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1、2020-2021学年浙江省宁波市某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设集合A=x|1x2，B=x|x0的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ） A.0a1B.0a13C.0a1D.a133. 把根式xx化成分数指数幂是（ ） A.(x)32B.(x)32C.x32D.x324. 若1x0，那么下列各不等式成立的是（ ） A.2x2x0.2xB.2x0.2x2xC.0.2x2x2xD.2x2x0.2x5. 下列函数中值域为(0,+)的是( ) A.y=512xB.y=(13)1xC.y=(12)x
2、1D.y=12x6. 已知偶函数f(x)的图象经过点(1,3)，且当0ab时，不等式f(b)f(a)ba0恒成立，则使得f(x2)+302x2+(2k+7)x+7k0的解集为(,2)(3,+)，则（ ） A.a0B.不等式bx+c0的解集是x|x0D.不等式cx2bx+aab 已知函数f(x)=ax,x0x2ax，x0,a1)的图象过定点(1,1)；若xlog34=1，则2x+2x的值是433其中正确的序号是_ 若对任意的x1,5，不等式2x+ax+b5恒成立，则ab的最大值是_ 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 设集合A=x|2x5，B=x|m1
3、x2m+1 （1）若AB=，求m的范围； （2）若AB=A，求m的范围 已知函数f(x)=x2+ax1(aR) （1）若函数f(x)在区间2a1,+)上单调递减，求a的取值范围； （2）若f(x)在区间12,1上的最大值为14，求a的值 已知函数f(x)x2(a+2)x+4(aR) （1）若关于x的不等式f(x)0 （1）若f(2a1)f(3a3)，求a的取值范围 （2）若不等式f(x)(a2)t+5对任意x5,5和a3,0都恒成立，求t的取值范围 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道（阴影部分）组成已知休闲区A1B1C1
4、D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图） （1）若设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1=x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 已知函数f(x)=x2+axa+b(a,bR) （1）若b2,yf(x)在x1,72上有意义且不单调，求a的取值范围 （2）若非空集合A=x|f(x)0，B=x|f(f(x)+1)1，且A=B，求a的取值范围参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省宁波市某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选
5、项中，只有一项是符合题目要求的。1.【答案】A【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】根据两个集合间的包含关系，考查端点值的大小可得2a【解答】解： 集合A=x|1x2，B=x|x0的解集为R”，则4a24a0，解得0a0的解集为R”的一个必要不充分条件是0a1，3.【答案】B【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】根据指数幂的运算法则即可求出【解答】xx=(x)(x)12=(x)32，4.【答案】D【考点】指数函数单调性的应用【解析】先由x的范围，通过指数函数的图象和性质得到三个数的大致范围，再由指数函数在第一象限内随着底数的增大向y轴靠近的特点及图象的分布求解【解答】解： 1x0，
6、 由指数函数的图象和性质可得：2x1，0.2x1又 0.5x0.2x 2x2x0恒成立，故函数的值域为(0,+)C由于(12)x0， (12)x11， (12)x10，故函数y=(12)x10，故函数的值域为0,+)D由于2x0， 12x1， 012x1，得出结论【解答】解：根据题意，f(x)为偶函数，且经过点(1,3)，则点(1,3)也在函数图象上，即f(1)=3，当0ab时，不等式f(b)f(a)ba0恒成立，则函数f(x)在0,+)上为减函数， f(x2)+30， f(x2)3=f1， fx21，解得x3.故选C.7.【答案】D【考点】分段函数的应用【解析】根据分段函数的表达式结合一元二
