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1、第1章概率论的基本概念加粗本讲稿第一页，共八十七页2.随机现象随机现象1.1.1 1.1.1 随机现象：随机现象：自然界中的有两类现象自然界中的有两类现象1.确定性现象确定性现象o 每天早晨太阳从东方升起每天早晨太阳从东方升起;o 同性电荷相互排斥同性电荷相互排斥;o 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？o 一天内进入某超市的顾客数一天内进入某超市的顾客数;o 射击同一个目标，各次的弹着点（得分）射击同一个目标，各次的弹着点（得分）;1.1 随机试验随机试验本讲稿第二页，共八十七页1.1.1 随机现象随机现象随机现象随机现象：在一定的条件下，并不总出现相在一定的条件
2、下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象同结果的现象称为随机现象.特点特点：1.结果不止一个结果不止一个；2.事先不知道最终出现哪一个结果；事先不知道最终出现哪一个结果；3.事先明确所有可能的结果事先明确所有可能的结果.随机试验：随机试验：对随机现象进行的实验与观察对随机现象进行的实验与观察.随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果随机现象的各种结果 会表现出一定的规律性，这种规律性称之为会表现出一定的规律性，这种规律性称之为 统计规律性统计规律性.本讲稿第三页，共八十七页1.随机试验随机试验 (E)它具有三个特点：它具有三个特点：随机性、多样性、可确定性随机性、多样性、
3、可确定性.2.样本点样本点 随机试验的每一个可能结果随机试验的每一个可能结果.3.样本空间样本空间()随机试验的随机试验的所有样本点所有样本点构成的集合构成的集合.4.两类样本空间：两类样本空间：离散样本空间离散样本空间 样本点的个数为样本点的个数为有限个有限个或或可列可列个个.连续样本空间连续样本空间 样本点的个数为样本点的个数为无限不可列个无限不可列个.1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件本讲稿第四页，共八十七页1.随机事件随机事件 某些样本点组成的集合某些样本点组成的集合,的子集，常用的子集，常用A、B、C表示表示.3.必然事件必然事件 ()4.不可能事件不可能事件 ()空集空集
4、.5.随机变量随机变量 表示随机现象结果的变量表示随机现象结果的变量.常用大写字母常用大写字母 X、Y、Z 表示表示.2.基本事件基本事件 的单点集的单点集.1.2.1 随机事件随机事件本讲稿第五页，共八十七页事件是一个集合事件是一个集合，其关系与运算可按照集合，其关系与运算可按照集合论中集合的关系和运算来处理；论中集合的关系和运算来处理；事件的关系事件的关系包含关系包含关系：A B,A 发生必然导致发生必然导致 B 发生发生.相等关系相等关系:A=B A B 而且而且 B A.互不相容互不相容：A 和和 B不可能同时发生，或互斥的不可能同时发生，或互斥的.1.2.2 事件间的关系与运算事件间
5、的关系与运算本讲稿第六页，共八十七页1.2.2 事件间的关系与运算（续）事件间的关系与运算（续）事件的关系事件的关系和事件和事件：A B，A 与与 B 至少有一发生至少有一发生.积事件积事件:A B AB，A 与与 B 同时发生同时发生差事件差事件：A B，A发生但发生但 B不发生不发生 对立事件：对立事件：A，A 不发生不发生本讲稿第七页，共八十七页解：解：1)显然，显然，B 发生必然导致发生必然导致A发生，所以发生，所以 B A;.2)又因为又因为A发生必然导致发生必然导致B发生，所以发生，所以 A B，由此得由此得 A=B.例例1.2.1 口袋中有口袋中有a 个白球、个白球、b 个黑球，
6、从中一个一个不返个黑球，从中一个一个不返 回地取球。回地取球。A=“取到最后一个是白球取到最后一个是白球”，B=“取到最后一段是白球取到最后一段是白球”。问。问 A 与与 B 的关系？的关系？本讲稿第八页，共八十七页事件运算的图示法事件运算的图示法 A B A B A B 本讲稿第九页，共八十七页德摩根公式德摩根公式本讲稿第十页，共八十七页 记号记号 概率论概率论 集合论集合论 样本空间样本空间,必然事件必然事件 空间空间 不可能事件不可能事件 空集空集 样本点样本点 元素元素 A B A发生必然导致发生必然导致B发生发生 A是是B的子集的子集 AB=A与与B互不相容互不相容 A与与B无相同元
7、素无相同元素 A B A与与B至少有一发生至少有一发生 A与与B的并集的并集 AB A与与B同时发生同时发生 A与与B的交集的交集 A B A发生且发生且B不发生不发生 A与与B的差集的差集 A不发生、对立事件不发生、对立事件 A的余集的余集本讲稿第十一页，共八十七页 基本事件互不相容，基本事件之并基本事件互不相容，基本事件之并=注意点注意点(1)本讲稿第十二页，共八十七页注意点注意点(2)本讲稿第十三页，共八十七页 若若 A1，A2，An 有有 1.Ai互不相容；互不相容；2.A1 A2 An=则称则称 A1，A2，An 为为的的一组分割一组分割.样本空间的分割样本空间的分割本讲稿第十四页，
