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1、上一页上一页下一页下一页返返 回回 1654年年,一个名叫一个名叫梅累的骑士就梅累的骑士就“两个赌徒两个赌徒约定赌若干局约定赌若干局, 且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家, 若在一赌若在一赌徒胜徒胜 a 局局 ( ac ),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便终止赌时便终止赌博博,问应如何分赌本问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡为题求教于帕斯卡, 帕斯卡帕斯卡与费马通信讨论这一问题与费马通信讨论这一问题, 于于1654 年共同建立了年共同建立了概率论的第一个基本概念概率论的第一个基本概念数学期望数学期望.1. 概率论的诞生概率论的诞生上一页上一页下一页下一页返返 回回2. 概率论的应
2、用概率论的应用 概率论是数学的一个分支概率论是数学的一个分支，它研究随机现象它研究随机现象的数量规律的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所有的科学概率论的应用几乎遍及所有的科学领域领域，例如天气预报例如天气预报、 地震预报地震预报、产品的抽样调产品的抽样调查查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性扰性、分辨率等等分辨率等等.上一页上一页下一页下一页返返 回回在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. . “太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,1.确定性现象确定性现象 “同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水
3、从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象上一页上一页下一页下一页返返 回回在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况正反两面出现的情况.2. 随机现象随机现象 “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数” 等等.结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果上一页
4、上一页下一页下一页返返 回回结果有可能为结果有可能为:1, 2, 3, 4, 5 或或 6. 实例实例3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数. 实例实例2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况.结果结果: 弹落点会各不相同弹落点会各不相同.上一页上一页下一页下一页返返 回回 1. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能
5、确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现. 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验.定义定义上一页上一页下一页下一页返返 回回第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念第一节第一节 样本空间、随机事件样本空间、随机事件第二节第二节 概率、古典概型概率、古典概型第三节第三节 条件概率、全概率公式条件概率、全概率公式第四节第四节 独立性独立性第一节第一节 样本空间样本空间 随机事件随机事件在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果的现象称先又不能预测是哪一种
6、结果的现象称随机现象随机现象。1、随机试验、随机试验概率论与数理统计概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门基础学科。规律性的一门基础学科。上一页上一页下一页下一页返返 回回则把这一试验称为则把这一试验称为随机试验随机试验，常用，常用E表示。表示。对随机现象进行的观察或实验称为对随机现象进行的观察或实验称为试验试验。（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事）每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验的所有可能结果。先可以知道试验的所有可能结果。（3）进行一次试验之前，不能确定会出现）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个结果。哪一个结果。若一个试验具有
