中的变量总数最少。l 最简最简“或与或与”式应满足的两个条件：式应满足的两个条件：l 表达式中表达式中“或项或项”的个数最少；的个数最少；l 在满足上面要求的前提下在满足上面要求的前提下,“或项或项”中的变量总数最少。中的变量总数最少。l 卡诺图化简法：该方法简单、直观、容易掌握，当变量个数小于等于卡诺图化简法：该方法简单、直观、容易掌握，当变量个数小于等于6时非常时非常有效，在逻辑设计中得到广泛应用。有效，在逻辑设计中得到广泛应用。l 卡诺图的构成：卡诺图的构成：n个变量的卡诺图是一种由个变量的卡诺图是一种由2n
29、个方格构成的图形，每一个方格表个方格构成的图形，每一个方格表示逻辑函数的一个最小项，示逻辑函数的一个最小项，所有的最小项巧妙地排列成一种能清楚地反映它们所有的最小项巧妙地排列成一种能清楚地反映它们相邻关系的方格阵列。相邻关系的方格阵列。一个函数可用图形中若干方格构成的区域来表示。一个函数可用图形中若干方格构成的区域来表示。2.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第三十一页，共五十四页2022/9/2932mo m2m1 m3 0 101ABAB 0 101二变量卡诺图二变量卡诺图mo m2 m6 m4m1 m3 m7 m500 01 11 1001ABC00 01 11 1001ABC三变量
30、卡诺图三变量卡诺图 0 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 1000 01 11 1000011110ABCD00 01 11 1000011110ABCD四变量卡诺图四变量卡诺图本讲稿第三十二页，共五十四页2022/9/2933l 相邻最小项（与项相邻最小项（与项）：彼此只有一个变量不同，且这个不同变量互为反变量的两个最）：彼此只有一个变量不同，且这个不同变量互为反变量的两个最小项（与项）称为相邻最小项（相邻与项），如小项（与项）称为相邻最小项（相邻与项），如ABC和和ABC。l 相邻最小项在卡诺图中有几何相邻、相对相邻或重叠相邻三种特征。相邻最小项在卡诺图中有
31、几何相邻、相对相邻或重叠相邻三种特征。0 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 1000 01 11 1000011110ABCD00 01 11 1000011110ABCD 0 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 1000 01 11 1000011110ABCDE 16 20 28 24 17 21 29 25 19 23 31 27 18 22 30 2600 01 11 1000011110ABCDE2.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第三十三页，共五十四页2022/9/2934l 逻辑函数的卡诺图表示：将逻辑函数所对应
32、的最小项在卡诺图的相应方格中标以逻辑函数的卡诺图表示：将逻辑函数所对应的最小项在卡诺图的相应方格中标以1，剩余方格标以，剩余方格标以0或不标。或不标。l 其它形式的函数要转换成其它形式的函数要转换成“与或与或”式后，再在卡诺图上表示。式后，再在卡诺图上表示。l 卡诺图的性质：根据定理卡诺图的性质：根据定理AB+AB=A，它表明两个相邻，它表明两个相邻“与项与项”或相邻或相邻最小项最小项可以可以合并为一项，这一项由两个合并为一项，这一项由两个与项与项中相同的变量组成，可以消去两个中相同的变量组成，可以消去两个 与项与项中不中不同的变量。同的变量。00 01 11 1001ABC11111例如：例
33、如：可表示为：可表示为：l“与或与或”式的卡诺图表示：直接将表达式的式的卡诺图表示：直接将表达式的“与项与项”或或“最小项最小项”所所对应的方格标以对应的方格标以1。2.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第三十四页，共五十四页2022/9/2935l 卡诺圈：在卡诺图上把相邻最小项所对应的小方格卡诺圈：在卡诺图上把相邻最小项所对应的小方格圈圈在一起可进行合并，以达在一起可进行合并，以达到用一个简单到用一个简单与项与项代替若干最小项的目的。代替若干最小项的目的。0 101AB1 1 0 101AB1 1 0 101AB1 11二变量卡诺图合并的典型情况二变量卡诺图合并的典型情况00 01 1
34、1 1001ABC1 11 1AB 00 01 11 1001C1 1 1 11 1 1 101ABC00 01 11 10三变量卡诺图合并的典型情况三变量卡诺图合并的典型情况2.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第三十五页，共五十四页2022/9/2936l 一个一个卡卡诺圈中的小方格满足以下规律：诺圈中的小方格满足以下规律：l 卡诺圈中的小方格的数目为卡诺圈中的小方格的数目为2m，m为整数且为整数且m n；l 2m个小方格含有个小方格含有m个不同变量和个不同变量和(n-m)个相同变量；个相同变量；l 2m个小方格可用个小方格可用(n-m)个变量的个变量的“与项与项”表示，该表示，该“与