8、共八十七页 设设为样本空间，为样本空间，FF 是由是由的子集组成的集合的子集组成的集合 类，若类，若F F 满足以下三点满足以下三点,则称则称 F F 为为事件域事件域1.2.3 事件域事件域1.F F;2.若若 A FF ，则，则 F F;3.若若An FF ，n=1,2,则则 F F.本讲稿第十五页，共八十七页直观定义直观定义 事件事件A 出现的可能性大小出现的可能性大小.统计定义统计定义 事件事件A 在大量重复试验下在大量重复试验下 出现频率的出现频率的稳定值稳定值称为该事件的概率称为该事件的概率.古典古典定义定义；几何定义几何定义.1.3 频率与概率频率与概率本讲稿第十六页，共八十七页
9、随机试验可大量重复进行随机试验可大量重复进行.1.3.1 确定概率的频率方法确定概率的频率方法o进行进行n次重复试验，记次重复试验，记 n(A)为事件为事件A的的频数频数，称，称 为事件为事件A的的频率频率.o频率频率fn(A)会稳定于某一常数会稳定于某一常数(稳定值稳定值).).o用频率的稳定值作为该事件的概率用频率的稳定值作为该事件的概率.本讲稿第十七页，共八十七页从从 n 个元素中任取个元素中任取 r 个，求取法数个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序排列讲次序，组合不讲次序.全排列全排列：Pn=n!0!=1.重复排列重复排列：nr选排列选排列：1.3.2 排列与组合公式排列与组合公式本
10、讲稿第十八页，共八十七页组组 合合组合组合：o重复组合重复组合：本讲稿第十九页，共八十七页 求排列、组合时，要掌握和注意：求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则加法原则、乘法原则乘法原则.注注 意意本讲稿第二十页，共八十七页加法原理加法原理 完成某件事情有完成某件事情有 n 类途径，在第一类途径中有类途径，在第一类途径中有m1种方法，在种方法，在第二类途径中有第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第种方法，依次类推，在第 n 类途径中有类途径中有mn种种方法，则完成这件事共有方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法种不同的方法.乘法原理乘法原理 完成某件事情需先后分成完成某件事情需
11、先后分成 n 个步骤，做第一步有个步骤，做第一步有m1种方法，第种方法，第二步有二步有 m2 种方法，依次类推，第种方法，依次类推，第 n 步有步有mn种方法，则完成这种方法，则完成这件事共有件事共有 m1m2mn种不同的方法种不同的方法.本讲稿第二十一页，共八十七页设设E E是随机试验，对于是随机试验，对于E E中的每一事件中的每一事件A A赋予一个实数，记为赋予一个实数，记为P(A)P(A)，称为事件，称为事件A A的的概率概率，其满足下列条件：，其满足下列条件：非负性公理非负性公理：P(A)0;正则性公理正则性公理：P()=1;可列可加性公理可列可加性公理：若若A1,A2,An 互不相容
12、，则互不相容，则1.3.3 概率的定义概率的定义本讲稿第二十二页，共八十七页 性质性质1.3.1 P()=0.注意注意:逆不一定成立逆不一定成立.1.3.4 概率的性质概率的性质本讲稿第二十三页，共八十七页性质性质1.3.2(有限可加性有限可加性)若若AB=，则，则P(A B)=P(A)+P(B).可推广到可推广到 n 个互不相容事件个互不相容事件.性质性质1.3.3(对立事件公式对立事件公式)P()=1 P(A).1.3.4.1 概率的可加性概率的可加性本讲稿第二十四页，共八十七页性质性质1.3.4 若若A B，则，则 P(A B)=P(A)P(B)；若若A B，则，则 P(A)P(B).性
13、质性质1.3.5 P(A B)=P(A)P(AB).1.3.4.2 概率的单调性概率的单调性本讲稿第二十五页，共八十七页 P(A B)=P(A)+P(B)P(AB)P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)1.3.4.3 概率的加法公式概率的加法公式本讲稿第二十六页，共八十七页 AB=，P(A)=0.6,P(A B)=0.8，求求 B 的对立事件的概率。的对立事件的概率。解解：由由 P(A B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)例例1.3.1 得得 P(B)=P(A B)P(A)=0.8 0.6=0.2，所以所以 P()=1 0.
