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1、第六误差基本知识1现在学习的是第1页，共40页 第一节第一节 测量误差的概念测量误差的概念测量工作中对某些量进行重复观测时，它们之间测量工作中对某些量进行重复观测时，它们之间往往存在一些差异。往往存在一些差异。例：例：一段距离往返丈量不相等；三角形内角和不等于一段距离往返丈量不相等；三角形内角和不等于1800；水平角观测一周不等于；水平角观测一周不等于3600；水准测量两次仪；水准测量两次仪器高测出高差不一样等，尽管观测的十分仔细，使器高测出高差不一样等，尽管观测的十分仔细，使用较精密的仪器和合理的观测方法，也无法消除这用较精密的仪器和合理的观测方法，也无法消除这种差异。种差异。在同一个量的各
2、观测值之间，或观测值与理论值之在同一个量的各观测值之间，或观测值与理论值之间的差异，在测量工作中是普遍存在的，说明这些观测间的差异，在测量工作中是普遍存在的，说明这些观测值中包含值中包含测量误差测量误差的缘故。的缘故。现在学习的是第2页，共40页一、一、产生产生测量测量误差的原因误差的原因 (1 1)观测者观测者：由于观测者感官鉴别能力有一定的：由于观测者感官鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器对中、整平、瞄准和读数等局限性，所以在仪器对中、整平、瞄准和读数等方面产生误差。同时观测者的技术水平和技术熟方面产生误差。同时观测者的技术水平和技术熟练程度不同，对观测质量有直接的影响。练程度不同，对观测
3、质量有直接的影响。现在学习的是第3页，共40页(2)(2)测量仪器：测量仪器：在测量工作中通常利用仪器进行的，由于在测量工作中通常利用仪器进行的，由于每一种仪器只具有一定限度的精密度，因此，每一种仪器只具有一定限度的精密度，因此，使观测值的精度受到一定的限制。使观测值的精度受到一定的限制。仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。带来误差。如：如：水准尺只刻划厘米，毫米估读误差；水准尺只刻划厘米，毫米估读误差；仪器的轴线关系不正确，产生误差；仪器的
4、轴线关系不正确，产生误差；度盘刻划不均，性能差等产生的误差。度盘刻划不均，性能差等产生的误差。所以，在所以经纬仪、水准仪、测距仪等任何仪所以，在所以经纬仪、水准仪、测距仪等任何仪器均不可避免的产生误差。器均不可避免的产生误差。4现在学习的是第4页，共40页(3 3)外界条件：外界条件：观测时所处的外界条件，如温度、气压、观测时所处的外界条件，如温度、气压、湿度、清晰度、风力的强弱以及大气折光等湿度、清晰度、风力的强弱以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。因此，在这样的客观环境下进行观测，因此，在这样的客观环境下进行观测，必然使测量的结果产
5、生误差。必然使测量的结果产生误差。5现在学习的是第5页，共40页观测条件观测条件:观测者、测量仪器、观测者、测量仪器、外界条件是引起误差的主要来源，外界条件是引起误差的主要来源，这这 三大因素总称为三大因素总称为观测条件观测条件。等精度观测等精度观测:在上述条件基本相在上述条件基本相同的同的情况下进行的各项情况下进行的各项 观测，观测，称为称为等精度观测等精度观测。结论：结论：观测误差是不可避免的。观测误差是不可避免的。(粗差除外粗差除外)现在学习的是第6页，共40页二二、测量误差的定义及分类、测量误差的定义及分类测量误差测量误差-是指在一定观测条件下，是指在一定观测条件下，观测值与真值之间的
6、差值。观测值与真值之间的差值。根据测量误差对测量成果的影响性质，可将根据测量误差对测量成果的影响性质，可将误差分为：误差分为：系统误差、系统误差、偶然误差偶然误差粗差三种。粗差三种。7现在学习的是第7页，共40页（一）系统误差（一）系统误差 1 1定义定义：在相同观测条件下，对某量进行：在相同观测条件下，对某量进行一一系列观测，如误差出现符号和大小均相同，或按系列观测，如误差出现符号和大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为一定的规律变化，这种误差称为系统误差系统误差。2 2特点特点：具有积累性，对测量结果的影响：具有积累性，对测量结果的影响大，大，但可通过一般的改正或用一定的但可通过一般