35、项与项”由这由这 些最小项中些最小项中的相同变量构成；的相同变量构成；l 当当m=n时，卡诺圈包围整个卡诺图，可用时，卡诺圈包围整个卡诺图，可用1表示，即表示，即n个变量的全部最小项之个变量的全部最小项之和为和为1。100011110ABCD1111111四变量卡诺图合并的典型情况四变量卡诺图合并的典型情况00 01 11 102.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第三十六页，共五十四页2022/9/29372.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简F（A，B）=（0，1，3）本讲稿第三十七页，共五十四页2022/9/2938l 蕴涵蕴涵项（如何画圈）项（如何画圈）l 蕴涵项：蕴涵项：“与或与或
36、”式中的每一个式中的每一个“与项与项”称为函数的蕴涵项。称为函数的蕴涵项。l 主蕴涵项：不被其它蕴涵项所包含的蕴涵项。主蕴涵项：不被其它蕴涵项所包含的蕴涵项。l 质主蕴涵项：主蕴涵项中至少有一个最小项不被其它主蕴涵项所包含。质主蕴涵项：主蕴涵项中至少有一个最小项不被其它主蕴涵项所包含。2.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第三十八页，共五十四页2022/9/2939l 用卡诺图化简逻辑函数的一般步骤：用卡诺图化简逻辑函数的一般步骤：l 第一步：作出函数的卡诺图；第一步：作出函数的卡诺图；l 第二步：在卡诺图上圈出函数的全部主蕴涵项（画最大的卡诺图）；第二步：在卡诺图上圈出函数的全部主蕴涵项
37、（画最大的卡诺图）；l 第三步：从全部主蕴涵项中找出所有质主蕴涵项；第三步：从全部主蕴涵项中找出所有质主蕴涵项；l 第四步：若全部质主蕴涵项尚不能覆盖所有的第四步：若全部质主蕴涵项尚不能覆盖所有的1 方格，则需从剩余的主蕴涵项中方格，则需从剩余的主蕴涵项中找出最简的所需主蕴涵项，使它们和质主蕴涵项一起构成函数的最小覆盖（把它们全找出最简的所需主蕴涵项，使它们和质主蕴涵项一起构成函数的最小覆盖（把它们全部部“或或”起来）。起来）。2.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第三十九页，共五十四页2022/9/2940例：用卡诺图将下列逻辑函数例：用卡诺图将下列逻辑函数简化为简化为“与或与或”表达式
38、表达式 F(A,B,C,D)=m(0,3,5,6,7,10,11,13,15)解：解：100 01 11 1000011110ABCD111111111100 01 11 1000011110ABCD11111111*1*00 01 11 1000011110ABCD11*1*1*111*2.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第四十页，共五十四页2022/9/2941例：用卡诺图将下列逻辑函数例：用卡诺图将下列逻辑函数简化为简化为“与或与或”表达式表达式 F(A,B,C,D)=m(2,3,6,7,8,10,12)解：解：100 01 11 1000011110ABCD111111100 0
39、1 11 1000011110ABCD1*1*1*1*111100 01 11 1000011110ABCD1*1*1*1*11100 01 11 1000011110ABCD1*1*1*1*12.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第四十一页，共五十四页2022/9/2942例：用卡诺图将下列逻辑函数例：用卡诺图将下列逻辑函数简化为简化为“或与或与”表达式表达式 F(A,B,C,D)=M(3,4,6,7,11,12,13,14,15)解：解：CD100 01 11 1000011110AB0010010110010012.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第四十二页，共五十四页2022
40、/9/2943l 没有质主蕴涵项的情况没有质主蕴涵项的情况2.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第四十三页，共五十四页2022/9/2944例：用卡诺图化简逻辑函数例：用卡诺图化简逻辑函数F(A,B,C,D)=m(2,3,4,5,6,7,11,13,15)解：解：CD00 01 11 1000011110AB111111111CD000 01 11 1000011110AB000000 化简后得到的表达式一般为两级化简后得到的表达式一般为两级“与或式与或式”或或“或与式或与式”，可分别由两级，可分别由两级“与非门与非门”或或“或非门或非门”来实现，但实际上受扇入系数的影响，电路的级数会增加
