力学量的算符讲稿.ppt

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1、力学量的算符第一页，讲稿共七十二页哦5.2.1 测量结果的期望值测量结果的期望值 用算符表示力学量用算符表示力学量一一 给定状态给定状态里，力学量里，力学量坐标坐标的平均值的平均值在统计物理中知道在统计物理中知道当可能值为离散值时当可能值为离散值时:一个物理量的平均值等于物理量出现的一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的各种可能值乘上相应的几率求和；几率求和；当可能值为连续取值时：当可能值为连续取值时：一一个物理量出现的各种可能值乘上相应的个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。几率密度求积分。基基于波函数的几率含义，于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标的平均

2、值。我们马上可以得到粒子坐标的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。先考虑一维情况，然后再推广至三维。第二页，讲稿共七十二页哦5.2.1 测量结果的期望值测量结果的期望值 用算符表示力学量用算符表示力学量为简单计，除去时间变量（或者说，先不考虑随时间为简单计，除去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）设的变化）设(x)(x)是归一化波函数，是归一化波函数，|(x)|(x)|2 2 是粒子是粒子出现在出现在x x点的几率密度，则点的几率密度，则 的几率是的几率是:二二 给定状态给定状态里，力学量里，力学量动量动量的平均值的平均值?粒子出现在粒子出现在p px x点的几率密度，则点的几率密度

3、，则 的几率是的几率是:错误错误第三页，讲稿共七十二页哦5.2.1 测量结果的期望值测量结果的期望值 用算符表示力学量用算符表示力学量 由由(x)(x)直接计算动量平均值，与坐标的平均值的式子有类似的结直接计算动量平均值，与坐标的平均值的式子有类似的结构。构。动量必须改造成与经典力学不同的动量必须改造成与经典力学不同的算符算符形式形式具体的表象变换稍后讨论具体的表象变换稍后讨论任何波函数任何波函数(r,t)可用各种不同可用各种不同动量的平面波动量的平面波第四页，讲稿共七十二页哦5.2.1 测量结果的期望值测量结果的期望值 用算符表示力学量用算符表示力学量三三 用算符表示微观粒子的物理量用算符表

4、示微观粒子的物理量体系状态用坐标表象中的体系状态用坐标表象中的波函数波函数(r)(r)描写时，描写时，坐标坐标 x x 的算符就是其自身，即的算符就是其自身，即说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。动量动量 p px x 在坐标表象（非自身表象）中的形式必须在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：改造成动量算符形式：三维情况：三维情况：体系状态用坐标表象中的波函数体系状态用坐标表象中的波函数 描写时描写时坐标算符：坐标算符：第五页，讲稿共七十二页哦如果量子力学中力学量如果量子力学中力学量F F在经典物理中有对应的力学量，并且在经典在经典

5、物理中有对应的力学量，并且在经典物理中该力学量可以写成是动量和坐标的函数，即：物理中该力学量可以写成是动量和坐标的函数，即：则量子力学中，该力学量的算符将写为：则量子力学中，该力学量的算符将写为：力学量力学量F：动量算符：动量算符：5.2.1 测量结果的期望值测量结果的期望值 用算符表示力学量用算符表示力学量第六页，讲稿共七十二页哦角动量算符：角动量算符：5.2.1 测量结果的期望值测量结果的期望值 用算符表示力学量用算符表示力学量动能算符：动能算符：第七页，讲稿共七十二页哦能量算符：能量算符：在势场中在势场中 的粒子的粒子能量算符就是哈密顿算符能量算符就是哈密顿算符结论结论1 1、在状态、在

6、状态 中，力学量中，力学量F F的平均值可以通过算符的平均值可以通过算符 对对 的运算的运算得到。得到。2、如果量子力学中力学量如果量子力学中力学量F F在经典物理中有对应的力学量在经典物理中有对应的力学量 ，则量子力学中，该力学量的算符将写为，则量子力学中，该力学量的算符将写为5.2.1 测量结果的期望值测量结果的期望值 用算符表示力学量用算符表示力学量第八页，讲稿共七十二页哦5.2.1 测量结果的期望值测量结果的期望值 用算符表示力学量用算符表示力学量四四 算符的运算规则和性质算符的运算规则和性质在数学上，一个算符在数学上，一个算符 表示一种运算符号，它的意义表现在，表示一种运算符号，它的