7、下列三个特点：若一个试验具有下列三个特点：（1）在相同条件下可重复进行。）在相同条件下可重复进行。上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1 : 从一批产品中任取从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数，件，观察其中的正品件数，则这一试验的样本空间为：则这一试验的样本空间为： =0，1，2，3，4，5，6，7，8引入下列随机事件引入下列随机事件:A=正品件数不超过正品件数不超过3=0，1，2，3B=取到取到2件至件至3件正品件正品=2，3C=取到取到2件至件至5件正品件正品=2，3，4，5D=取到的正品数不少于取到的正品数不少于2且不多于且不多于5=2，3，4，5E=取到的正品数至少为取到的正品
8、数至少为4=4，5，6，7，8F=取到的正品数多于取到的正品数多于4=5，6，7，8上一页上一页下一页下一页返返 回回2、样本空间与随机事件、样本空间与随机事件随机事件（随机事件（简称简称事件）：事件）：在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。通常用大写字母通常用大写字母A、B,表示。表示。基本结果：基本结果：（1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本结果。结果。（2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，每个基本结果称样本点。每个基本结果称样本点。上一页上一页下一页下
9、一页返返 回回随机事件中有两个随机事件中有两个极端情况极端情况：每次试验中都必然发生的事件，称为每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件必然事件 。每次试验中都不发生的事件，称为每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件不可能事件 。基本事件基本事件是样本空间的单点集。是样本空间的单点集。复合事件复合事件是由多个样本点组成的集合。是由多个样本点组成的集合。必然事件必然事件包含一切样本点，它就是样本空间包含一切样本点，它就是样本空间 。不可能事件不可能事件不含任何样本点，它就是空集不含任何样本点，它就是空集 。样本空间：样本空间：随机试验随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为的全体基本事件组成的
10、集合。记为 。上一页上一页下一页下一页返返 回回表示事件表示事件A包含于事件包含于事件B或称事件或称事件B包含事件包含事件A,指指事件事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生.BA 013、事件间的关系及其运算、事件间的关系及其运算.,相等相等与事件与事件称事件称事件即即且且若若BABAABBA .,AA 都有对于任意事件事件事件A1，A2，An 的和记为的和记为 ,或或A1 A2 An iniA1 表示事件表示事件A与事件与事件B中至少有一个事件发生中至少有一个事件发生,称此事称此事件为事件件为事件A与事件与事件B的和（并）事件的和（并）事件,或记为或记为A+B.BA02上一页上一页
11、下一页下一页返返 回回表示事件表示事件A与事件与事件B同时发生同时发生, 称为事件称为事件A与事件与事件B的的积（交）事件，记为积（交）事件，记为AB。积事件。积事件AB是由是由A与与B的公共的公共样本点所构成的集合。样本点所构成的集合。可列个事件可列个事件A1 , A2 , , An 的积记为的积记为A1 A2 An 或或A1A2 An ，也可简记为，也可简记为 。niiA1 1iiA在可列无穷的场合，用在可列无穷的场合，用 表示事件表示事件“A1、A2 、 诸诸事件同时发生。事件同时发生。”BA03上一页上一页下一页下一页返返 回回事件事件A发生但事件发生但事件B不发生不发生,称为事件称为
