第一章行列式线性代数精选文档.ppt

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1、第一章行列式 线性代数2022/10/41本讲稿第一页，共八十八页 前言前言l线性代数的理论和方法已成为科学研究及处理各个领域问线性代数的理论和方法已成为科学研究及处理各个领域问题的强有力工具（题的强有力工具（线性：主要指有关变量是一次的。）线性：主要指有关变量是一次的。）l考研数学试卷中比例已占：考研数学试卷中比例已占：2022/10/42本讲稿第二页，共八十八页2010年考研数学大纲（线性代数）z一、行列式z二、矩阵z三、向量z四、线性方程组z五、矩阵的特征值和特征向量z六、二次型 2022/10/43本讲稿第三页，共八十八页本课程主要学习内容：第一章行列式第一章行列式第二章矩阵第二章矩阵

2、第三章向量与线性方程组第三章向量与线性方程组第四章矩阵的特征值与特征向量第四章矩阵的特征值与特征向量第五章第五章 二次型二次型2022/10/44本讲稿第四页，共八十八页第一章第一章 行列式行列式 要求要求:1.了解行列式的概念，掌握行列式了解行列式的概念，掌握行列式 的的性质性质 2.会应用行列式的性质和行列式按行会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式（列）展开定理计算行列式3、会用克莱姆法则解线性方程组、会用克莱姆法则解线性方程组 2022/10/45本讲稿第五页，共八十八页1.二阶、三阶行列式(一)二阶三阶行列式1.消元法解线性方程组，引入二行列式消元法解线性方程组，引入

3、二行列式2022/10/46本讲稿第六页，共八十八页简记为简记为其中其中 二阶的（系数）行列式2022/10/47本讲稿第七页，共八十八页注注:即克莱姆法则即克莱姆法则 时的情形。时的情形。2022/10/48本讲稿第八页，共八十八页2、二阶行列式计算方法：（对角线法则）、二阶行列式计算方法：（对角线法则）（1 1）取取“-”号号（副（副对角线对角线）取取“+”号号（主（主对角线对角线）2022/10/49本讲稿第九页，共八十八页（2 2）2022/10/410本讲稿第十页，共八十八页（3 3）例题：解线性方程组）例题：解线性方程组解：解：故方程组的解为：故方程组的解为：2022/10/411

4、本讲稿第十一页，共八十八页（二）三阶行列式及其对角线法则1.1.消元法解线性方程组消元法解线性方程组 哇！好简洁啊！注意写法规律！（1）2022/10/412本讲稿第十二页，共八十八页其中：2022/10/413本讲稿第十三页，共八十八页注注:克莱姆法则克莱姆法则 时情形时情形.2022/10/414本讲稿第十四页，共八十八页2.三阶行列式的引入 三阶的（系数）行列式2022/10/415本讲稿第十五页，共八十八页行列式引入图2022/10/416本讲稿第十六页，共八十八页记：三阶（系数）行列式取“-”号（副对角线及平行线）取“+”号（主对角线及平行线）Go 212022/10/417本讲稿第

5、十七页，共八十八页例：解三元线性方程组例：解三元线性方程组2022/10/418本讲稿第十八页，共八十八页2022/10/419本讲稿第十九页，共八十八页2022/10/420本讲稿第二十页，共八十八页1.1.2 n2 n阶行列式阶行列式（一）（一）n n阶行列式的定义阶行列式的定义1.1.观察三阶观察三阶(二阶二阶)行列式的特点行列式的特点（1 1）表示一个数。表示一个数。一般项：取自不同行不同列的一般项：取自不同行不同列的3 3 元素之积，共元素之积，共3 3！=6=6项（二阶：项（二阶：2 2！=2=2项）。项）。（2 2）各项下标：某一个三级排列（）各项下标：某一个三级排列（6 6种）

6、种）（3 3）各项符号：三项正三项负正负号与行标自然顺）各项符号：三项正三项负正负号与行标自然顺序排列时的列标排列顺序有关序排列时的列标排列顺序有关.（注意：在各项乘积中，调整元素的位置，（注意：在各项乘积中，调整元素的位置，总可以使行标成为自然顺序排列！）总可以使行标成为自然顺序排列！）问：正负号如何确定？为此引进问：正负号如何确定？为此引进“逆序逆序”概念。概念。Go 17Go 172022/10/421本讲稿第二十一页，共八十八页（1 1）n n级（元）排列级（元）排列 （前）n个自然数1、2、3、n的一个有序数列称为一个n级排列。如32415是一个5级排列;213546是一个6级排列.