7、的改正或用一定的观测方法加观测方法加以消除。以消除。例如例如：钢尺尺长误差、钢尺尺长误差、钢尺温度误差、钢尺温度误差、水准仪视准轴误差、水准仪视准轴误差、经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差现在学习的是第8页，共40页系统误差的处理方法：系统误差的处理方法：（1）校正仪器，）校正仪器，把仪器的系统误差降低到把仪器的系统误差降低到 最小程度。最小程度。（2 2）求改正数）求改正数，对观测成果进行必要的改，对观测成果进行必要的改正（如：钢尺比长；误差平差分配等）正（如：钢尺比长；误差平差分配等）（3 3）对称观测）对称观测，使系统误差对观测成果的影，使系统误差对观测成果的影响互为相反数，以便在成果计算
8、中，自响互为相反数，以便在成果计算中，自行消除或消弱。行消除或消弱。如：三角高程测量的直反觇；如：三角高程测量的直反觇；水准测量中的仪器位于前后视中间；水准测量中的仪器位于前后视中间；角度测量中的盘左盘右等。角度测量中的盘左盘右等。9现在学习的是第9页，共40页（二）（二）偶然误差偶然误差1、定义：、定义：在相同的观测条件下，误差出现的符号在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为这种误差称为偶然误差偶然误差。2、特点：、特点：大量的偶然误差有大量的偶然误差有“统计规律统计规律”例例：估读数、气泡居中判
9、断、瞄准、估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。对中等误差，导致观测值产生误差。偶然误差只能通过多次观测，偶然误差只能通过多次观测，取平均值来减小。取平均值来减小。现在学习的是第10页，共40页（三）（三）粗差粗差粗差粗差是指在一定观测条件下，超是指在一定观测条件下，超过过规定限差值的误差。规定限差值的误差。对于粗差，应当分析原因，通过补对于粗差，应当分析原因，通过补测等方法加以消除。测等方法加以消除。现在学习的是第11页，共40页三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性1 1、偶然误差的定义：、偶然误差的定义：设某一量的真值为设某一量的真值为X X，对该量进行了，对该量进行
10、了n n次观测，次观测，得得n n个观测值个观测值 ，则产生了，则产生了n n个真误个真误 差差 ：真真误误差差真真值值观观测测值值现在学习的是第12页，共40页2、偶然误差的规律：、偶然误差的规律：（1 1）具有一定的范围。）具有一定的范围。（2 2）绝对值小的误差出现概率大。）绝对值小的误差出现概率大。（3 3）绝对值相等的正、负误差出现的机会近）绝对值相等的正、负误差出现的机会近 于相等。于相等。（4 4）偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增）偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增大而趋于零大而趋于零,即：即：现在学习的是第13页，共40页如如P76表：表：在相同的观测条件下观测了在相
11、同的观测条件下观测了162个三个三角形的内角，由于观测值存在偶然误差，角形的内角，由于观测值存在偶然误差，所以测得的每个三角形的内角和所以测得的每个三角形的内角和“L”都都不等于不等于1800，其差值称为真误差（观测值，其差值称为真误差（观测值与理论值之差），即与理论值之差），即:14现在学习的是第14页，共40页误误差区差区间间正正误误差差负负误误差差总总和和个数个数/个个百分比百分比/%个数个数/个个个百分比个百分比/%个数个数/个个百分比百分比/%00.22113.02113.04226.00.20.41911.71911.73823.40.40.6159.3127.42716.70.6
12、0.8116.895.62012.40.81.095.684.91710.51.01.253.063.7116.71.21.410.631.942.51.41.610.621.231.81.6以上以上0000008050.68049.4162100偶然误差统计表偶然误差统计表误差误差=观测值观测值180015现在学习的是第15页，共40页图形：偶然误差分布频率直方图正态分布曲线正态分布曲线四个特性即四个特性即有界性，趋向性，对称性，抵偿性有界性，趋向性，对称性，抵偿性。x=y误差分布频率直方图误差分布频率直方图(6-2)(6-2)现在学习的是第16页，共40页-24-21-18-15-12-9