12、事件A与事件与事件B的差的差事件。事件。显然有：显然有：AAAAA,BA 04 BA05则称则称A和和B是互不相容的或互斥的是互不相容的或互斥的,指事件指事件A与与B不不可能同时发生。可能同时发生。基本事件是两两互不相容的基本事件是两两互不相容的。上一页上一页下一页下一页返返 回回AAABABABAAAAAAA,则称则称A和和B互为对立事件，或称互为对立事件，或称A与与B互为逆事件。互为逆事件。事件事件A的逆事件记为的逆事件记为 , 表示表示“A不发生不发生”这一事件。这一事件。ABABA且06对于任意的事件对于任意的事件A，B只有如下分解：只有如下分解：)()(,BABABABABAABA上
13、一页上一页下一页下一页返返 回回ABBAA BBAAB BABA BABABA BA AA 上一页上一页下一页下一页返返 回回事件的运算律事件的运算律 （1）交换律：）交换律：AB=AB，AB=BA（2）结合律）结合律（AB）C=A（BC） （3）分配律：）分配律：A （BC）= （AB）（ A C ）（AB）C=A（BC）A（B C）=（AB）（AC） （4）.,11111111iiiiiiiiiniiniiniiniAAAAAAAA上一页上一页下一页下一页返返 回回ABABABA（5）例例2: 设设A，B，C为三个事件，试用为三个事件，试用A，B，C表表示下列事件：示下列事件：（1）A发生
14、且发生且B与与C至少有一个发生；至少有一个发生；（2）A与与B都发生而都发生而C不发生；不发生；（3）A，B，C恰有一个发生；恰有一个发生；（4）A，B，C中不多于一个发生；中不多于一个发生；（5）A，B，C不都发生；不都发生；（6）A，B，C中至少有两个发生。中至少有两个发生。上一页上一页下一页下一页返返 回回.)6(ABCBCACBACABBCACAB 或或);()1(:CBA 解解;)2(CABCAB 或或;)3(CBACBACBA ;)4(BCACABCBACBACBACBA 或或;)5(CBAABC 或或上一页上一页下一页下一页返返 回回第二节第二节 概率、古典概率概率、古典概率1、
15、概率、概率nkAfn )(定义定义1.1: 在相同条件下，进行了在相同条件下，进行了n次试验次试验.若随机事件若随机事件A在这在这n次试验中发生了次试验中发生了k次，则比值次，则比值 称为事件称为事件A在在n次实验中发生的频率，记为次实验中发生的频率，记为nk频率具有下列频率具有下列性质性质：(1)对于任一事件对于任一事件A，有，有 1)(0 Afn(2)1)( nf上一页上一页下一页下一页返返 回回)()( ,)()()( ,)3(1121imtnmtinmnnnAfAfAAABfAfBAfBA 则则互互不不相相容容一一般般，若若则则互互不不相相容容若若事事件件上一页上一页下一页下一页返返
16、回回 历史上著名的统计学家德历史上著名的统计学家德摩根摩根(De Morgan)蒲丰蒲丰（Buffon）和皮尔逊（）和皮尔逊（Pearson）曾进行过大量抛硬币）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表的试验，其结果如表1-1所示所示.表表1-1实验者实验者nkf德德摩根摩根204810610.5181蒲丰蒲丰404020480.5069K皮尔逊皮尔逊1200060190.5016K皮尔逊皮尔逊24000120120.5006可见出现正面的频率总在可见出现正面的频率总在0.5附近摆动附近摆动.随着试验次数随着试验次数的增加的增加,它会逐渐稳定于它会逐渐稳定于0.5.上一页上一页下一页下一页返返 回
17、回定义定义1.2: 设事件设事件A在在n次重复试验中发生了次重复试验中发生了k次次, n很大时很大时,频率频率 稳定在某一数值稳定在某一数值p的附近波动的附近波动,而随着试验次数而随着试验次数n的增加，波动的幅度越来越小，则称的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件为事件A发生的发生的概率，记为概率，记为pAP )(nk上一页上一页下一页下一页返返 回回.)()()(,)3(1)()2(0)()1()( 1121的的概概率率为为事事件件则则称称实实数数有有多多个个事事件件互互不不相相容容的的可可列列无无穷穷可可列列可可加加性性：对对于于两两两两规规范范性性：非非负负性性：，且且满满足足以以下下
18、公公理理：赋赋予予一一个个实实数数事事件件为为事事件件，对对于于每每一一个个为为样样本本空空间间，设设AAPAPAPAAPAPAPAAnnnn 定义定义1.1.3：2、概率的公理化定义、概率的公理化定义上一页上一页下一页下一页返返 回回 nkknkknAPAPAAA1121)()(,2则则有有为为两两两两互互不不相相容容事事件件，：若若性性质质概率的性质：概率的性质：0)(1 P：性性质质（单单调调性性）；（可可减减性性），则则有有是是两两个个事事件件，若若：设设性性质质).()()()()(,3BPAPAPBPABPBABA . 1)(4 APA，：对对任任一一事事件件性性质质上一页上一页下