14、2=0.8.本讲稿第二十七页，共八十七页例例1.3.2解：解：因为因为 P(A B)=P(A)P(AB)，所以先求，所以先求 P(AB)由加法公式得由加法公式得 P(AB)=P(A)+P(B)P(A B)=0.4+0.3 0.6=0.1 所以所以 P(A B)=P(A)P(AB)=0.3 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A B)=0.6，求求 P(A B).本讲稿第二十八页，共八十七页例例1.3.3解：解：因为因为A、B、C 都不出现的概率为都不出现的概率为=1 P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=1 1/4 1/4 1/4+0+1/6+1/6 0
15、=1 5/12=7/12 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求求 A、B、C 都不出现的概率都不出现的概率.本讲稿第二十九页，共八十七页口袋中有口袋中有n 1个黑球、个黑球、1个白球，每次从个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第求第k 次取到黑球的概率次取到黑球的概率.利用对立事件利用对立事件解：解：记记A为为“第第k 次取到黑球次取到黑球”，则，则A的对立事件为的对立事件为“第第k 次取到白球次取到白球”.而而“第第k 次取到白球次取到白球”意味着：意味着：“第第1次次第第k 1次取到黑
16、球，而第次取到黑球，而第k 次取到白球次取到白球”本讲稿第三十页，共八十七页思思 考考 题题 口袋中有口袋中有2个白球，每次从口袋中随个白球，每次从口袋中随 机地摸出一球，并换入一只黑球机地摸出一球，并换入一只黑球.求第求第k 2 次取到黑球的概率次取到黑球的概率.提示提示：采用对立事件方法：采用对立事件方法,然后讨论第然后讨论第k k次次前，有前，有1个白球与个白球与2个个白球的情况白球的情况.本讲稿第三十一页，共八十七页例例1.3.4解：解：用对立事件进行计算用对立事件进行计算,记记 A=“至少出现一次至少出现一次6点点”，则则所求概率为所求概率为 一颗骰子掷一颗骰子掷4次，求至少出现一次
17、次，求至少出现一次6点的概率点的概率.本讲稿第三十二页，共八十七页例例1.3.5解：解：记记 B=“至少出现一次双至少出现一次双6点点”，则则所求概率为所求概率为 两颗骰子掷两颗骰子掷 24 次，次，求求至少出现一次至少出现一次 双双6点点 的概率的概率.本讲稿第三十三页，共八十七页从从 1,2,9中返回取中返回取n次，次，求取出的求取出的n个数的乘积能被个数的乘积能被10整除的概率整除的概率.利用对立事件和加法公式利用对立事件和加法公式解：解：因为因为“乘积能被乘积能被10整除整除”意味着：意味着：“取到过取到过5”(记为记为A)且且 “取到过偶数取到过偶数”(记为记为B)。因此所求概率为因
18、此所求概率为 P(AB).利用利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式对立事件公式、德莫根公式和加法公式本讲稿第三十四页，共八十七页甲掷硬币甲掷硬币n+1次，乙掷次，乙掷n次次.求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.利用对称性利用对称性解：解：记甲记甲正正=甲掷出的正面数，乙甲掷出的正面数，乙正正=乙掷出的正面数乙掷出的正面数.甲甲反反=甲掷出的反面数，乙甲掷出的反面数，乙反反=乙掷出的反面数乙掷出的反面数.因为因为 P(甲甲正正 乙乙正正)=P(n+1-(n+1-甲甲反反 n-n-乙乙反反)=P(甲甲反反-1-1 乙乙正正)(对称性对称性)所以所以
19、2P(甲甲正正 乙乙正正)=1,1,由此得由此得 P(甲甲正正 乙乙正正)=1/2本讲稿第三十五页，共八十七页若一个随机试验若一个随机试验(,F,P)具有以下两个特征：具有以下两个特征：(1)有限性有限性：样本空间的元素：样本空间的元素(基本事件基本事件)只有有限个，只有有限个，即即=1，2，n；(2)等可能性等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的，：每个基本事件发生的可能性是相等的，即即 P(1)=P(2)=P(n)。则称这类随机试验的数学模型为则称这类随机试验的数学模型为等可能概型，或等可能概型，或古典概型古典概型。则事件。则事件A的概率为的概率为:P(A)=A中样本点的个数中样本点的