7、排列与逆序2022/10/422本讲稿第二十二页，共八十八页 所有n级(元)排列共有n!种；如：三级排列有3！=6种：123，132；213，231；312，321。五级排列有5！=120种：14325，15342，等 （）逆序与逆序数n逆序：一个排列中，任意两数大前小后排列构成一个逆序；如 132中32构成一个逆序 14325中43、42、32各构成一个逆序n逆序数：一个排列的逆序总数；n级排列逆序数记为2022/10/423本讲稿第二十三页，共八十八页例 A.（123）=0，（132）=1；（213）=1，（231）=2；（312）=2，（321）=3。（14325）=3，（15432）=

8、6；go 无逆序43、42、32各构成一个逆序21构成一个逆序32构成一个逆序 54、53、52、43、42、32各构成一个逆序B.逆序数计算方法：由后往前，算大数：（14325）=0+2+1=3由前往后，算小数：（15342）=0+3+1+1=52022/10/424本讲稿第二十四页，共八十八页逆序数计算例逆序数计算例1.2.3.2022/10/425本讲稿第二十五页，共八十八页（3）奇偶排列及其性质奇偶排列及其性质 n奇偶排列：逆序数为奇（偶）数的排列奇偶排列：逆序数为奇（偶）数的排列称奇（偶）排列。称奇（偶）排列。n对换：某两数位置互换称排列的一次对换。对换：某两数位置互换称排列的一次对

9、换。定理定理.：任意一个排列经过一次对换奇偶性改变。：任意一个排列经过一次对换奇偶性改变。例：确定奇偶排列；例：确定奇偶排列；幻灯片幻灯片 3232证明证明:(1):(1)相邻情形相邻情形逆序数增加或减少逆序数增加或减少1,1,都改变奇偶性都改变奇偶性;(2)(2)一般情形一般情形相邻两数对换相邻两数对换2s+1次次,改变奇偶性。改变奇偶性。2022/10/426本讲稿第二十六页，共八十八页定理定理1.2:1.2:所有所有n!n!个个n n级级排列中奇偶排列各占一半。排列中奇偶排列各占一半。证明：证明：用这种方法，每一个不同的奇排将对应着用这种方法，每一个不同的奇排将对应着一个不同的偶排，故一

10、个不同的偶排，故同理可证同理可证从而从而2022/10/427本讲稿第二十七页，共八十八页例例1 1：求：求i i，j j使使2525i4j1i4j1为偶排列。为偶排列。解：解：6 6级排列使级排列使i i、j j只能取只能取3 3或或6 6；由于；由于例例2:2:解：解：所以，所以，i=6,j=3i=6,j=3。奇奇排排列列 偶排列2022/10/428本讲稿第二十八页，共八十八页有了逆序数及奇偶排列的概念有了逆序数及奇偶排列的概念,再来分再来分析三阶行列式各项的符号与列标排列析三阶行列式各项的符号与列标排列的关系的关系.2022/10/429本讲稿第二十九页，共八十八页 取“-”号（副对角