13、-6-3 0 +3+6+9+12+15+18+21+24 X=k/d有界性有界性：偶然偶然误差应小于限误差应小于限值值。趋向性趋向性：误误差小的出现的概差小的出现的概率大率大对称性对称性：绝对绝对值相等的正负值相等的正负误差概率相等误差概率相等抵偿性：当观当观测次数无限增大测次数无限增大时，偶然误差的时，偶然误差的平均数趋近于零平均数趋近于零。现在学习的是第17页，共40页四、在观测工作中应采取的措施四、在观测工作中应采取的措施 在在测量工作中总是采取各种办法削弱系统误测量工作中总是采取各种办法削弱系统误差的影响，使其处于次要地位，因此观测结果中差的影响，使其处于次要地位，因此观测结果中的误差
14、主要是偶然误差。的误差主要是偶然误差。通常对偶然误差采用以下处理方法通常对偶然误差采用以下处理方法:1、提高仪器等级、提高仪器等级2、进行多余观测、进行多余观测3、求平差值，、求平差值，计算观测值的平均值或按闭合差计算观测值的平均值或按闭合差求改正数，计算改正后的观测值，这些计算值称求改正数，计算改正后的观测值，这些计算值称为观测值的平差值。为观测值的平差值。误差理论证明，按上述方法计算的平差值，误差理论证明，按上述方法计算的平差值，偶然误差最小。偶然误差最小。现在学习的是第18页，共40页第二节第二节评定精度的标准评定精度的标准 我我国国评评定定精精度度的的标标准准，常常用用的的有有中中误误
15、差差、相相对对误误差差和极限误差三种。和极限误差三种。一、一、中误差中误差 在在相相同同的的观观测测条条件件下下，对对一一个个未未知知量量进进行行n次次观观测测，其其观观测测值值分分别别为为l1 1、l2 2、ln n，相相应应的的真真误误差差为为1 1、2 2、n n，则中误差为，则中误差为式中式中 中误差不等于真误差，中误差越小，中误差不等于真误差，中误差越小，精度越高；精度越高；反之，精度越低。反之，精度越低。现在学习的是第19页，共40页中误差的绝对值与观测值之比，并将分子中误差的绝对值与观测值之比，并将分子 化为化为1，分母取整数，称为，分母取整数，称为相对中误差相对中误差，即：即：
16、相对中误差不能用于评定测角的相对中误差不能用于评定测角的精度，因为角度误差与角度大小无关。精度，因为角度误差与角度大小无关。二、相对中误差二、相对中误差现在学习的是第20页，共40页 在一般距离丈量中，往返各丈量一次，取往在一般距离丈量中，往返各丈量一次，取往返丈量之差与往返丈量的距离平均值之比，将分返丈量之差与往返丈量的距离平均值之比，将分子化为子化为1，分母取整数来评定距离丈量的精度。，分母取整数来评定距离丈量的精度。称为相对误差。称为相对误差。经纬仪导线测量时，规范中所规定的相对闭经纬仪导线测量时，规范中所规定的相对闭合差不能超过合差不能超过1/2000,它就是相对极限误差；而在它就是相
17、对极限误差；而在实测中所产生的相对闭合差，则是相对真误差。实测中所产生的相对闭合差，则是相对真误差。与相对误差相对应，真误差、中误差、极与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等均称为绝对误差。限误差等均称为绝对误差。21现在学习的是第21页，共40页三、极限误差三、极限误差极限误差极限误差又成为又成为允许误差允许误差，或，或最大误差最大误差。由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，测量上把这个限值叫做极限误差。限值，测量上把这个限值叫做极限误差。在观测次数不多的情况下可
18、认为大于在观测次数不多的情况下可认为大于3倍的中误差倍的中误差是不可能出现的，所以通常以是不可能出现的，所以通常以3倍中误差作为偶然误倍中误差作为偶然误差的极限误差，即差的极限误差，即现在学习的是第22页，共40页在实际工作中，有的测量规范在实际工作中，有的测量规范规定以规定以2倍中误差作为极限误差，倍中误差作为极限误差，即即 超过极限误差的误差被认为是超过极限误差的误差被认为是粗差，应舍去重测。粗差，应舍去重测。23现在学习的是第23页，共40页一、算术平均值一、算术平均值一、算术平均值一、算术平均值uuu研究误差的目的除了评定精度外，还有求其研究误差的目的除了评定精度外，还有求其研究误差的