20、个数/样本点总数样本点总数 1.4 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）本讲稿第三十六页，共八十七页抛一枚硬币三次抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次抛三枚硬币一次 1=(正正正正正正),(反正正反正正),(正反正正反正),(正正反正正反),(正反反正反反),(反正反反正反),(反反正反反正),(反反反反反反)此样本空间中的样本点此样本空间中的样本点等可能等可能.2=(三正三正),(二正一反二正一反),(二反一正二反一正),(三反三反)此样本空间中的样本点此样本空间中的样本点不等可能不等可能.注注 意意本讲稿第三十七页，共八十七页n 个人围一圆桌坐，个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率
21、求甲、乙两人相邻而坐的概率.解：解：考虑甲先坐好，则乙有考虑甲先坐好，则乙有n-1-1个位置可坐，个位置可坐，而而“甲乙相邻甲乙相邻”只有两种情况，所以只有两种情况，所以P(A)=2/(n-1-1)。例例1.4.1本讲稿第三十八页，共八十七页n个人坐成个人坐成一排一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较注意：请与上一题作比较)解：解：1)先考虑样本空间的样本点数：先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有甲先坐、乙后坐，则共有n(n 1)种可能种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能种可能.3)甲在中间甲在中间(
22、n 2)个位置上，则乙左右都可坐，个位置上，则乙左右都可坐，所以共有所以共有2(n 2)种可能。由此得所求概率为种可能。由此得所求概率为：例例1.4.2本讲稿第三十九页，共八十七页N 个产品，其中个产品，其中M个不合格品、个不合格品、N M个合格品个合格品.(口袋中有口袋中有M 个白球，个白球，N M 个黑球个黑球)常见模型常见模型(1)不返回抽样不返回抽样o从中不返回任取从中不返回任取n 个个,则此则此 n 个中有个中有 m 个不合格品的个不合格品的概率为：概率为：o此模型又称此模型又称 超几何模型超几何模型.n N,m M,n m N M.本讲稿第四十页，共八十七页口袋中有口袋中有5 个白
23、球、个白球、7个黑球、个黑球、4个红球个红球.从中不返回任取从中不返回任取3 个个.求取出的求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率个球为不同颜色的球的概率.思思 考考 题题本讲稿第四十一页，共八十七页购买购买：从从01，35 中选中选7个号码个号码.开奖开奖：7个基本号码，个基本号码，1个特殊号码个特殊号码.彩票问题彩票问题幸运幸运35选选7本讲稿第四十二页，共八十七页中奖规则中奖规则 1)7个基本号码个基本号码 2)6个基本号码个基本号码 +1个特殊号码个特殊号码 3)6个基本号码个基本号码 4)5个基本号码个基本号码 +1个特殊号码个特殊号码 5)5个基本号码个基本号码 6)4个基本号码个
24、基本号码 +1个特殊号码个特殊号码 7)4个基本号码，或个基本号码，或 3个基本号码个基本号码 +1个特殊号码个特殊号码 本讲稿第四十三页，共八十七页中奖概率中奖概率 中所含样本点个数：中所含样本点个数：o将将35个号分成三类：个号分成三类：7个基本号码个基本号码、1个特殊号码个特殊号码、27个无用号码个无用号码o记记 pi 为中为中i 等奖的概率。利用抽样模型得：等奖的概率。利用抽样模型得：本讲稿第四十四页，共八十七页中奖概率如下中奖概率如下：o不中奖的概率为不中奖的概率为：p0=1 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7本讲稿第四十五页，共八十七页 N 个产品，其中个产品，其中M个不合格
25、品、个不合格品、N M个合格个合格品品.从中有返回地任取从中有返回地任取n 个个.则此则此 n 个中有个中有 m 个不合格品的概率为：个不合格品的概率为：常见模型常见模型(2)返回抽样返回抽样o条件：条件：m n,即即 m=0,1,2,n.本讲稿第四十六页，共八十七页n 个个不同不同球放入球放入 N 个不同的盒子中个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限每个盒子中所放球数不限.求恰有求恰有n 个盒子中各有一球的概率个盒子中各有一球的概率(n N)常见模型常见模型(3)盒子模型盒子模型本讲稿第四十七页，共八十七页求求n 个人中至少有两人生日相同的概率个人中至少有两人生日相同的概率.看成看成 n 个