11、线及平行线）取“+”号（主对角线及平行线）行标成自然排列时行标成自然排列时,列标排列的奇偶性决定符号列标排列的奇偶性决定符号.2022/10/430本讲稿第三十页，共八十八页(二二)n)n阶行列式的定义阶行列式的定义1.2P51.2P5（1 1）一般项：取自不同行不同列的）一般项：取自不同行不同列的n n个元素之积；个元素之积；（2 2）各项下标：使行标成自然顺序，则列标为）各项下标：使行标成自然顺序，则列标为n n级级排列，共有排列，共有n!n!项，奇偶排列各半；项，奇偶排列各半；（3 3）各项符号：列下标奇排列为负，偶排列为正。）各项符号：列下标奇排列为负，偶排列为正。n阶行列式 行列式展

12、开式、一个数请：用一阶、二阶和三阶行列式验证。请：用一阶、二阶和三阶行列式验证。2022/10/431本讲稿第三十一页，共八十八页例题：计算上三角行列式例题：计算上三角行列式解：根据定义，从每一项元素取自不同行列解：根据定义，从每一项元素取自不同行列入手，可知其值等于主对角线元素之积。入手，可知其值等于主对角线元素之积。2022/10/432本讲稿第三十二页，共八十八页结论：上、下三角、对角行列式的值都等于结论：上、下三角、对角行列式的值都等于 主主对角线元素之积！这提供了一种简便对角线元素之积！这提供了一种简便 常用的行列式计算方法。常用的行列式计算方法。2022/10/433本讲稿第三十三

13、页，共八十八页结论：副上下三角、副对角行列式的值都等于结论：副上下三角、副对角行列式的值都等于 副副对角线元素之积，并考虑相应的符号！对角线元素之积，并考虑相应的符号！2022/10/434本讲稿第三十四页，共八十八页 n n阶行列式的等价定义阶行列式的等价定义（行列下标都可任意排列）（行列下标都可任意排列）（1 1）（2 2）行标逆序 列标逆序 行标逆序 视视情况情况灵活灵活选用选用定义定义2022/10/435本讲稿第三十五页，共八十八页例题例题求四阶行列式中，含求四阶行列式中，含解：所求一般项应为解：所求一般项应为只能取只能取2 2或或4 4，确定，确定而而使使奇数，即可得所求项奇数，即

14、可得所求项且带负号的项。且带负号的项。2022/10/436本讲稿第三十六页，共八十八页小结：小结：1.1.二、三阶行列式、对角线法则；二、三阶行列式、对角线法则；2.2.排列的逆序数、奇偶排列；排列的逆序数、奇偶排列；3.3.n n阶行列式定义及其计算。注意，阶行列式定义及其计算。注意，三阶以上行列式无对角线法则！三阶以上行列式无对角线法则！作业布置：作业布置：P351.1.T5T52.2.T10T103.3.T12(2T12(2）（）（4 4）2022/10/437本讲稿第三十七页，共八十八页第一章：第一章：1.3 行列式的性质行列式的性质 1.4 行列式的展开行列式的展开 目的要求目的要

15、求1.熟练掌握行列式性质，会用性质计算行列式；熟练掌握行列式性质，会用性质计算行列式；2.掌握子式、余子式、代数余子式的求法；掌握子式、余子式、代数余子式的求法；3.理解行列式与代数余子式之间的联系；理解行列式与代数余子式之间的联系；4.掌握行列式的展开方法（按某行、多行展开掌握行列式的展开方法（按某行、多行展开),并会用于简化行列式的计算。并会用于简化行列式的计算。2022/10/438本讲稿第三十八页，共八十八页一、一、复习复习2.二、三阶行列式的二、三阶行列式的对角线法则对角线法则：1.逆序数逆序数及其求法：及其求法：2022/10/439本讲稿第三十九页，共八十八页注意：注意：利用定义

16、计算行列式，一般项取自不同行不利用定义计算行列式，一般项取自不同行不同列的同列的n个个元素之积；符号由下标排列的逆序数确元素之积；符号由下标排列的逆序数确定，正负号各半；展开式一共有定，正负号各半；展开式一共有n！项。项。.n阶阶行列式定义行列式定义与计算：与计算：2022/10/440本讲稿第四十页，共八十八页1.3行列式行列式性质性质性质性质1.行列式行列式转置，值不变转置，值不变。转置：行列互换2022/10/441本讲稿第四十一页，共八十八页证：证：用定义证明，参见用定义证明，参见P11。设设注：注：性质性质1表明，行列式的行与列有相同地位。表明，行列式的行与列有相同地位。则则从而从而