7、次函数的对称性进行求解即可【解答】解：设g(x)=k2x+a2k，h(x)=x2+(a2+4a)x+(3a)2，由条件知二次函数的对称轴不能在y轴的左侧即a2+4a0，两个函数的图象在y轴上交于同一点，即g(0)=h(0)，所以，k=6a9在4,0上有解，从而k33,9故选：D8.【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】求出第一个不等式的解，讨论k的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组只含有一个整数得出第二个不等式解的端点的范围，从而得出k的范围【解答】解不等式x22x80得x4，解方程2x2+(2k+7)x+7k=0得x1=72，x2=k（1）若k72时，不等式2x2+(2k+7
8、)x+7k0的解集是(k,72)，若不等式组只有1个整数解，则5k4，解得：472即k72时，不等式2x2+(2k+7)x+7k0的解集是(72,k)，若不等式组只有1个整数解，则3k5，解得：5k0，再结合韦达定理可得b=a，c=6a，代入选项B和D，解不等式即可；当x=1时，有a+b+c0， 2+3=ba，(2)3=ca， b=a，c=6a，a0，即选项A正确；不等式bx+c0等价于a(x+6)0， x0的解集为(,2)(3,+)， 当x=1时，有a+b+c0，即选项C错误；不等式cx2bx+a0，即a(3x+1)(2x1)0， x12，即选项D正确【答案】A,B,C【考点】基本不等式及其
9、应用【解析】根据基本不等式分别判断即可【解答】对于A， a0，b0， a+b+1ab2ab+1ab22，当且仅当a=b时取等号，故A正确；对于B，(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab2+2baab=4，当且仅当a=b时取等号，故B正确；对于C， a0，b0， a2+b22ab，即a2+b2ab2ab，当且仅当a=b时取等号，故C正确；对于D， a0，b0， a+b2ab，即2aba+bab，当且仅当a=b时取等号，故D错误【答案】A,C,D【考点】分段函数的应用函数的值域及其求法【解析】利用函数的值域，简化分段函数，二次函数的性质，列出不等式组求解即可【解答】函数f(x)=ax,x0x2a
10、x，x0，则y=t22t+2=(t1)2+1， 函数f(x)的值域为1,2，即y1,2， t(0,2，即2x(0,2，解得x(,1， M=(,1，即选项A错误，选项C和D均正确；由于任何集合都是自身的子集， M(,1，即选项B正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。【答案】5【考点】对数的运算性质【解析】根据指数和对数的运算性质，可得答案【解答】1.10+32160.52+lg25+2lg2=1+64+2=5，【答案】1,log32【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数f(21x)的定义域是0,1，求出y=3x1的值域，解不等式，求出函数的定义域即可【解答】 0x1， 1x0
11、，01x1， 121x2，故13x12，解得：1xlog32，故函数的定义域是1,log32，【答案】【考点】指数函数的单调性与特殊点命题的真假判断与应用【解析】根据题意，对选项中的命题分析判断，选出正确的命题即可【解答】对于，4(2)4=|2|=2，所以错误；对于，y=x2+1，x1,2时，y的值域是1,5，所以错误；对于，幂函数y=x，R的图象一定不过第四象限，所以正确；对于，函数f(x)=ax+12中，令x+1=0，得x=1，所以y=f(1)=12=1，所以f(x)的图象过定点(1,1)，正确；对于，若xlog34=1，则x=log43=log23，所以2x+2x=2log23+2log