19、一页下一页返返 回回).(1)( 5APAPA ，有有：对对任任一一事事件件性性质质)()()()( ,6ABPBPAPBAPBA ，有，有：对于任意两个事件：对于任意两个事件性质性质上一页上一页下一页下一页返返 回回3、古典概型、古典概型定义定义1.4： 设随机试验设随机试验E满足如下满足如下条件条件:(1)试验的样本空间只有有限个样本点，即试验的样本空间只有有限个样本点，即(2) 每个样本点的发生是等可能的，即每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为则称试验为古典概型古典概型，也称为，也称为等可能概型等可能概型。 n ,21 )()()(21nPPP 古典概型古典概型 中事件中事件A的概率
20、计算公式为的概率计算公式为中样本点总数所包含的样本点数AnkAP)(上一页上一页下一页下一页返返 回回例例3：从：从0,1,2, ,9共共10个数字中随机地有放回地接连取个数字中随机地有放回地接连取4个数字个数字,并按其出现的先后排成一行并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概试求下列事件的概率率.04)3(;4)2(;4)1(321恰恰好好出出现现两两次次个个数数字字中中个个数数字字排排成成一一个个四四位位数数个个数数字字排排成成一一个个偶偶数数 AAA.,4.10,4即即可可则则只只需需末末位位数数字字为为偶偶数数个个数数字字组组成成偶偶数数若若使使总总数数为为所所以以样样本本空空间间中
21、中样样本本点点因因为为是是有有放放回回抽抽样样上一页上一页下一页下一页返返 回回0486. 0109C)(9 . 01010C)(5 . 01010C)(422434319243151APAPAP.10, 8 , 6 , 4 , 2 , 0:53种种取取法法有有而而前前三三位位数数字字是是任任意意的的种种可可能能这这有有从而中样本点的个数为中样本点的个数为类似地可知个样本点中含有于是,9C,10C.10C224331923151AAA上一页上一页下一页下一页返返 回回例例4： (一个古老的问题一个古老的问题)一对骰子连掷一对骰子连掷25次次.问出现双问出现双6与不出现双与不出现双6的概率哪个大
22、的概率哪个大?因因此此种种结结果果有有而而至至少少有有一一次次出出现现双双种种结结果果共共有有次次不不出出现现双双掷掷种种结结果果共共有有不不出出现现双双种种结结果果只只有有掷掷一一次次出出现现双双种种结结果果次次共共有有掷掷种种结结果果有有次次一一对对骰骰子子掷掷不不出出现现双双出出现现双双解解：设设.35366,35625,356,16,3625.3666,1,6,625252525 BA的的概概率率大大所所以以出出现现双双 65055. 0)(1)(4945. 0)(25252525253635363635 BPAPBP上一页上一页下一页下一页返返 回回4、几何概型、几何概型若试验具有如
23、下特征若试验具有如下特征:).(),() 1 (m的度量记作，并把面积、体积等如长度度量区域大小可以是一个几何区域，这个样本空间)()()( mAmAP .也也称称为为几几何何概概率率.)(,)2(的位置和形状无关与成正比的度量能性与内的可中的区域或者设落在处都是“等可能的”在区域内任一点内任意投掷一个点，落向区域A，AmAA的概率为内”的事件，那么事件表示“掷点落在用AAA上一页上一页下一页下一页返返 回回例例5 (约会问题约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间甲、乙两人相约在某一段时间T内在预内在预定地点会面。先到者等候另一人，经过时间定地点会面。先到者等候另一人，经过时间t(t0,则有则有
24、 P(AB)=P(A)P(BA)同样同样,当当P(B)0时时,有：有： P(AB)=P(B)P(AB) )()()()()(, 0)(12121312121121 nnnnAAAAPAAAPAAPAPAAAPAAAP则有则有设设2、乘法定理、乘法定理乘法定理可推广至任意有限个事件的情形乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:上一页上一页下一页下一页返返 回回例例2： 设袋中有设袋中有a只白球只白球,b只黑球只黑球.任意取出一球后放回任意取出一球后放回,并再放入与取出的球同色的球并再放入与取出的球同色的球c只只,再取第二次再取第二次,如此继如此继续续,共取了共取了n次次,问前问前n1次取出黑球次取