7、意义表现在，对一个函数的运算结果得到另一个函数。即：对一个函数的运算结果得到另一个函数。即：其中其中c c1 1,c,c2 2是任意复常数，是任意复常数，1 1,1 1是任意两个波函数。是任意两个波函数。开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写力学量的算符都力学量的算符都是线性算符是线性算符，这是态叠加原理的反映。，这是态叠加原理的反映。1 1 线性算符线性算符例如：例如：第九页，讲稿共七十二页哦5.2.1 测量结果的期望值测量结果的期望值 用算符表示力学量用算符表示力学量2 2 单位算符单位算符指使波函数不变的运算指使波函数不变的运算3 3 两

8、个算符相等两个算符相等 若两个算符若两个算符 ,对体系的任何波函数体系的任何波函数的运算的运算结果都相同，果都相同，即即:则算符则算符 和算符和算符 相等记为相等记为 。4 4 算符之和算符之和若两个算符若两个算符 和和 对体系的任何波函数对体系的任何波函数有：有：则则 称为算符之和，算符求和满足交换率和结合率。称为算符之和，算符求和满足交换率和结合率。第十页，讲稿共七十二页哦5.2.1 测量结果的期望值测量结果的期望值 用算符表示力学量用算符表示力学量5 5 算符之积算符之积两个算符两个算符 和和 之积，记为之积，记为通常通常6 6 逆运算逆运算设设能唯一解出能唯一解出 则则注意：注意：并非

9、所有的算符都有逆运算，只有满足下式的才有逆并非所有的算符都有逆运算，只有满足下式的才有逆运算存在运算存在第十一页，讲稿共七十二页哦5.2.1 测量结果的期望值测量结果的期望值 用算符表示力学量用算符表示力学量7 7 算符的函数算符的函数8 8 复共轭算符复共轭算符给定一个函数给定一个函数F(X),F(X),其各阶导数都存在，没有一个算符其各阶导数都存在，没有一个算符 ，则，则可定义算符可定义算符 的函数的函数F()F()为为:算符算符 的复共轭是将的复共轭是将 的表达式中所有的量换成其复共轭的表达式中所有的量换成其复共轭如如:第十二页，讲稿共七十二页哦5.2.1 测量结果的期望值测量结果的期望

10、值 用算符表示力学量用算符表示力学量9 9 转置算符转置算符10 10 厄米共轭算符厄米共轭算符算符算符 的转置算符的转置算符 定义为定义为如如:算符算符 的厄米共轭算符的厄米共轭算符 定义为定义为第十三页，讲稿共七十二页哦5.2.1 测量结果的期望值测量结果的期望值 用算符表示力学量用算符表示力学量11 11 厄米算符厄米算符算符算符 的等于自己的厄米共轭算符的等于自己的厄米共轭算符 ，称为厄米自共轭算符，称为厄米自共轭算符可证明：可证明：则则例例1：证明坐标和动量算符是厄米算符。：证明坐标和动量算符是厄米算符。见课本见课本p312。第十四页，讲稿共七十二页哦5.2.1 测量结果的期望值测量

11、结果的期望值 用算符表示力学量用算符表示力学量定理：定理：在任何情况下厄米算符的平均值都为实数。在任何情况下厄米算符的平均值都为实数。逆定理：逆定理：在任何情况下平均值为实数的算符一定是厄米算符。在任何情况下平均值为实数的算符一定是厄米算符。总结总结量子力学第二基本假设：量子力学第二基本假设：力学量用线性厄米算符来表示。力学量用线性厄米算符来表示。第十五页，讲稿共七十二页哦5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数给定状态给定状态 里，力学量的期望值里，力学量的期望值-平均值平均值1、力学量可能的取值：、力学量可能的取值：只与系统本身的性质和

12、所处的外部只与系统本身的性质和所处的外部条件有关，与运动状态无关。条件有关，与运动状态无关。2、各种可能取值的几率：、各种可能取值的几率：既依赖于力学量的算符，也与状态既依赖于力学量的算符，也与状态的波函数有关。的波函数有关。第十六页，讲稿共七十二页哦一一 力学量的本征值方程力学量的本征值方程相对于平均值的相对于平均值的涨落：涨落：体系（微观粒子）处于某种状态体系（微观粒子）处于某种状态 ，若测量某个力学量，若测量某个力学量F时，时，可能出现各种结果，每个结果有一定的几率，经过多次测量，可能出现各种结果，每个结果有一定的几率，经过多次测量，结果的平均趋于一个确定值结果的平均趋于一个确定值 。若