19、目的除了评定精度外，还有求其研究误差的目的除了评定精度外，还有求其最或然值最或然值最或然值最或然值（最可靠值）。（最可靠值）。（最可靠值）。（最可靠值）。uuu根据偶然误差的特性可取算术平均值作为根据偶然误差的特性可取算术平均值作为根据偶然误差的特性可取算术平均值作为根据偶然误差的特性可取算术平均值作为最或然值最或然值最或然值最或然值。uuu设对同一量等精度观测了设对同一量等精度观测了设对同一量等精度观测了设对同一量等精度观测了n n次，观测值为次，观测值为次，观测值为次，观测值为 l l1 1,l,l2 2,l,l3 3,.l.ln n，则该量的算术平均值则该量的算术平均值则该量的算术平均值
20、则该量的算术平均值第三节第三节 算术平均值及改正数算术平均值及改正数 也可表示成：也可表示成：现在学习的是第24页，共40页证明（证明（x是最或然值）是最或然值）现在学习的是第25页，共40页 由以上证明可知，当观测次数无限由以上证明可知，当观测次数无限增多时，算术平均值增多时，算术平均值x趋近于真值趋近于真值X。在计算时，不论观测次数的多少均以在计算时，不论观测次数的多少均以算术平均值作为所求量的最或然值（接近算术平均值作为所求量的最或然值（接近于真值的值），这是误差理论中的一个公于真值的值），这是误差理论中的一个公理。理。应当指出，不同精度的观测值不能取应当指出，不同精度的观测值不能取算术
21、平均值作为最或然值。算术平均值作为最或然值。现在学习的是第26页，共40页二、平差值二、平差值 尽管用算术平均值作为观测尽管用算术平均值作为观测值的最或然值，但算术平均值中值的最或然值，但算术平均值中依然还存在有偶然误差，如在闭依然还存在有偶然误差，如在闭合导线中，每个转角都是根据若合导线中，每个转角都是根据若干个测回的角值取平均值得来的，干个测回的角值取平均值得来的，但仍然有角度闭合差。但仍然有角度闭合差。按照误差理论，通常采用平差按照误差理论，通常采用平差的方法消除闭合差。的方法消除闭合差。现在学习的是第27页，共40页1、求改正数、求改正数 外业观测结果经校核符合要求后，可通过求外业观测
22、结果经校核符合要求后，可通过求改正数的方法以消除不符值（闭合差）。改正数的方法以消除不符值（闭合差）。如：多边形内角和与理论值如：多边形内角和与理论值 （n-2）180存在不符值。存在不符值。其改正数为其改正数为 v=w/n 式中：式中：v为改正数，为改正数，n为多边形边数，为多边形边数，w为多边形闭合差。为多边形闭合差。导线测量中因边长误差引起的坐标增量闭合差，也可导线测量中因边长误差引起的坐标增量闭合差，也可通过求改正数的方法予以消除。水准测量中各测站的高差误通过求改正数的方法予以消除。水准测量中各测站的高差误差导致水准路线产生的高差闭合差，同样可通过求改正数的差导致水准路线产生的高差闭合
23、差，同样可通过求改正数的方法消除。方法消除。28现在学习的是第28页，共40页2、求平差值、求平差值求改正数的目的是为了消除不符值，消除求改正数的目的是为了消除不符值，消除不符值的方法是对观测值加以改正求得平差值不符值的方法是对观测值加以改正求得平差值（改正值）。（改正值）。改正后的观测值叫平差值（即平差值等于改正后的观测值叫平差值（即平差值等于观测值加上改正数）。观测值加上改正数）。例如：例如：在闭合导线内业计算中，把角度闭合差按转在闭合导线内业计算中，把角度闭合差按转角个数反号平均分配给各个角度，使得改正后的角个数反号平均分配给各个角度，使得改正后的角度（平差值）之和满足多边形内角和条件。
24、角度（平差值）之和满足多边形内角和条件。现在学习的是第29页，共40页 把坐标增量闭合差按导线边长把坐标增量闭合差按导线边长成正比反号分配给各边的坐标增量，使成正比反号分配给各边的坐标增量，使得改正后的坐标增量之和为得改正后的坐标增量之和为0 0，达到消除闭合差的目的。达到消除闭合差的目的。在闭合水准路线内业计算中，在闭合水准路线内业计算中，把高差闭合差按测站数或按路线把高差闭合差按测站数或按路线长度成正比反号分配给各测段高差，使长度成正比反号分配给各测段高差，使得改正后的高差之和等于得改正后的高差之和等于0，以满足理论上的要求。以满足理论上的要求。30现在学习的是第30页，共40页第四节第四