25、出黑球,后后n2 =n -n1 次取白球次取白球的概率是多少的概率是多少?cbacbAAPbabAP )()(121则则次次取取到到黑黑球球第第设设解解, 2 , 1,:niiAi 上一页上一页下一页下一页返返 回回)()()()()(1121211212111111111 nnnnnnnAAAAAAPAAAAPAAPAPAAAAAPnn于是所求的概率为cnbacnaAAAAAAPnnnn)1()1()(2112111 cnbaaAAAAPcnbacnbAAAAPnnnn121111121)()1()1()(1111 上一页上一页下一页下一页返返 回回cnbacnacnbaacnbacnbcb
26、acbcbacbbabAAAAAAPAAAAPAAPAPnnnnnn) 1() 1() 1() 1(22)()()()(211111212112111111 上一页上一页下一页下一页返返 回回3、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与贝叶斯公式 niijinAnjijiAAAAA100212 , 2 , 1,1, 若若满满足足一一组组事事件件的的为为，为为样样本本空空间间设设的一个划分。的一个划分。为为则称则称 nAAA,21:6定定义义上一页上一页下一页下一页返返 回回 niiiniinniiABPAPBAPBPBABABABAB11211)()()()(,:可可得得由由概概率率公公式式及及乘
27、乘法法定定理理两两两两互互斥斥且且因因为为证证明明.)()()(., 2 , 1, 0)(,121，称称为为全全概概率率公公式式则则有有且且的的一一个个划划分分为为中中任任一一事事件件，为为样样本本空空间间设设 niiiinABPAPBPniAPAAAB 全概率公式全概率公式上一页上一页下一页下一页返返 回回., 2 , 1)()()()()( ., 2 , 1, 0)(0)(,121逆逆概概率率公公式式称称为为贝贝叶叶斯斯公公式式，也也称称则则，且且的的一一个个划划分分为为中中的的任任一一事事件件，为为，设设样样本本空空间间为为niAPABPAPABPBAPniAPBPAAABnjjjiii
28、in 贝叶斯公式贝叶斯公式上一页上一页下一页下一页返返 回回例例3：某工厂由甲：某工厂由甲,乙乙,丙三台机器生产同一型号的产品丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别为废品率分别为5%,4%,3%.产品混在一起产品混在一起.(1)从该厂的产品任取一件从该厂的产品任取一件,求求它是废品的概率它是废品的概率.(2)若取出产品是废品若取出产品是废品,求它是由甲求它是由甲,乙乙,丙三台机器生产的概率各是多少丙三台机器生产的概率各是多少?%,3)(%,4)(%,5)(%,35)(%,35)(%,30)(.,:321321321ABPABPABPAPAP
29、APBAAA则取出的产品为废品表示事件丙机器生产的乙取出的产品分别由甲事件分别表示设解上一页上一页下一页下一页返返 回回%95. 3%3%35%4%35%5%30)()()()()()()(,332211 ABPAPABPAPABPAPBP得得由全概率公式由全概率公式%58.26%95. 3%3%35)(%44.35%95. 3%4%35)(%98.377930%95. 3%5%30)(,321 BAPBAPBAP得得由贝叶斯公式由贝叶斯公式上一页上一页下一页下一页返返 回回例例4： 对以往的数据分析结果表明对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时当机器调整良好时,产品的合格率为产品的合格率
30、为90%,而机器未调整良好时而机器未调整良好时,其合格率为其合格率为30%.每天机器开动时每天机器开动时,机器调整良好的概率为机器调整良好的概率为75%.试试求已知某日生产的第一件产品是合格品求已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调整良好机器调整良好的概率是多少的概率是多少?9 . 03 . 025. 09 . 075. 09 . 075. 0)()()()()()()(),( ABPAPABPAPABPAPBAPBAP由由贝贝叶叶斯斯公公式式得得依依题题意意需需求求的的概概率率为为解解: 设设A=机器调整良好机器调整良好,B=生产的第一件产品为生产的第一件产品为合格品合格品.已知已知75.