13、若 某种某种特殊状态特殊状态，在些状态下，力学量，在些状态下，力学量F F有确定值。有确定值。5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第十七页，讲稿共七十二页哦算符算符 本征方程本征方程算符算符 本征值本征值本征值本征值 对应的对应的本征函数本征函数本征函数所描述的态称为本征函数所描述的态称为 本征态本征态1 1、量子力学基本假设：、量子力学基本假设：某一某一力学量所能取的值力学量所能取的值是这一力是这一力学量的算符在系统性质决定的学量的算符在系统性质决定的定解条件定解条件下的下的本征值。本征值。说明说明5.2.2 测量结果的概率分布测量结

14、果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第十八页，讲稿共七十二页哦2 2、厄米算符的、厄米算符的本征值是实数本征值是实数4 4、定解条件下解本征方程，可能会得到一系列本征值、定解条件下解本征方程，可能会得到一系列本征值(本征谱本征谱)，及相对应的本征函数。及相对应的本征函数。分立：分立：连续：连续：3 3、波函数的标准条件：、波函数的标准条件：连续、单值、有限连续、单值、有限。量子数量子数5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第十九页，讲稿共七十二页哦二二 几个力学量的本征值方程几个力学量的本征值方程1 1 动量算符的本

15、征值和本征函数动量算符的本征值和本征函数一维情况：一维情况：解得解得(a)若粒子在无限空间中运动，若粒子在无限空间中运动，即即 取任何值波函数取任何值波函数均满足标准化条件，动量本征值是一个连续谱均满足标准化条件，动量本征值是一个连续谱 。动量算符动量算符常数常数,本征值本征值 本征值本征值 对应的本征函数对应的本征函数5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第二十页，讲稿共七十二页哦(b)若粒子在有限空间中运动，若粒子在有限空间中运动，即即 采用采用周期性边周期性边界条件界条件，即：，即：动量的本征值是动量的本征值是分立谱分立谱。5.2.

16、2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第二十一页，讲稿共七十二页哦动量算符动量算符常数（这里是一个常矢量）本征值常数（这里是一个常矢量）本征值属于本征值属于本征值 的本征函数的本征函数以上的方程可以分解为三个分量的形式以上的方程可以分解为三个分量的形式方程等号两边的矢量分量分别相等，可列出三个分量方程方程等号两边的矢量分量分别相等，可列出三个分量方程三维情况：三维情况：5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第二十二页，讲稿共七十二页哦由于粒子由于粒子在三个方向的在三个方向的运动是独立的运动是

17、独立的，因此我，因此我们可以使用分离变量法们可以使用分离变量法代入左边的方程代入左边的方程得到得到5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第二十三页，讲稿共七十二页哦解得解得这其实就是第一章自由粒子这其实就是第一章自由粒子的德布罗意平面波的空间部的德布罗意平面波的空间部分。分。动量算符的本征函数就动量算符的本征函数就是平面波是平面波在这个状态中，粒子在这个状态中，粒子动量确定，就是动量确定，就是本征本征值值5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第二十四页，讲稿共七十二页哦动量动量本征值

18、取连续谱本征值取连续谱。对于这类本征值构成连续谱的本征函数怎么归一化对于这类本征值构成连续谱的本征函数怎么归一化？所得到的本征函数将不能归一化所得到的本征函数将不能归一化5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第二十五页，讲稿共七十二页哦 归一化系数的确定归一化系数的确定注意注意：在积：在积分中我们取分中我们取了两个属于了两个属于不同本征值不同本征值的平面波，的平面波，与普通波函与普通波函数的归一化数的归一化公式不一样公式不一样对于以上类型的积分有以下的数学公式对于以上类型的积分有以下的数学公式利用以上公式，我们利用以上公式，我们可以得到可

19、以得到如果取如果取 不妨取不妨取被被“归一化归一化”为为-函数函数第二十六页，讲稿共七十二页哦“归一化归一化”的平面波的平面波具有连续谱的本征函数如具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能而只能归一化为归一化为-函数函数。但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为来归一，这种方法称为箱归一化箱归一化。5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第二十七页，讲稿共七十二页哦把微观粒子装在一个正方体