25、节第四节第四节 观测值的精度评定观测值的精度评定观测值的精度评定观测值的精度评定一、用真误差计算观测值的中误差一、用真误差计算观测值的中误差一、用真误差计算观测值的中误差一、用真误差计算观测值的中误差由式由式由式由式可计算出观测值的真误可计算出观测值的真误可计算出观测值的真误可计算出观测值的真误差，根据一组同精度的真误差按式差，根据一组同精度的真误差按式差，根据一组同精度的真误差按式差，根据一组同精度的真误差按式便可计算出观测值的中误差。便可计算出观测值的中误差。便可计算出观测值的中误差。便可计算出观测值的中误差。现在学习的是第31页，共40页例一例一:对同一量分组进行了对同一量分组进行了10
26、次观测，其真误差如下：次观测，其真误差如下：第一组：第一组：+3、-2 、-1 、-3 、-4 、+2 、+4 、+3 、+2 、0 ；第二组：第二组：+1 、0 、+1 、+2 、-1 、0 、-7 、-1 、-8 、+3 ；m1m2，表示第一组观测值的精度高于第二组。，表示第一组观测值的精度高于第二组。现在学习的是第32页，共40页例例2、用、用J6经纬仪对三角形内角观测了经纬仪对三角形内角观测了5个个 测测回，计算一测回的观测值中误差。回，计算一测回的观测值中误差。测回数测回数观测值观测值11800016162562179594614196318000101010041795952864
27、5179595824620一测回观测值中误差一测回观测值中误差 现在学习的是第33页，共40页二、用最或然误差计算观测值中误差二、用最或然误差计算观测值中误差在通常情况下，观测值的真值是不知道的，在通常情况下，观测值的真值是不知道的，因此，也就无法根据真误差计算中误差。但因此，也就无法根据真误差计算中误差。但是，我们可以根据算术平均值是，我们可以根据算术平均值x与观测值与观测值l之差，之差，即最或然误差即最或然误差按下式来计算观按下式来计算观测值的中误差，即：测值的中误差，即：上式也称为白赛尔公式。上式也称为白赛尔公式。现在学习的是第34页，共40页计算观测值中误差的步骤：计算观测值中误差的步
28、骤：1、检查外业记录，将观测值填入计算表格。、检查外业记录，将观测值填入计算表格。2、按式、按式计算观测值的算术计算观测值的算术平均值。平均值。3、计算最或然误差、计算最或然误差v(v=x-l),并用并用v=0进行检查。进行检查。4、将各个最或然误差、将各个最或然误差v平方并求和平方并求和5、按式、按式计算观测值的中误差计算观测值的中误差35现在学习的是第35页，共40页例例3：设对线段设对线段AB丈量丈量5次，结果列于下，次，结果列于下，试求每次丈量距离的中误差。试求每次丈量距离的中误差。次序次序观测值观测值改正数改正数vvv1123.361-101002123.330+214413123.
29、344+7494123.352-115123.368-17289l=606.755v=0vv=880现在学习的是第36页，共40页三、算术平均值的中误差三、算术平均值的中误差根据误差理论得知，算术平均值的中误差为根据误差理论得知，算术平均值的中误差为例如，根据例三表已经求得观测值的中误差根据例三表已经求得观测值的中误差m=14.8mm,现在根据上面公式，计算距离现在根据上面公式，计算距离AB的算术平均值的中误差为的算术平均值的中误差为现在学习的是第37页，共40页 从以上计算可以看出，算数平均值的从以上计算可以看出，算数平均值的中误差小于观测值的中误差，算数平均值中误差小于观测值的中误差，算数
30、平均值的精度高于任一观测值的精度。的精度高于任一观测值的精度。从式从式也可看出平均值的也可看出平均值的中误差中误差 M，比观测值中误差缩小了，比观测值中误差缩小了倍，这表明平均值的精度提高了。倍，这表明平均值的精度提高了。现在学习的是第38页，共40页通过本章学习，误差基本知识看：增加通过本章学习，误差基本知识看：增加观测次数观测次数n可以提高观测结果的精度，但过可以提高观测结果的精度，但过多的增加观测次数会加大野外工作量。多的增加观测次数会加大野外工作量。实践表明，实践表明，当观测次数达到当观测次数达到20次次以上，精度提高幅度很小。因此，靠以上，精度提高幅度很小。因此，靠增加观测次数来提高精度是不科学的，增加观测次数来提高精度是不科学的，提高精度的关键是提高每次观测丈量提高精度的关键是提高每次观测丈量39现在学习的是第39页，共40页作业：作业：P811、2、3。谢谢谢谢 谢谢谢谢40现在学习的是第40页，共40页