17、2022/10/442本讲稿第四十二页，共八十八页性质性质2.两行（列）两行（列）互换互换值值变号变号。证：证：用定义证明。参见用定义证明。参见P11-12（略）略）2022/10/443本讲稿第四十三页，共八十八页推论：推论：两行（列）对应元素相同两行（列）对应元素相同值为零值为零。证明：证明：性质性质3.某行（列）的某行（列）的公因子公因子可可外提外提.互换相同的两行，互换相同的两行，2022/10/444本讲稿第四十四页，共八十八页推论推论1：某行（列）的元素都为零：某行（列）的元素都为零值为零值为零。推论推论2：两行（列）成比例：两行（列）成比例值为零值为零。(拆分拆分)性质性质4.：

18、若某行（列）元素为：若某行（列）元素为两数两数 和和，则可拆成，则可拆成两行列式两行列式的的和和。证明：证明：由推论及性质由推论及性质3可证。可证。推论：推论：若某行（列）元素为若某行（列）元素为m个数个数 和和，则可拆成，则可拆成m个行列式个行列式的的和和。2022/10/445本讲稿第四十五页，共八十八页性质性质5.乘加法则乘加法则：某行（列）乘以数：某行（列）乘以数k 后加到另一行（列）值不变。后加到另一行（列）值不变。注意：注意：乘加法则的实质是乘加法则的实质是“虚乘虚乘”“实加实加”，即被加行改变，被乘行不变。即被加行改变，被乘行不变。2022/10/446本讲稿第四十六页，共八十八

19、页利用定义和性质利用定义和性质计算行列式计算行列式要点要点1.目标：目标：化行列式为上（下）三角形、对化行列式为上（下）三角形、对 角形行列式计算；角形行列式计算；2.手段：手段：利用行列式性质，植树利用行列式性质，植树“1”造林造林“0”；3.原则：原则：灵活运用行、列的各种变换，灵活运用行、列的各种变换，化简行列式。化简行列式。注意：注意：用性质计算行列式，应尽量做加法不做用性质计算行列式，应尽量做加法不做 减法，避免分数运算。运算过程可用减法，避免分数运算。运算过程可用P16-20页例页例4-8的箭头符号示意，也可用如下的例题符的箭头符号示意，也可用如下的例题符号示意。号示意。2022/

20、10/447本讲稿第四十七页，共八十八页1.例例1 计算行列式计算行列式(化为三角形化为三角形)解：解：2022/10/448本讲稿第四十八页，共八十八页2022/10/449本讲稿第四十九页，共八十八页注注:本例也可用本例也可用“列列”变换变换简化运算，还可以用简化运算，还可以用 更简单灵活的更简单灵活的其他其他各种各种变换变换进行计算，也不进行计算，也不 必拘泥于植必拘泥于植“树树”造造“林林”。但无论用那种。但无论用那种 方法计算，行列式的方法计算，行列式的结果结果是是唯一唯一的。的。2022/10/450本讲稿第五十页，共八十八页2.例例2解：解：3.例例3解：解：2022/10/45

21、1本讲稿第五十一页，共八十八页注意：注意：本例将每行（列）各元素之和加到第本例将每行（列）各元素之和加到第 一行（列）的方法具有普遍应用性。一行（列）的方法具有普遍应用性。2022/10/452本讲稿第五十二页，共八十八页4.例例4解：解：2022/10/453本讲稿第五十三页，共八十八页2022/10/454本讲稿第五十四页，共八十八页5。例。例5：2022/10/455本讲稿第五十五页，共八十八页6。例。例6、计算行列式计算行列式2022/10/456本讲稿第五十六页，共八十八页2022/10/457本讲稿第五十七页，共八十八页交换两行变号2022/10/458本讲稿第五十八页，共八十八页