12、213=3+13=433，正确综上知，正确的命题序号是【答案】4+43【考点】不等式恒成立的问题【解析】设f(x)=x+ax+b，1x5，对a讨论，分a0，0a1，1a5，525，判断f(x)的单调性，求得最值，由不等式的性质和不等式的解法，可得所求最大值【解答】当a1，即0a1时，f(x)在1,5递增，可得f(x)的最小值为1+a+b，最大值为5+a5+b，由题意可得1+a+b25+a5+b5，即为b1aba5，可得1aa5，解得a54，这与0a1矛盾（1）当1a5时，f(1)f(5)，可得f(x)的最小值为f(a)=2a+b，最大值为5+a5+b，由题意可得2a+b25+a5+b5，即为b
13、22aba5，可得22aa5，解得515a5+15，则401015a5，而65aaba+2a23+25(2)当5f(5)，可得f(x)的最小值为f(a)=2a+b，最大值为1+a+b，由题意可得2a+b21+a+b5，即为b22ab4a，可得22a4a，解得0a1+3，即0a4+23，故52m+1，即m2，满足题意；当B时，则有m12m+1，即m2，可得2m+15，无解，综上，m的范围为m2m+1，即m2，满足题意；当B，则有有m12m+1，即m2，可得m122m+15，解得：1m2，综上，m的范围为m2m+1，即m2，满足题意；当B时，则有m12m+1，即m2，可得2m+15，无解，综上，m
14、的范围为m2m+1，即m2，满足题意；当B，则有有m12m+1，即m2，可得m122m+15，解得：1m2，综上，m的范围为m2或1m2【答案】由题知函数f(x)的对称轴方程为x=a2， f(x)在区间2a1,+)上单调递减， 2a1,+)a2,+)，则2a1a2，解得：a23；由（1）知函数f(x)的对称轴方程为x=a2，当a212，即a1时，函数f(x)在区间12,1上单调递减，f(x)最大值为f(12)=a254=14，解得a=2，与a1矛盾；当12a21，即1a2时，函数f(x)在区间12,1的最大值为f(a2)=a241=14，解得：a=3，舍去a=3；当a21，即a2时，函数f(x
15、)在区间12,1上单调递增，f(x)的最大值为f(1)=a2=14，解得：a=74，与a2矛盾，综上，a=3【考点】二次函数的性质二次函数的图象函数的最值及其几何意义【解析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可；（2）求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，求出函数的最大值，得到关于a的方程，求出a的值即可【解答】由题知函数f(x)的对称轴方程为x=a2， f(x)在区间2a1,+)上单调递减， 2a1,+)a2,+)，则2a1a2，解得：a23；由（1）知函数f(x)的对称轴方程为x=a2，当a212，即a1时，函数f(x)在区间12,1上单
16、调递减，f(x)最大值为f(12)=a254=14，解得a=2，与a1矛盾；当12a21，即1a2时，函数f(x)在区间12,1的最大值为f(a2)=a241=14，解得：a=3，舍去a=3；当a21，即a2时，函数f(x)在区间12,1上单调递增，f(x)的最大值为f(1)=a2=14，解得：a=74，与a2矛盾，综上，a=3【答案】 不等式f(x)0的解集为(1,b)， 由根与系数的关系有1(a+2)+40， a3， 方程x25x+40的根为1和4， b4， a=3b=4 对任意x1,4，f(x)a1恒成立， a(x1)x22x+5对任意的x1,4恒成立，当x1时，04恒成立，符合题意，
17、aR，当x(1,4时，等价于ax22x+5x1恒成立， x22x+5x1=x1+4x1，又1x4，0x13， x1+4x12(x1)4x1=4，当且仅当x1=4x1，即x3时取等号， a4， a的取值范围为(,4【考点】函数恒成立问题【解析】（1）不等式f(x)0的解集为(1,b)，结合根于系数的关系求出a的值，再根据方程x25x+40的根为1和4，求出b的值；（2）由1x4，f(x)a1恒成立，可知a(x1)x22x+5对任意的x1,4恒成立，然后利用分离参数法求出a的范围【解答】 不等式f(x)0的解集为(1,b)， 由根与系数的关系有1(a+2)+40， a3， 方程x25x+40的根为
18、1和4， b4， a=3b=4 对任意x1,4，f(x)a1恒成立， a(x1)x22x+5对任意的x1,4恒成立，当x1时，04恒成立，符合题意， aR，当x(1,4时，等价于ax22x+5x1恒成立， x22x+5x1=x1+4x1，又1x4，0x13， x1+4x12(x1)4x1=4，当且仅当x1=4x1，即x3时取等号， a4， a的取值范围为(,4【答案】由以上知f(x)是定义在5,5上的单调递增的奇函数，且f(5)=2，得在5,5上f(x)max=f=f(5)=2在5,5上不等式f(x)(a2)t+5对a3,0都恒成立，所以2(a2)t+5即at2t+30，对a3,0都恒成立，令