20、箱子里面，其边长为把微观粒子装在一个正方体箱子里面，其边长为L。取箱中心为坐标。取箱中心为坐标原点。这是一个原点。这是一个完全对称的物理结构完全对称的物理结构。因此在箱子边界的对应点。因此在箱子边界的对应点A,A上，上，波函数的值应该相等，此波函数的值应该相等，此边界条件称为周期性边界条件边界条件称为周期性边界条件。xyzAAoL箱归一化箱归一化周期性边界条件周期性边界条件5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第二十八页，讲稿共七十二页哦在在y和和z方向也能得到类似的结论方向也能得到类似的结论由此表明，如果把粒子装到如上所述的箱子里面，将

21、引入周期性边由此表明，如果把粒子装到如上所述的箱子里面，将引入周期性边界条件。这导致本征值界条件。这导致本征值p(px,py,pz)不能任意取值，只能取满足上述不能任意取值，只能取满足上述条件的分立值条件的分立值 换言之，换言之，加上周期性边界条件后，加上周期性边界条件后，本征值连续谱变本征值连续谱变成了分立谱。成了分立谱。第二十九页，讲稿共七十二页哦px,py,pz的不同取值之间的间隔为的不同取值之间的间隔为随着随着L不断扩大，间隔不断缩小，就会由分立谱过度为连续谱不断扩大，间隔不断缩小，就会由分立谱过度为连续谱加入周期性条件后，动量本征方程的解变为加入周期性条件后，动量本征方程的解变为连续

22、谱时连续谱时本征值本征值p取任意数值取任意数值一个动量取值一个动量取值对应三个整数对应三个整数箱内箱内箱外箱外由于本征值由连续谱变分立谱，以上波函数将能够归一化，验证如下由于本征值由连续谱变分立谱，以上波函数将能够归一化，验证如下第三十页，讲稿共七十二页哦这时归一化系数这时归一化系数 c 可由归一化条件来确定可由归一化条件来确定当当 时时不妨取不妨取此时归一化的波函数为此时归一化的波函数为箱内箱内箱外箱外箱外波函数为箱外波函数为零因此零因此这个波函数描述了一个装在箱子里的自由粒子的可能状态这个波函数描述了一个装在箱子里的自由粒子的可能状态第三十一页，讲稿共七十二页哦2 2 一维自由运动粒子的能

23、量算符的本征值和本征函数一维自由运动粒子的能量算符的本征值和本征函数（1）能量算符的形式）能量算符的形式（2）本征方程）本征方程本征函数本征函数本征值本征值这个二阶微分方程的解这个二阶微分方程的解:5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第三十二页，讲稿共七十二页哦k取任意实值都满足波函数标准条件，取任意实值都满足波函数标准条件，是是连续谱连续谱。若令若令A=0或者或者B=0，可得，可得与动量波函数相比与动量波函数相比完全相同完全相同5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第三十三页，讲

24、稿共七十二页哦（a）对于自由粒子，能量算符和动量算符可以有共同的本）对于自由粒子，能量算符和动量算符可以有共同的本征函数。征函数。（b）和同一个能量本征值）和同一个能量本征值 （除（除E=0外）对应，外）对应，能量算符有两个线性独立的本征函数。这种对应两个独能量算符有两个线性独立的本征函数。这种对应两个独立本征函数的本征值被称为二重简并立本征函数的本征值被称为二重简并。相对于力学量的一个本征值，有相对于力学量的一个本征值，有r个线性独立本征函数，则称个线性独立本征函数，则称力学量是力学量是简并简并的，的，简并度简并度为为r.说明说明5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值

25、和本征函数算符的本征值和本征函数第三十四页，讲稿共七十二页哦3 3 角动量算符的本征值和本征函数角动量算符的本征值和本征函数（1 1）角）角动量算符的形式量算符的形式(I)(I)直角坐标系直角坐标系5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第三十五页，讲稿共七十二页哦角动量平方算符角动量平方算符由于角动量平方算符中含有关于由于角动量平方算符中含有关于 x，y，z 偏导数的交叉项偏导数的交叉项,所以直角坐标所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解难于求解,为此我们为此我们采用球坐采用球坐

