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1、课时作业(七十)高考解答题专题突破(六)概率与统计的综合问题1(2015潍坊模拟)某单位有车牌尾号分别为0,5,6的汽车各一辆,分别记为A,B,C.已知在非限行日,根据工作需要每辆车每天可能出车或不出车,A,B,C三辆车每天出车的概率依次为,且A,B,C三车出车相互独立;在限行日,不能出车该地区汽车限行规定如下:车牌尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五(1)求该单位在星期四恰好出车两台的概率;(2)设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和,求X的分布列及其数学期望解:(1)设A车在星期i出车的事件为Ai,B车在星期i出车的事件为Bi,C车在星期i出车的
2、事件为Ci.设该单位在星期四恰好出车两台的事件为D,所以P(D) P(A4B44)P(A44C4)P(4B4C4).(2)X的可能取值是0,1,2,3,P(X0)P(1)P(22);P(X1)P(C1)P(22)P(1)P(A22)P(1)P(2B2);P(X2)P(1)P(A2B2)P(C1)P(A22)P(C1)P(2B2);P(X3)P(C1)P(A2B2).所以X的分布列为X0123P则E(X)0123.2(2015临沂一模)某工厂生产A,B两种元件,已知生产A元件的正品率为75%,生产B元件的正品率为80%,生产1个元件A,若是正品则盈利50元,若是次品则亏损10元;生产1个元件B,
3、若是正品则盈利40元,若是次品则亏损5元(1)求生产5个元件A所得利润不少于140元的概率;(2)设X为生产1个元件A和1个元件B所得总利润,求X的分布列和数学期望解:(1)解法一:由题意知,生产5个元件A,若全为正品则所得利润为250元;若4个为正品,1个为次品,所得利润为45010190元;若3个为正品,2个为次品,所得利润为350210130元由此可知生产5个元件A,若5个全为正品或4个为正品时,所得利润不少于140元记“生产5个元件A所得利润不少于140元”为事件A,则P(A)C45.解法二:设生产的5个元件A中有正品n个,由题意得50n 10(5n)140,解得n,所以n4或n5.设
4、“生产5个元件A所得利润不少于140元”为事件A,则 P(A)C45.(2)随机变量X的所有可能取值为90,45,30,15.且P(X90);P(X45);P(X30);P(X15),则随机变量X的分布列为X90453015P则E(X)904530(15)66.3(2015淄博模拟)中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)进入总决赛的甲、乙两队中,若每一场比赛甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为,假设每场比赛的结果互相独立现已赛完两场,乙队以20暂时领先(1)求甲队获得这次比赛胜利的概率;(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X,求随机变量X的分布列和数学期望E(X)解:
5、(1)设甲队获胜为事件A,则甲队获胜包括甲队以42获胜和甲队以43获胜两种情况设甲队以42获胜为事件A1,则P(A1)4;设甲队以43获胜为事件A2,则P(A2)C3,则P(A)P(A1)P(A2).(2)随机变量X可能的取值为4,5,6,7.P(X4)2;P(X5)C;P(X6)C24;P(X7)C3.则X的分布列为X4567PE(X)4567.4(2015济宁二模)袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球,今从袋子里随机取球(1)若有放回地取3次,每次取一个球,求取出1个红球2个黑球的概率;(2)若无放回地取3次,每次取一个球,若取出每只红球得2分,取出每只黑球得1分,求得分的分布列和数学期望
6、解:(1)从袋子里有放回地取3次球,相当于做了3次独立重复试验,每次试验取出红球的概率为,取出黑球的概率为,设事件A“取出1个红球,2个黑球”,则P(A)C23.(2)得分的取值有四个:3,4,5,6,P(3),P(4),P(5),P(6).的分布列为3456P所以E()3456.5(2015德州模拟)某公司招聘工作人员,有甲、乙两组题目,现有A,B,C,D四人参加招聘,其中A,B两人独自参加甲组测试,C,D两人独自参加乙组测试;已知A,B两人各通过的概率均为,C,D两人各自通过的概率均为.(1)求参加甲组测试通过的人数多于参加乙组测试通过人数的概率;(2)记甲、乙两组测试通过的总人数为X,求
7、X的分布列和数学期望解:(1)设甲组测试通过的人数多于乙组测试通过的人数为事件A,P(A)222.(2)X可取0,1,2,3,4.P(X0)22;P(X1)2222;P(X2)22224;P(X3)2222;P(X4)22.则X的分布列为X01234P期望E(X)01234.6(2015山师大附中模拟)某高校自主招生考试中,所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试,成绩分别为A,B,C,D,E五个等级,某考场考生的两科测试的成绩数据统计如图,其中“语言表达能力”成绩等级为B的考生有10人 (1)求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A的人数;(2)已
8、知等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分;求该考场共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分,从这10人中随机抽取2人,求2人成绩之和的分布列和数学期望解:(1)因为“语言表达能力”科目中成绩为B的考生有10人,所以该考场有100.25040(人),所以该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A的人数为40(10.3750.3750.1500.025)400.0753.(2)由题意可得“语言表达能力”科目中成绩等级为D的频率为10.3750.2500.2000.0750.100,该考场考生“语言表达能力”科目的平均分为1(400.200)2(400.100)3(400.375)4(400.250)5(400.075)2.9.设2人成绩之和为随机变量,则的所有可能取值为16,17,18,19,20.P(16)P(17)P(18)P(19),P(20)所以随机变量的分布列为1617181920P所以E()1617181920.6