26、球放入个球放入 N=365个盒子中个盒子中.P(至少两人生日相同至少两人生日相同)=1 P(生日全不相同生日全不相同)用盒子模型得：用盒子模型得：pn=P(至少两人生日相同至少两人生日相同)=生日问题生日问题p20=0.411,p30=0.706,p50=0.970,p64=0.997 本讲稿第四十八页，共八十七页n 个人、个人、n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.记记 Ai=“第第 i 个人拿对自己的帽子个人拿对自己的帽子”，i=1,n.求求 P(A1 A2 An)，不可用对立事件公式，不可用对立事件公式.用加法公式：用加法公式：常见
27、模型常见模型(4)配对模型配对模型本讲稿第四十九页，共八十七页P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n 1),P(AiAjAk)=1/n(n 1)(n 2),P(A1A2An)=1/n!P(A1 A2 An)=配对模型配对模型(续续)本讲稿第五十页，共八十七页问题的提出问题的提出：1)10个人摸彩，有个人摸彩，有3张中彩张中彩.问：第问：第1个人中彩的概率为多少？个人中彩的概率为多少？第第2个人中彩的概率为多少？个人中彩的概率为多少？2)10个人摸彩，有个人摸彩，有3张中彩张中彩.问：问：已知已知第第l个人没摸中，个人没摸中，第第2个人中彩的概率为多少？个人中彩的概率为多少？1.5 条件
28、概率条件概率本讲稿第五十一页，共八十七页 定义定义1.5.1 对于事件对于事件A、B，若，若 P(B)0，则称，则称 P(A|B)=P(AB)/P(B)为在为在 B 出现的出现的条件下条件下，A 出现的出现的条件概率条件概率.1.5.1 条件概率的定义条件概率的定义本讲稿第五十二页，共八十七页 1)缩减样本空间缩减样本空间：将将 缩减为缩减为 B=B.2)用定义用定义：P(A|B)=P(AB)/P(B).条件概率条件概率 P(A|B)的计算的计算本讲稿第五十三页，共八十七页 10个产品中有个产品中有7个正品、个正品、3个次品，从中个次品，从中 不放回地抽取两个，不放回地抽取两个，已知第一个取到
29、次已知第一个取到次 品，求第二个又取到次品的概率品，求第二个又取到次品的概率.P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9 解解：设设 A=第一个取到次品第一个取到次品，B=第二个取到次品第二个取到次品，例例1.5.1本讲稿第五十四页，共八十七页条件概率条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理满足概率的三条公理.由此得：由此得：P(A B|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)；若若 A 与与 B 互不相容，则互不相容，则P(A B|C)=P(A|C)+P(B|C)；P(|B)=1 P(A|B).条件概率是概率条件概率是概率本讲稿第五十五页，共八十七页oP(|
30、B)=1;P(B|)1;oP(A|)=P(A);P(A|A)=1.注注 意意 点点本讲稿第五十六页，共八十七页o乘法公式乘法公式;o全概率公式；全概率公式；o贝叶斯公式贝叶斯公式.条件概率的三大公式条件概率的三大公式本讲稿第五十七页，共八十七页性质性质1.5.2 (1)若若 P(B)0，则则 P(AB)=P(B)P(A|B)；若若 P(A)0，则则 P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若若 P(A1A2 An 1)0，则则 P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2 An 1)1.5.2 乘法公式乘法公式本讲稿第五十八页，共八十七页乘法公式主要用于求几个事件同时发生
31、的概率乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.一批零件共有一批零件共有100个，其中个，其中10个不合格品。从中一个一个个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：记解：记 Ai=“第第i 次取出的是不合格品次取出的是不合格品”Bi=“第第i 次取出的是合格品次取出的是合格品”,目的求目的求 P(B1B2A3)用乘法公式用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=乘法公式的应用乘法公式的应用本讲稿第五十九页，共八十七页性质性质1.5.3 若若事件事件B1,B2,Bn是样本空间是样本空间 的一