26、标较为方便标较为方便.5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第三十六页，讲稿共七十二页哦直角坐标与球坐标之间的变换关系直角坐标与球坐标之间的变换关系 xz球坐标球坐标r y(II)(II)球坐标球坐标对于任意函数对于任意函数f(r,)（其中，（其中，r,都是都是 x,y,z 的函数）则有：的函数）则有：也可也可写为写为第三十七页，讲稿共七十二页哦将（将（1）式两边分别对）式两边分别对 x y z 求偏导数得：求偏导数得：将（将（2）式两边分别对）式两边分别对 x y z 求偏导数得：求偏导数得：将（将（3）式两边分别对）式两边分别对 x

27、y z 求偏导数得：求偏导数得：第三十八页，讲稿共七十二页哦将上面结果代回原式得：将上面结果代回原式得：则角动量算符在球坐标中的表达式为：则角动量算符在球坐标中的表达式为：第三十九页，讲稿共七十二页哦（2）本征方程）本征方程(I)Lz的本征方程的本征方程本征函数本征函数本征值本征值这个一阶微分方程的解为这个一阶微分方程的解为波函数波函数单值单值条件，要求当条件，要求当 转过转过 2角回到原位时波函数值相等，角回到原位时波函数值相等，即：即：因此因此5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第四十页，讲稿共七十二页哦归一化归一化不妨取不妨取最后

28、得最后得 Lz 的本征函数和所属的本征值：的本征函数和所属的本征值：当粒子处于状态当粒子处于状态 时，粒子的角动量在时，粒子的角动量在z方向的分方向的分量有确定值量有确定值第四十一页，讲稿共七十二页哦(II)L2的本征值问题的本征值问题L2的本征值方程可写为：的本征值方程可写为：设本征值设本征值其中其中 是是 属于本征值属于本征值 的本征函数。此方程就是大的本征函数。此方程就是大家熟悉的球谐函数方程，其求解方法在数学物理方法中已有家熟悉的球谐函数方程，其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述，得到的结论是：详细的讲述，得到的结论是：要使方程的解要使方程的解 在在 变化的整个区域变化的整个区域(

29、0,)内都是有限内都是有限的（即满足波函数的有限性标准条件），本征值必须有所限的（即满足波函数的有限性标准条件），本征值必须有所限制制第四十二页，讲稿共七十二页哦本征值必须满足本征值必须满足该方程的解叫做球函数该方程的解叫做球函数 其具体形式为：其具体形式为：叫做缔合勒让德多项式，它是叫做缔合勒让德多项式，它是 的函数的函数归一化系数，由归一化条件确定归一化系数，由归一化条件确定可以算得为可以算得为第四十三页，讲稿共七十二页哦的本征函数的本征函数所属的本征值所属的本征值另外根据球函数我们还可以看到另外根据球函数我们还可以看到 被称为被称为角量子数角量子数，因为它决定了角动量平方的大小，因为它决

30、定了角动量平方的大小对应同一个对应同一个 角量子数角量子数 ，m 取值为取值为 0,1,2,3,.,，共，共(2 +1)个值。即属于本征值个值。即属于本征值 的本征函数不止一个的本征函数不止一个对应一个本征值有一个以上本征函数的情况叫做简并。对应一个本征值有一个以上本征函数的情况叫做简并。当粒子处当粒子处于这些函数描述的状态时，角动量平方取确定值，且都等于于这些函数描述的状态时，角动量平方取确定值，且都等于 一个本征函数对应一个本征函数，都是一个本征函数对应一个本征函数，都是非简并非简并的。的。当粒子处在状态当粒子处在状态 时，角动量平方为确定值，值为时，角动量平方为确定值，值为换句话说，它们

31、满足如下等式换句话说，它们满足如下等式第四十四页，讲稿共七十二页哦同一个本征值对应的本征函数的数量叫做简并度，这里同一个本征值对应的本征函数的数量叫做简并度，这里 的简并度是的简并度是 2 +1 这里的这里的m叫做叫做磁量子数，磁量子数，事实上这里的事实上这里的m和上面求解的和上面求解的Lz本征值方程时本征值方程时得到的得到的m是一个东西是一个东西。这可以通过以下步骤验证：。这可以通过以下步骤验证：让算符让算符 作用到球函数作用到球函数 上上第四十五页，讲稿共七十二页哦球函数球函数角量子数角量子数，决定，决定了角动量平方的了角动量平方的大小大小磁量子数磁量子数，决定了，决定了角动量在角动量在z