22、7。例。例7：计算计算n阶行列式阶行列式解：解：当行列式中零元素较多时，可考虑将行列当行列式中零元素较多时，可考虑将行列式逐行（列）往前（后）递加（减），将其化式逐行（列）往前（后）递加（减），将其化为三角行列式计算。故为三角行列式计算。故2022/10/459本讲稿第五十九页，共八十八页2022/10/460本讲稿第六十页，共八十八页 1.行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开1.1 余子式与代数余子式余子式与代数余子式P21定义定义6 在在 阶行列式阶行列式 中划去元素中划去元素 所在的第所在的第行和第行和第 列的元素列的元素,剩下的剩下的 个元素按原来的排法构成一个个元素按原来的排法构

23、成一个 阶的行列式阶的行列式,称为元素称为元素的余子式的余子式,记作记作.对对冠以冠以符号符号后称为元素后称为元素 的代数余子式的代数余子式,记为记为,即即2022/10/461本讲稿第六十一页，共八十八页如如:四阶行列式四阶行列式 D的的余子式余子式:代数余子式代数余子式:2022/10/462本讲稿第六十二页，共八十八页定理定理1.4:n阶行列式阶行列式D等于它的任意一行等于它的任意一行(列列)各元各元 素与其对应的代数余子式的乘积之和，即素与其对应的代数余子式的乘积之和，即或或按行展开按行展开按列展开按列展开证明：证明：P22-23（略）略）2022/10/463本讲稿第六十三页，共八十

24、八页定理定理1.5:n阶行列式阶行列式D的某一行的某一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即或或2022/10/464本讲稿第六十四页，共八十八页注意：注意：按某行（列）展开，是降阶简化计按某行（列）展开，是降阶简化计 算行列式的重要方法，特别适用于算行列式的重要方法，特别适用于 某行（列）零元较多的情形。某行（列）零元较多的情形。例例1：解：解：（1）直接按第一行展开计算）直接按第一行展开计算2022/10/465本讲稿第六十五页，共八十八页例：例：计算计算n阶行列式阶行列式解：解：按第一列展开可得递

25、推公式。按第一列展开可得递推公式。2022/10/466本讲稿第六十六页，共八十八页由递推公式可得：由递推公式可得：2022/10/467本讲稿第六十七页，共八十八页例：例：计算范德蒙行列式计算范德蒙行列式解：解：从第从第n行开始，依次减去上一行的行开始，依次减去上一行的 倍。倍。2022/10/468本讲稿第六十八页，共八十八页得得按第一列展开后，从每列提取一个公因式按第一列展开后，从每列提取一个公因式得原行列式与低一阶的范德蒙行列式间的关系：得原行列式与低一阶的范德蒙行列式间的关系：2022/10/469本讲稿第六十九页，共八十八页依此类推，可得：依此类推，可得：2022/10/470本讲

26、稿第七十页，共八十八页例：例：计算行列式计算行列式解：解：2022/10/471本讲稿第七十一页，共八十八页定理定理1.6：（拉普拉斯定理）：（拉普拉斯定理）若在若在n阶行列式阶行列式D中，中，任意选取任意选取k行行k列，这样组成的所有列，这样组成的所有k阶子式阶子式 与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式 D的值。（证略）的值。（证略）例：例：2022/10/472本讲稿第七十二页，共八十八页2022/10/473本讲稿第七十三页，共八十八页三、小结：三、小结：（略）（略）1.性质归类：性质归类：转置，对换，公因子，拆分转置，对换，公因子，拆分,乘加法则

27、；乘加法则；2.利用性质和展开式利用性质和展开式计算计算的的技巧和特点。技巧和特点。四、作业四、作业P36 1、T13(4)2、T14(3)3、T18(2）4、T215、T232022/10/474本讲稿第七十四页，共八十八页1.5 1.5 克莱姆法则克莱姆法则 一、复习一、复习（一）行列式性质（一）行列式性质1.1.转置转置相等。相等。2.2.互换变号。互换变号。3.3.公因子外提：某行公倍数公因子外提：某行公倍数4 4。两数和两数和拆成拆成两行列式和两行列式和。5.5.乘加法则：虚乘实加乘加法则：虚乘实加值不变值不变。6。值为零：成比例值为零：成比例2022/10/475本讲稿第七十五页，