31、 0)(, 3 . 0)(, 9 . 0)( APABPABP上一页上一页下一页下一页返返 回回第四节第四节 独立性独立性).()()(, 1)(0BPABPABPAPBA 则则相相互互独独立立，且且，若若事事件件1、事件的独立性、事件的独立性定理定理.,)()()(,21212121是相互独立的则称事件满足若事件AAAPAPAAPAA定义定义1.7:.,)()()()( )()()()()()()()()(, 321321321313131312121321为为相相互互独独立立的的事事件件则则称称如如果果满满足足是是三三个个事事件件设设AAAAPAPAPAAAPAPAPAAPAPAPAAPA
32、PAPAAPAAA 定义定义1.8:上一页上一页下一页下一页返返 回回.,)()()()(;1)()()()(;1)()()(12,21212121是相互独立的则称，个等式成立：若以下个事件对nnnkjikjijijinnAAAAPAPAPAAAPnkjiAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPnAAAn定义定义1.9:上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1： 假设我们掷两次骰子假设我们掷两次骰子,并定义事件并定义事件A=第一次掷得第一次掷得偶数偶数,B=第二次掷得奇数第二次掷得奇数,C=两次都掷得奇数或偶数两次都掷得奇数或偶数,证明证明A,B,C两两独立两两独立,但但A,B,C不相互独立不
33、相互独立.0)(,41)(41)(,41)(,21)()()( ABCPACPBCPABPCPBPAP证明证明： 容易算容易算出出)()()( )()()(),()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP 从而有等式从而有等式.,)()()()(.,不不是是相相互互独独立立的的因因此此但但是是两两两两独独立立所所以以CBACPBPAPABCPCBA 上一页上一页下一页下一页返返 回回例例2： 甲、乙两射手射击同一目标甲、乙两射手射击同一目标,他们击中目标的概他们击中目标的概率分别为率分别为0.9与与0.8,求在一次射击中求在一次射击中(每人各射一次每人各射一次)目标目标被击中的概率被击
34、中的概率., ,:目目标标被被击击中中乙乙射射中中目目标标甲甲射射中中目目标标设设解解 CBA98.0)8 .01()9 .01(1)()(1)(1)(1)( BPAPBAPCPCP或或98.08 .09 .08 .09 .0)()()()()()()()()(, BPAPBPAPABPBPAPBAPCPBAC由由独独立立性性有有则则上一页上一页下一页下一页返返 回回2、 贝努里试验模型贝努里试验模型.,).10(, 重重贝贝努努里里试试验验称称为为验验试试验验总总起起来来看看成成一一个个试试次次独独立立重重复复把把这这均均为为概概率率保保持持不不变变出出现现的的每每次次试试验验中中结结果果次
35、次独独立立地地重重复复进进行行在在相相同同条条件件下下将将为为一一贝贝努努里里试试验验设设nnppAnEE 定义定义:.)4(.)3(.)2(.：) 1 ( 次共进行各次试验相互独立率均为在每次试验中出现的概结果及结果每次试验只有两个可能个约定：重贝努里试验有下面四npAAAn上一页上一页下一页下一页返返 回回pqnkqpCkPknAnknkknn 1, 1 , 0)( , 次次的的概概率率为为出出现现次次试试验验中中在在事事件件重重贝贝努努里里试试验验对对于于定理定理1:knkknkqpppknkAn )1( ,:为为次次试试验验中中不不出出现现的的概概率率而而在在其其余余出出现现次次试试验
36、验中中在在指指定定的的重重贝贝努努里里试试验验由由证证明明.,个个事事件件是是互互不不相相容容的的种种排排列列所所对对应应的的而而这这种种共共有有顺顺序序的的发发生生可可以以有有各各种种排排列列结结果果knknknCCCA.)( 也也称称为为二二项项概概率率公公式式由由概概率率加加法法公公式式得得到到knkknnqpCkP 上一页上一页下一页下一页返返 回回例例3: 一副扑克牌一副扑克牌(52张张)，从中任取，从中任取13张，求至少有一张张，求至少有一张“A”的概率。的概率。4 , 3 , 2 , 1)( ,13521348443214321 iCCCAPAAAAAAAAAiii两两两两互互斥斥且且解解: 设设A=任取的任取的13张牌中至少一张张牌中至少一张“A”，并设，并设Ai=任取的任取的13张牌中恰有张牌中恰有i张张“A”，i=1，2，3，4则则696. 0)()(1352134844141 CCCAPAPiiiii因因此此696. 01)(1)()(:1352134813521348 CCAPAPCCAP从从而而率率另另一一方方法法来来计计算算这这一一概概上一页上一页下一页下一页返返 回回