32、组分割，的一组分割，且且 P(Bi)0，则则1.5.3 全概率公式全概率公式本讲稿第六十页，共八十七页全概率公式用于求复杂事件的概率全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件使用全概率公式关键在于寻找另一组事件 来来“分割分割”样本空间样本空间.全概率公式最简单的形式：全概率公式最简单的形式：注意点注意点(1)本讲稿第六十一页，共八十七页若若事件事件B1,B2,Bn是互不相容的，且是互不相容的，且 P(Bi)0，注意点注意点(2)则由则由 可得可得 本讲稿第六十二页，共八十七页 设设10 件产品中有件产品中有 3 件不合格品，从中件不合格品，从中 不放回地取两次，每次
33、一件，求取出不放回地取两次，每次一件，求取出 的第二件为不合格品的概率。的第二件为不合格品的概率。解解：设设 A=“第一次取得不合格品第一次取得不合格品”，B=“第二次取得不合格品第二次取得不合格品”.由全概率公式得：由全概率公式得：=(3/10)(2/9)+(7/10)(3/9)=3/10例例1.5.2本讲稿第六十三页，共八十七页 n 张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸 取，记取，记 Ai为为“第第 i 次摸到中奖券次摸到中奖券”，则，则 (1)P(A1)=1/n.(2)可用全概率公式计算得可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n.(3)可用归纳法计算得可用
34、归纳法计算得 P(Ai)=1/n,i=1,2,n.摸摸 彩彩 模模 型型本讲稿第六十四页，共八十七页n 张彩票中有张彩票中有 k 张中奖，从中不返回地摸取，张中奖，从中不返回地摸取，记记 Ai 为为“第第 i 次摸到奖券次摸到奖券”，则，则 P(Ai)=k/n,i=1,2,n结论结论：不论先后，中彩机会不论先后，中彩机会是一样的是一样的.摸摸 彩彩 模模 型型(续续)本讲稿第六十五页，共八十七页 口袋中有口袋中有a只白球、只白球、b只黑球。在下列情况下，只黑球。在下列情况下，求第求第k次取出的是白球的概率：次取出的是白球的概率：(1)从中一只一只返回取球；从中一只一只返回取球；(2)从中一只一
35、只不返回取球；从中一只一只不返回取球；(3)从中一只一只返回取球，且从中一只一只返回取球，且 返回的同时再加入一只同色球返回的同时再加入一只同色球.思思 考考 题题本讲稿第六十六页，共八十七页甲口袋有甲口袋有a只白球、只白球、b只黑球；乙口袋有只黑球；乙口袋有n只白球、只白球、m只黑球只黑球.从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后 从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白 球的概率球的概率.概率为：概率为：全概率公式的例题全概率公式的例题本讲稿第六十七页，共八十七页甲口袋有甲口袋有a只白球、只白球、b只黑球；乙口袋有只黑球；
36、乙口袋有n只白只白 球、球、m只黑球只黑球.从甲口袋任取两球放入乙口袋，从甲口袋任取两球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率的是白球的概率.以上是甲、乙两口袋的球数不同，如果两口袋以上是甲、乙两口袋的球数不同，如果两口袋装的黑、白球个数都相同，则情况又如何？装的黑、白球个数都相同，则情况又如何？思思 考考 题题本讲稿第六十八页，共八十七页o乘法公式是求乘法公式是求“几个事件同时发生几个事件同时发生”的概率；的概率；o全概率公式是求全概率公式是求“最后结果最后结果”的概率；的概率；o贝叶斯公式是已知贝叶斯公式是已知“最后结果最
37、后结果”，求，求“原因原因”的的概率概率.1.5.4 贝叶斯公式贝叶斯公式本讲稿第六十九页，共八十七页 某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等可能地，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率.（1/6，2/6，3/6）已知已知“结果结果”，求，求“原因原因”本讲稿第七十页，共八十七页若若事件事件B1,B2,Bn是样本空间是样本空间 的一组分割，且的一组分割，且P(A)0,P(Bi)0，
