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1、课时作业(十七)高考解答题专题突破(一)高考中的导数应用问题1(2015济南模拟)已知函数f(x)k(x1)exx2.(1)当k时，求函数f(x)在点(1,1)处的切线方程；(2)若在y轴的左侧，函数g(x)x2(k2)x的图象恒在f(x)的导函数f(x)图象的上方，求k的取值范围；(3)当k1时，求函数f(x)在k,1上的最小值m.解：(1)当k时，f(x)(x1)exx2，f(x)(2ex1)x，故f(1)1.函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为yx.(2)f(x)kxx2(k2)x，x0，即kxexx2kx0，x0.因为x0，所以kexxk0，令h(x)kexxk，h(x)kex1.
2、当k0时，h(x)在(，0)上为减函数，h(x)h(0)0，符合题意；当0k1时，h(x)在x0为减函数，h(x)h(0)0，符合题意；当k1时，h(x)在(，ln k)上为减函数，在(ln k,0)上为增函数，h(ln k)h(0)0，不合题意综上，k的取值范围是(，1(3)f(x)kxex2xkx，令f(x)0，得x10，x2ln，令g(k)lnk，则g(k)10，g(k)在k1时取得最小值g(1)1ln 20，所以x2lnk.当2k1时，x2ln0，f(x)的最小值为mminf(0)，f(1)mink,11.当k2时，函数f(x)在区间k,1上为减函数，mf(1)1.当k2时，f(x)的
3、最小值为mminf(x2)，f(1)，f(x2)22x2x221，f(1)1，此时m1.综上，m1.2(2015潍坊模拟)已知函数f(x)ln xa，g(x)xa.(1)当直线yg(x)恰好为曲线yf(x)的切线时，求a的值；(2)当a0时，若函数F(x)f(x)g(x)在区间e，1上不单调，求a的取值范围；(3)若aZ且xf(x)g(x)0对一切x1恒成立，求a的最小值解：(1)设切点为(x0，y0)，由f(x)ln xa，得f(x)，由题意，f(x0)1，x01，切点为(1，a)，又切点在直线yg(x)上，1aa，a.(2)F(x)f(x)g(x)(ln xa)(xa)，F(x)1aln
4、x.a0，函数y在(0，)上单调递增又yln x在(0，)上单调递增，F(x)1aln x在(0，)上单调递增F(1)1aln 1a0，要使F(x)(ln xa)(xa)在e，1上不单调，只需满足F(e)1aln e0，解得a.即a的取值范围是.(3)由题意，x(ln xa)xa0对一切x1恒成立，等价于a对一切x1恒成立记(x)(x1)，则(x)，记(x)2ln xx(x1)，(x)10，(x)2ln xx在(1，)上单调递减，又(3)2ln 33ln 310，(4)2ln 44ln 420，x0(3,4)，使(x0)0，且当x(1，x0)，(x)0，(x)0，(x)在(1，x0)上单调递增
5、，x(x0，)，(x)0，(x)0，(x)在(x0，)上单调递减，(x)max(x0).又(x0)0，即2ln x0x00，ln x0x02，(x0)x0，ax0，又x0(3,4)，x0(4，3)又aZ，a的最小值为3.3(2015日照模拟)已知函数f(x)ex.(1)当x0时，设g(x)f(x)(a1)x(aR)，讨论函数g(x)的单调性；(2)证明：当x时，f(x)x2x1.解：(1)g(x)ex(a1)x，所以g(x)ex(a1)当x0时，ex1，故有当a11，即a0时，x(0，)，g(x)0；当a11，即a0时，ex1，令g(x)0，得xln (a1)；令g(x)0，得0xln(a1)
6、，综上，当a0时，g(x)在(0，)上是增函数；当a0时，g(x)在(0，ln(a1)上是减函数，在(ln(a1)，)上是增函数(2)证明：设h(x)f(x)(x2x1)exx2x1，则h(x)ex2x1，令m(x)h(x)ex2x1，则m(x)ex2，因为x，所以当x时，m(x)0，m(x)在上是减函数；当x(ln 2,1时，m(x)0，m(x)在(ln2,1上是增函数，又m20，m(1)e30，所以当x时，恒有m(x)0，即h(x)0，所以h(x)在上为减函数，所以h(x)h0，即当x时，f(x)x2x1.4(2015威海模拟)已知函数f(x)ln x，其中a为大于零的常数(1)若f(x)
7、在点(1,0)处的切线过(2，1)点，求实数a的值；(2)当a1时，求f(x)在1，e2上的最值；(3)若f(x)无极值，求实数a的取值范围解：(1)f(x)，f(1)11，解得a.(2)当a1时，f(x)ln x，f(x)，x0，f(x)0恒成立，f(x)在1，e2上单调递增，f(x)minf(1)0，f(x)maxf(e2)2.(3)f(x)，f(x)无极值，等价于f(x)在定义域上无变号零点设g(x)ax2(2a2)xa，则有0或实数a的取值范围为.5(2015德州模拟)设函数f(x)ln xax(aR)(e2.718 28是自然对数的底数)(1)判断f(x)的单调性；(2)当f(x)0
8、在(0，)上恒成立时，求a的取值范围；(3)证明：当x(1，)时，xe.解：(1)f(x)a，函数f(x)ln xax的定义域为(0，)当a0时，f(x)0，此时f(x)在(0，)上是增函数当a0时，x时，f(x)0，此时f(x)在上是增函数；x时，f(x)0，此时f(x)在上是减函数(2)当f(x)0在(0，)上恒成立时，即a在(0，)上恒成立设g(x)，则g(x)，当x(0，e)时，g(x)0，g(x)为增函数；当x(e，)时，g(x)0，g(x)为减函数故当xe时，g(x)取得最大值.a的取值范围为.(3)证明：要证x(1，)时，e成立，只要证x1ex成立，即证xex成立，即证ln xx
9、成立，又因为x1，即证ln xx1.令t(x)ln xx1(x1)，则t(x)10，t(x)在(1，)上单调递减t(x)t(1)0，ln xx1.xe.6(2015济宁模拟)已知函数f(x)ln x，g(x)ex(ax1)，其中a为实数(1)若yf(x)在区间(1，)上是单调增函数，求a的取值范围；(2)当g(x)在区间(1,2)上不是单调函数时，试求函数yf(x)的零点个数，并证明你的结论解：(1)f(x)在(1，)上是单调增函数，f(x)0在x(1，)上恒成立，ax，显然x1，a1.故a的取值范围是1，)(2)g(x)在(1,2)上不是单调函数，g(x)ex(axa1)0在(1,2)上有解，a0且12，a.由f(x)ln x0，得axln x，令h(x)xln x，则h(x)1ln x，由h(x)0，得x，在上h(x)0，h(x)是减函数，在上h(x)0，h(x)是增函数，x时，h(x)取得极小值，也是最小值为h.又0x1时，h(x)0，x1时，h(x)0，综上，当a时，f(x)的零点个数为0；当a时，f(x)的零点个数为1；当a时，f(x)的零点个数为2.7