41、，影响电路的速度。为不降低速度，人们设计出来实现，但实际上受扇入系数的影响，电路的级数会增加，影响电路的速度。为不降低速度，人们设计出更复杂的门来取代简单门完成更复杂的运算。更复杂的门来取代简单门完成更复杂的运算。2.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第四十四页，共五十四页2022/9/2945l 包含无关最小项的逻辑函数的化简包含无关最小项的逻辑函数的化简l 一般来说，逻辑函数与输入的每一种取值组合均有关系。对于某些组合（某些最小一般来说，逻辑函数与输入的每一种取值组合均有关系。对于某些组合（某些最小项）函数的值为项）函数的值为0，而对另外一些组合（另外一些最小项）函数取值为，而对另外一
42、些组合（另外一些最小项）函数取值为1。l 无关最小项：一个逻辑函数无关最小项：一个逻辑函数,如果它的某些输入取值组合因受特殊原因制约而不会如果它的某些输入取值组合因受特殊原因制约而不会再现，或者虽然每种输入取值组合都可能出现，但此时函数取值为再现，或者虽然每种输入取值组合都可能出现，但此时函数取值为1还是为还是为0无关无关紧要，那么这些输入取值组合所对应的最小项称为无关最小项。紧要，那么这些输入取值组合所对应的最小项称为无关最小项。l 无关最小项可以随意地加到函数表达式中，或者不加到函数表达式中，并不影无关最小项可以随意地加到函数表达式中，或者不加到函数表达式中，并不影响函数所对应逻辑电路的响
43、函数所对应逻辑电路的实际逻辑功能实际逻辑功能。2.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第四十五页，共五十四页2022/9/2946例：给定某电路的真值表如下，求例：给定某电路的真值表如下，求F的最简的最简与或与或式。式。100 01 11 1000011110ABCD111111100 01 11 1000011110ABCD1111ddddddA B C D F0 0 0 0 d0 0 0 1 d0 0 1 0 d0 0 1 1 10 1 0 0 10 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 0 1 01 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0
44、11 1 0 1 d1 1 1 0 d1 1 1 1 d2.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第四十六页，共五十四页2022/9/2947从多输出函数化简的观点来看，它们不是最佳的，应该是：从多输出函数化简的观点来看，它们不是最佳的，应该是：100 01 11 1001ABC1 1F1100 01 11 1001ABC1 1F2例：多输出函数例：多输出函数 对应的卡诺图为：对应的卡诺图为：l 多输出逻辑函数的化简：如果孤立地将单个输出一一化简，然后直接拼在一起，多输出逻辑函数的化简：如果孤立地将单个输出一一化简，然后直接拼在一起，通常并不能保证整个电路最简。通常并不能保证整个电路最简。l
45、所有逻辑表达式包含的不同所有逻辑表达式包含的不同“与项与项”总数最小；总数最小；l 在满足上述条件的前提下，各不同在满足上述条件的前提下，各不同与项与项中所含的变量总数最少。中所含的变量总数最少。2.5 2.5 卡诺图化简卡诺图化简本讲稿第四十七页，共五十四页2022/9/29482.5 2.5 逻辑门逻辑门l基本逻辑门基本逻辑门本讲稿第四十八页，共五十四页2022/9/29492.5 2.5 逻辑门逻辑门l复合逻辑门复合逻辑门复杂的门电路用来减少特殊复杂的门电路用来减少特殊布尔函数电路的复杂性。这布尔函数电路的复杂性。这样可以减少电路的花费。另样可以减少电路的花费。另外，这样做也可以减少信号
46、外，这样做也可以减少信号通过电路的传输时间。通过电路的传输时间。本讲稿第四十九页，共五十四页2022/9/29502.5 2.5 逻辑门逻辑门本讲稿第五十页，共五十四页2022/9/29512.6 2.6 异或操作与异或门异或操作与异或门 本讲稿第五十一页，共五十四页2022/9/2952奇函数：多变量的异或运算奇函数：多变量的异或运算2.5 2.5 异或操作与异或门（续）异或操作与异或门（续）三变量的异或运算转化为布尔表达式三变量的异或运算转化为布尔表达式 本讲稿第五十二页，共五十四页2022/9/29532.7 2.7 高阻态输出高阻态输出本讲稿第五十三页，共五十四页2022/9/2954l 真值表真值表l 逻辑表达式逻辑表达式l 最小项列表最小项列表l 标准积之和标准积之和l 最小项列表最小项列表l 标准积之和标准积之和l 一般形式的积之和与和之积一般形式的积之和与和之积l 几个定理几个定理l 三条规则三条规则l 电路优化电路优化小结小结本讲稿第五十四页，共五十四页