32、方向分量方向分量的大小的大小角动量在角动量在z方向分量方向分量算符的本算符的本征函数征函数角动量平方角动量平方算符算符的本征的本征函数函数又叫做又叫做 的共同本征函数的共同本征函数由此可见球函数由此可见球函数 不仅是不仅是 的本征函数函数，还是的本征函数函数，还是 的的本征函数。换句话说，当粒子处在状态本征函数。换句话说，当粒子处在状态 ，角动量平方有，角动量平方有确定值确定值 ，角动量在，角动量在z方向上的分量也有确定值方向上的分量也有确定值 为为 第四十六页，讲稿共七十二页哦4 4 粒子在一维无限深势阱中运动粒子在一维无限深势阱中运动V(x)0 a求能量本征值和本征函数求能量本征值和本征函

33、数（1）能量算符的形式）能量算符的形式（2）本征方程）本征方程第四十七页，讲稿共七十二页哦这个二阶微分方程的解这个二阶微分方程的解:（3）能级和本征函数）能级和本征函数第四十八页，讲稿共七十二页哦波函数标准条件波函数标准条件:单值单值,有界有界,连续连续.要求波函数在阱内外要连续。所以要求波函数在阱内外要连续。所以:因而，A和和B不能同时为零不能同时为零,否则波函数为零否则波函数为零是一个真空解是一个真空解.注意：注意：第四十九页，讲稿共七十二页哦能量取能量取分分立值立值本征函数本征函数波函数的归一化是：波函数的归一化是：（与n无关）归一化的归一化的本征函数本征函数第五十页，讲稿共七十二页哦1

34、）能级是分裂的：）能级是分裂的：(n=1,2,3,4)基态能量（最低能量）：基态能量（最低能量）：能级间隔：能级间隔：讨论讨论2）描述的是束缚态描述的是束缚态所谓束缚态是当所谓束缚态是当 时，时，。即粒子被约束在有限的区域内运动。即粒子被约束在有限的区域内运动。本例中粒子运动被约束于势阱中。本例中粒子运动被约束于势阱中。连续谱连续谱 第五十一页，讲稿共七十二页哦3 3）与经典粒子的运动进行比较）与经典粒子的运动进行比较）与经典粒子的运动进行比较）与经典粒子的运动进行比较经典粒子在匣子中运动：经典粒子在匣子中运动：能量可以取从零到很大的所有的值（连续）能量可以取从零到很大的所有的值（连续）粒子运

35、动的速率不变粒子运动的速率不变,所以粒子在匣子内各处出现的几率相等。所以粒子在匣子内各处出现的几率相等。微观粒子在匣子中运动：微观粒子在匣子中运动：微观粒子能量取分立的值，微观粒子能量取分立的值，微观粒子在匣子内各处出现的几率密度为微观粒子在匣子内各处出现的几率密度为第五十二页，讲稿共七十二页哦最低能级的四个本征函数最低能级的四个本征函数最低四个能级时的几率分布最低四个能级时的几率分布第五十三页，讲稿共七十二页哦三三 本征函数的正交性本征函数的正交性5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数厄米算符本征函数的一个重要性质厄米算符本征函数的一个

36、重要性质正交性。正交性。其实这个性质在我们前面已经有所论述。其实这个性质在我们前面已经有所论述。动量本征函数（平面波）动量本征函数（平面波）被被“归一化归一化”为为-函数函数当本征值构成连续谱，当本征值构成连续谱，本征值本征值第五十四页，讲稿共七十二页哦正交性正交性如果两个函数如果两个函数 满足如下关系式：满足如下关系式：则我们称两个函数则我们称两个函数相互正交相互正交。下面为正交性给一个标准的数学定义下面为正交性给一个标准的数学定义注意注意：以上积分是对自变量以上积分是对自变量x x变化的所有区域进行积分变化的所有区域进行积分。这个定义不限于。这个定义不限于一维情况，三维与此类似（积分区域是

37、一维情况，三维与此类似（积分区域是x,y,zx,y,z变化的所有区域。）变化的所有区域。）重要定理：厄密算符属于不同本征重要定理：厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交的本征函数彼此正交5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第五十五页，讲稿共七十二页哦证明：证明：设设 是厄密算符是厄密算符 的本征函数，它们所属的本征函数，它们所属的本征值的本征值 都不相等。都不相等。此时此时 ，即即本征值构成分立谱本征值构成分立谱(1)(1)式两边取共轭式两边取共轭厄密算符的本征值为实数厄密算符的本征值为实数证明：明：5.2.2 测量结果的概率分布测量