38、则则贝叶斯（贝叶斯（Bayes）公式公式 本讲稿第七十一页，共八十七页 1)B1,B2,.,Bn可以看作是导致可以看作是导致A发生的发生的原因原因;2)P(Bj|A)是在事件是在事件A发生的条件下发生的条件下,某个原因某个原因Bj 发生的概率发生的概率,称为称为“后验概率后验概率”;3)Bayes公式又称为公式又称为“后验概率公式后验概率公式”;4)称称P(Bj)为为“先验概率先验概率”.注注 意意 点点本讲稿第七十二页，共八十七页例例1.5.3 某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为倍；乙、
39、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%,2%,4%.若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率求它是甲厂生产的概率?解：解：用用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设分别记甲、乙、丙厂，设 Ai=“取到第取到第i 个工厂的产品个工厂的产品”，B=“取到次品取到次品”，由题意得由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.=0.4由由Bayes公式得公式得:本讲稿第七十三页，共八十七页例例1.5.4 机器调整良好时，产品合格率为机器调整良好时，产品合格率为
40、98；机器发生；机器发生故障时，其合格率为故障时，其合格率为55.每天早上启动机器时，机器调每天早上启动机器时，机器调整良好率为整良好率为95.在已知早上第一件产品是合格品时，机在已知早上第一件产品是合格品时，机器调整良好率的概率是多少？器调整良好率的概率是多少？解：解：用用A=“产品合格产品合格”，B=“机器调整良好机器调整良好”，由题意可知由题意可知:P(A|B)=0.98,P(B)=0.95,1P(B)=0.05.现在是求现在是求P(B|A)=0.97由由Bayes公式得公式得:本讲稿第七十四页，共八十七页 口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现再
41、往口袋中放入一只白球，然后从口袋中现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？来的那只球是白球的可能性多大？思考题思考题2/3本讲稿第七十五页，共八十七页 事件的独立性事件的独立性 直观说法直观说法：对于两事件，若其中任何一个对于两事件，若其中任何一个 事件的发生事件的发生不影响不影响另一个事件的发生，另一个事件的发生，则这两事件是则这两事件是独立的独立的.P(A|B)=)=P(A)P(AB)/)/P(B)=)=P(A)P(AB)=P(A)P(B)1.6 独立性独立性本讲稿第七十六页，共八十七页
42、定义定义1.6.1 若事件若事件 A 与与 B 满足：满足：P(AB)=)=P(A)P(B),),则称则称A与与B相互独立，简称相互独立，简称A与与B独立独立.结论结论 A、B 为两个事件，若为两个事件，若 P(A)0,则则 A 与与 B 独立独立等价于等价于 P(B|A)=P(B).性质性质1.6.1 若事件若事件A与与B独立，则独立，则 A 与与 独立独立、与与 B独立独立、与与 独立独立.1.6.1 两个事件的独立性两个事件的独立性本讲稿第七十七页，共八十七页 实际应用中，往往根据经验来判断实际应用中，往往根据经验来判断两个事件两个事件 的独立性：例如的独立性：例如 返回抽样返回抽样、甲
43、乙两人分别工作甲乙两人分别工作、重复试验重复试验等等.事件独立性的判断事件独立性的判断本讲稿第七十八页，共八十七页1.6.2 多个事件的相互独立性多个事件的相互独立性对于对于A、B、C三个事件，称满足：三个事件，称满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)为为A、B、C 两两独立两两独立.称满足：称满足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)为为A、B、C三三独立三三独立.定义定义1.6.3 若事件若事件 A1,A2,An满足：满足：两两独立两两独立、三三独立三三独立、n n 独立独立 则称则称A1,A2,An 相互独立相互独立.本讲稿第七十