28、共八十八页（二）行列式展开（降阶）（二）行列式展开（降阶）1.1.余子式、代数余子式余子式、代数余子式2.2.行列式按某行展开行列式按某行展开 3。拉普拉斯定理：若在。拉普拉斯定理：若在n阶行列式阶行列式D中，中，任意选取任意选取k行行k列，这样组成的所有列，这样组成的所有k阶子式阶子式 与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式 D的值。的值。2022/10/476本讲稿第七十六页，共八十八页二、定理二、定理1.7(1.7(克莱姆法则克莱姆法则)：若非齐次线性方程组：若非齐次线性方程组系数行列式不为零，则它有唯一解：系数行列式不为零，则它有唯一解：例：例：P

29、31 P31 例例1 1 利用行列式计算（解略）利用行列式计算（解略）2022/10/477本讲稿第七十七页，共八十八页定理定理1.81.8：若齐次线性方程组（也称（：若齐次线性方程组（也称（1 1）的导出组）的导出组）系数行列式不为零，则它有唯一解：系数行列式不为零，则它有唯一解：2022/10/478本讲稿第七十八页，共八十八页推论：齐次线性方程组推论：齐次线性方程组有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是例：例：P34 P34 例例2,2,例例3 3 利用充要条件判定利用充要条件判定.2022/10/479本讲稿第七十九页，共八十八页例例3 3 取何值时取何值时有非零解？有非零解？解：利

30、用充要条件求解，注意行列式的解：利用充要条件求解，注意行列式的 计算技巧计算技巧作业布置：作业布置：1.1.P40.T29P40.T292.2.T33T333.3.T40(7)(8)T40(7)(8)2022/10/480本讲稿第八十页，共八十八页 线性方程组线性方程组的矩阵表示法的矩阵表示法 真简洁！2022/10/481本讲稿第八十一页，共八十八页线性代数2010年考研数学大纲一、行列式 z考试内容 z行列式的概念和基本性质 z行列式按行（列）展开定理 z考试要求:1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质 2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式 2022/10/482本讲

31、稿第八十二页，共八十八页二、矩阵 考试内容:z 矩阵的概念 z矩阵的线性运算 z矩阵的乘法 z方阵的幂 z方阵乘积的行列式 z矩阵的转置 z逆矩阵的概念和性质 z矩阵可逆的充分必要条件 z伴随矩阵 z矩阵的初等变换 z初等矩阵 z矩阵的秩 z矩阵的等价 z分块矩阵及其运算 2022/10/483本讲稿第八十三页，共八十八页二、矩阵 考试要求 1理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质 2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质 3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及

32、矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法 5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则2022/10/484本讲稿第八十四页，共八十八页三、向量 考试内容:z 向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 考试要求 z1了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则 z2理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性

33、无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法 z3理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩 z4理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系 z5了解内积的概念掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法2022/10/485本讲稿第八十五页，共八十八页四、线性方程组考试内容:z 线性方程组的克莱姆（Cramer）法则；线性方程组有解和无解的判定；齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系；非齐次线性方程组的通解。z考试要求 z1.会用克莱姆法则解线性方程组z2.掌

34、握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法 z3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法 z4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念z5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法2022/10/486本讲稿第八十六页，共八十八页五、矩阵的特征值和特征向量z考试内容 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵 z考试要求 z1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法 z2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质

35、，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 z3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质2022/10/487本讲稿第八十七页，共八十八页六、二次型z考试内容 二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性 z考试要求 1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念 z2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形 z3.理解正定二次型正定矩阵的概念，并掌握其判别法 2022/10/488本讲稿第八十八页，共八十八页