38、结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第五十六页，讲稿共七十二页哦两边右乘两边右乘 并在整个变量变化范围内求积分并在整个变量变化范围内求积分(2)(2)式两边左乘式两边左乘 并在整个变量变化范围内求积分并在整个变量变化范围内求积分故故因为算符因为算符 是厄密算符的定义：是厄密算符的定义：第五十七页，讲稿共七十二页哦移项得移项得由由 可知可知得证得证在连续谱情况下这个定理也成立。在连续谱情况下这个定理也成立。简并情况并情况在证明厄密算符本征函数的正交归一性时，我们曾假设本征函在证明厄密算符本征函数的正交归一性时，我们曾假设本征函数所属的本征值各不相等，即数所属的本征值各不相

39、等，即忽略了简并的情况忽略了简并的情况。现在假设算。现在假设算符符 的某个本征值的某个本征值 是是 度简并，即属于它的本征函数有度简并，即属于它的本征函数有 个：个：，显然它们满足如下关系：，显然它们满足如下关系：一般说来，这些函数并不一定正交。一般说来，这些函数并不一定正交。连续谱情况情况第五十八页，讲稿共七十二页哦下面我们要证明一个下面我们要证明一个重要结论重要结论这些新函数仍然是这些新函数仍然是 的本征函数，本征值仍然是的本征函数，本征值仍然是 ，并且彼此，并且彼此满足正交归一关系：满足正交归一关系：我们我们总可以总可以找到找到 个常数个常数 把这把这 个旧本征函个旧本征函数按如下方式重

40、新线性组合数按如下方式重新线性组合 个新函数：个新函数：第五十九页，讲稿共七十二页哦正交归一系实例正交归一系实例（1 1）动量本征函数）动量本征函数组成正交归一系：组成正交归一系：（2 2）坐标本征函数）坐标本征函数组成正交归一系：组成正交归一系：第六十页，讲稿共七十二页哦（3 3）角动量算符）角动量算符 的本征函数的本征函数组成正交归一系：组成正交归一系：（4 4）角动量平方算符）角动量平方算符 的本征函数的本征函数这个函数同时还是这个函数同时还是 的本征函数，本征值为的本征函数，本征值为 ，因此，因此第六十一页，讲稿共七十二页哦四四 本征函数的归一化本征函数的归一化5.2.2 测量结果的概

41、率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数被被“归一化归一化”为为-函数，如：函数，如：当本征值构成连续谱，当本征值构成连续谱，第六十二页，讲稿共七十二页哦存在一系列的可能值，这些值存在一系列的可能值，这些值肯定肯定是力学量算符的是力学量算符的本征值本征值。五五 给定状态力学量取值的概率给定状态力学量取值的概率5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数通常在任意一般态通常在任意一般态 中，力学量中，力学量 的的测量结果是不确定的测量结果是不确定的，既然力学量的值不确定，就涉及到求既然力学量的值不确定，就涉及到求平均

42、值平均值的问题的问题:1、这些可能值出现的概率、这些可能值出现的概率?就是把就是把 用用 的本征函数（的本征函数（已经归一化处理已经归一化处理）展开之）展开之后，本征函数后，本征函数 前面的系数的模平方前面的系数的模平方第六十三页，讲稿共七十二页哦5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数证明：证明：(一一)展开式中的系数展开式中的系数可以通过如下方法求得：可以通过如下方法求得：将将 左乘以展开式两边并对函数自变量积分得：左乘以展开式两边并对函数自变量积分得：分立谱时分立谱时：根据厄密算符本征函数的根据厄密算符本征函数的正交归一性正交归一性即

43、即注意注意：这里：这里的所有函数的所有函数预先都作了预先都作了归一化处理归一化处理第六十四页，讲稿共七十二页哦连续谱时连续谱时展开式左乘展开式左乘 并积分并积分(二二)平均值的表示平均值的表示假设在假设在 中力学量中力学量F F取值取值 时的几率为时的几率为另一方面根据量子力学中平均值的概念另一方面根据量子力学中平均值的概念分立谱时：分立谱时：代入上式代入上式连续谱时：连续谱时：代入上式代入上式5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第六十五页，讲稿共七十二页哦与与 相对照相对照5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值