44、九页，共八十七页 若若A、B、C 相互独立，相互独立，则则A B 与与 C 独立独立,A B 与与 C 独立独立,A B 与与 C 独立独立.一一 些些 结结 论论本讲稿第八十页，共八十七页 例例1.6.1 两射手独立地向同一目标射击一次，其两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率分别为命中率分别为 0.9 和和 0.8，求目标被击中的概率，求目标被击中的概率.解解:设设 A=“甲中甲中”,B=“乙中乙中”,C=“目标被击中目标被击中”,所以所以解法解法i)P(C)=P(A B)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.9+0.8 0.9 0.8 =0.98.解法解法ii)用对立事件公式用对
45、立事件公式 P(C)=P(A B)=1 (1 0.9)(1 0.8)=1 0.02 =0.98.本讲稿第八十一页，共八十七页 例例1.6.2 甲、乙两人独立地对同一目标射击甲、乙两人独立地对同一目标射击 一次，其命中率分别为一次，其命中率分别为 0.6 和和 0.7，现已知，现已知 目标被击中，求它是甲击中的概率。目标被击中，求它是甲击中的概率。解解:设设 A=“甲中甲中”,B=“乙中乙中”,C=“目标被击中目标被击中”,所以所以 P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/P(C)=P(A)/P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.6/0.88 =15/22本讲稿第八十二页，共八十七页 例
46、例1.6.3 两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射，谁两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射，谁先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标的概率分先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标的概率分别为别为 和和 ，求甲得胜的概率。，求甲得胜的概率。解解:因为因为P(甲胜甲胜)=+(1 )(1 )P(甲胜甲胜)所以所以 P(甲胜甲胜)=/1 (1 )(1 ).本讲稿第八十三页，共八十七页 例例1.6.4 口袋中有口袋中有3个白球、个白球、5个黑球，甲、乙个黑球，甲、乙 两人轮流从口袋中有返回地取一球，甲先取两人轮流从口袋中有返回地取一球，甲先取.谁先取到白球为胜，求甲胜的概率谁先取到白球为胜，求甲胜的
47、概率.解：解：P(甲胜甲胜)=3/8+(5/8)(5/8)P(甲胜甲胜)所以所以 P(甲胜甲胜)=8/13.本讲稿第八十四页，共八十七页 例例1.6.5 元件工作独立，求系统正常工作的概率元件工作独立，求系统正常工作的概率.记记 Ai=“第第i个元件正常工作个元件正常工作”，pi=P(Ai).(1)两个元件的串联系统：两个元件的串联系统：P(A1 A2)=p1 p2(2)两个元件的并联系统：两个元件的并联系统：P(A1 A2)=p1+p2 p1 p2=1(1 p1)(1 p2)(3)五个元件的桥式系统：五个元件的桥式系统：用全概率公式用全概率公式 p3(p1+p4 p1 p4)(p2+p5 p
48、2 p5)+(1 p3)(p1p2+p4 p5 p1p2 p4p5)本讲稿第八十五页，共八十七页基本概念：基本概念：随机试验、样本空间、随机事件、基本事件、频数、概率、古典概率，对立事件、互随机试验、样本空间、随机事件、基本事件、频数、概率、古典概率，对立事件、互不相容事件、概率的加法定理、条件概率、概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公不相容事件、概率的加法定理、条件概率、概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、事件的独立性；式、事件的独立性；概率的概率的3 3条基本性质：条基本性质：非负性、规范性、可列可加性；非负性、规范性、可列可加性；重要概率公式：重要概率公式：条件概率公式：条件概率公式：P(B|A)=P(AB)/P(A);乘法公式：乘法公式：P(AB)=P(B|A)P(A);全概率公式、贝叶斯公式；全概率公式、贝叶斯公式；1.7 小结小结本讲稿第八十六页，共八十七页o2,4,8,12,14,18,22,24,28,32作作 业业本讲稿第八十七页，共八十七页