19、g(a)=at2t+3，a3,0，则只需g(3)0g(0)0，即5t+302t+30解得t35故t的取值范围(,35【考点】函数恒成立问题抽象函数及其应用【解析】（1）由函数的单调性的定义，构造出f(x)在定义域5,5，上是增函数，通过增函数性质解不等式得a的取值范围（2）由f(x)单调递增且奇函数，利用其最大值整理得关于a，t的不等式，由a3,0都恒成立，根据单调性可以求t的取值范围【解答】由以上知f(x)是定义在5,5上的单调递增的奇函数，且f(5)=2，得在5,5上f(x)max=f=f(5)=2在5,5上不等式f(x)(a2)t+5对a3,0都恒成立，所以2(a2)t+5即at2t+3
20、0，对a3,0都恒成立，令g(a)=at2t+3，a3,0，则只需g(3)0g(0)0，即5t+302t+30解得t35故t的取值范围(,35【答案】解：（1）设休闲区的宽为a米，则其长为ax米， a2x=4000a=2010x， S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)2010x+160=8010(2x+5x)+4160，x(1,+)（2）S1600+4160=5760，当且仅当2x=5xx=2.5时，公园所占面积最小，此时，a=40，ax=100，即休闲区A1B1C1D1的长为100米，宽为40米【考点】函数模型的选择与应用【解析】（1）设休
21、闲区的宽为a米，则其长为ax米，根据休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，将a用x表示，然后根据矩形的面积公式求出公园ABCD所占面积S关于x的函数即可；（2）利用均值不等式求出最小值，注意等号成立的条件，从而求出长和宽【解答】解：（1）设休闲区的宽为a米，则其长为ax米， a2x=4000a=2010x， S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)2010x+160=8010(2x+5x)+4160，x(1,+)（2）S1600+4160=5760，当且仅当2x=5xx=2.5时，公园所占面积最小，此时，a=40，ax=100，即休闲区A
22、1B1C1D1的长为100米，宽为40米【答案】当b=2时，f(x)=x2+axa+2，由题知：二次函数f(x)的对称轴在(1,72)之间，且f(x)在1,72上非负，所以1a2720，解得a223，2)不妨设f(x)1的解集为m,n，则有mf(x)+1n，所以B=x|ff(x)+11=x|mf(x)+1n=x|m1f(x)n1，由A=B，得n1=0且f(x)minm1，由f(n)=f(1)=1得b=0，所以f(x)=x2+axa，因为A=f(x)0， =a2+4a0，解得a0或a4，又m，n(mn)为方程f(x)=1的两个根，所以m=1a，所以f(x)min=4aa24a2，解得22a22，
23、所以a0,22【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】（1）当b=2时，f(x)=x2+axa+2，由题知：二次函数f(x)的对称轴在(1,72)之间，且f(x)在1,72上非负，列出不等式组，即可求出a的取值范围；（2）不妨设f(x)1的解集为m,n，可得B=x|m1f(x)n1，由A=B，解得得a0或a4，又m，n(mn)为方程f(x)=1的两个根，所以m=1a，即可求出a的取值范围【解答】当b=2时，f(x)=x2+axa+2，由题知：二次函数f(x)的对称轴在(1,72)之间，且f(x)在1,72上非负，所以1a2720，解得a223，2)不妨设f(x)1的解集为m,n，则有mf(x)+1n，所以B=x|ff(x)+11=x|mf(x)+1n=x|m1f(x)n1，由A=B，得n1=0且f(x)minm1，由f(n)=f(1)=1得b=0，所以f(x)=x2+axa，因为A=f(x)0， =a2+4a0，解得a0或a4，又m，n(mn)为方程f(x)=1的两个根，所以m=1a，所以f(x)min=4aa24a2，解得22a22，所以a0,22第17页 共18页 第18页 共18页