44、和本征函数算符的本征值和本征函数第六十六页，讲稿共七十二页哦函数的完函数的完备性性如果任意函数如果任意函数 都可以用某一组函数都可以用某一组函数 展开为展开为如下的级数形式如下的级数形式:式中式中 是与函数自变量无关的展开系数。则我们称这组函数是与函数自变量无关的展开系数。则我们称这组函数 是是完备完备的，或者说它们构成了一个的，或者说它们构成了一个完备系完备系2 2、厄米算符本征函数的一个重要性质、厄米算符本征函数的一个重要性质注意注意：如果这组函数的下标记是连续量：如果这组函数的下标记是连续量 ，即，即 ，则展开式要，则展开式要写成积分形式写成积分形式5.2.2 测量结果的概率分布测量结果

45、的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第六十七页，讲稿共七十二页哦3 3、任意态中力学量的平均值的步骤、任意态中力学量的平均值的步骤第一步：先求力学量算符第一步：先求力学量算符 的本征方程。的本征方程。第二步：将任意给定的函数第二步：将任意给定的函数 用本征函数用本征函数 展开展开第三步：求展开系数第三步：求展开系数求出求出 后，就可得到力学量后，就可得到力学量F F在态在态 中取值中取值 (本征值本征值)的几率的几率5.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第六十八页，讲稿共七十二页哦例例例例1 1 1 1：P324P32

46、4P324P3245.2.2 测量结果的概率分布测量结果的概率分布 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数第六十九页，讲稿共七十二页哦量子力学基本假定量子力学基本假定量子力学中表示力学量的算符都是量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符厄密算符，它们的本征函数，它们的本征函数构成构成完备系完备系，当微观体系处于波函数，当微观体系处于波函数 时，测量力学量时，测量力学量 所得的结果所得的结果一定一定是表示力学量的算符是表示力学量的算符 的某个本征值的某个本征值 (或或 )。测得结果为。测得结果为 的的概率就是展开系数概率就是展开系数 (如果是连续谱，则如果是连续谱，则测得结果在测得结果在 到

47、到 之间的概率为之间的概率为 )根据这个假定，通常在任意一般态根据这个假定，通常在任意一般态 中，力学量中，力学量 的的测量结测量结果是不确定的果是不确定的，存在一系列的可能值，这些值，存在一系列的可能值，这些值肯定肯定是力学量算是力学量算符的符的本征值本征值。这些可能值出现的概率就是把。这些可能值出现的概率就是把 用用 的本征函的本征函数（数（已经归一化处理已经归一化处理）展开之后，本征函数）展开之后，本征函数 前面的系数的前面的系数的模平方模平方既然力学量的值不确定，就涉及到求平均值的问题既然力学量的值不确定，就涉及到求平均值的问题第七十页，讲稿共七十二页哦证明分如下两步进行证明分如下两步

48、进行1.1.证证明明这这些些线线性性组组合合出出来来的的函函数数 确确实实是是属属于于本本征征值值 的的本征函数。本征函数。2.2.证明满足正交归一条件的证明满足正交归一条件的 个新函数个新函数 是是总可以总可以找到的。找到的。显然如果这些新本征函数必须满足如下的正交归一条件显然如果这些新本征函数必须满足如下的正交归一条件这显然是一个关于常数这显然是一个关于常数 的方程，未知量是的方程，未知量是f f2 2个个这样的方程总共有这样的方程总共有f(f+1)/2个，个，包括关于归一化条件的方程包括关于归一化条件的方程f f个个（即当（即当 时），正交条件方程时），正交条件方程f(f-1)/2 个(

49、即当即当 时时)附录附录第七十一页，讲稿共七十二页哦因为因为 f2-f(f+1)/2=f(f-1)/2 0，所以，方程个数少于待定系数所以，方程个数少于待定系数 的个数，因此满的个数，因此满足如上条件的待定系数足如上条件的待定系数 肯定存在肯定存在，而且还不止一而且还不止一组组。找到这样的一组待定常数，那么满足正交归一化条件的找到这样的一组待定常数，那么满足正交归一化条件的 个个新本征函数新本征函数 自然也就找到了自然也就找到了。这些新本征函数是旧本征函数。这些新本征函数是旧本征函数的线性组合，本征值仍为的线性组合，本征值仍为 ，且满足正交归一化条件，且满足正交归一化条件以上是分立谱时证明，连续谱与之类似，不再作证明以上是分立谱时证明，连续谱与之类似，不再作证明第七十二页，讲稿共七十二页哦