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1、高中数学知识梳理1. 集合的概念(1) 集合中元素的三个特征：_、_、_(2) 集合的表示法：_、_、_等(3) 集合按所含元素个数可分为：_、_、_；按元素特征可分为：_、_.(4) 常用数集符号：N表示_集；N*或N表示_集；Z表示_集；Q表示_集；R表示_集；C表示_集2. 两类关系(1) 元素与集合的关系，用_或_表示(2) 集合与集合的关系，用“_”、“_”或“_”表示_时，称A是B的子集；当_时，称A是B的真子集；当_时，称集合A与集合B相等，两个集合所含的元素完全相同3. 集合的运算(1) 全集：如果集合S包含我们所要研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常
2、用U来表示一切所研究的集合都是这个集合的_.(2) 交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作AB，即AB_.(3) 并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作AB，即AB_. (4) 补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫作A的补集(或余集)，记作SA，即SA_.4. 常见结论与等价关系(1) 如果集合A中有n(nN*)个元素，那么A的子集有_个，真子集有_个，非空真子集有_个(2) ABAAB，ABAAB.(3) U(AB)_，U(AB)_.知识梳理1. 如果记“若p则q”为原命题，那么否命题为“_”，逆
3、命题为“_”，逆否命题为“_”其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与_等价，逆命题与_等价因此，四种命题为真的个数只能是偶数2. (1) 若pq，但q p，则p是q的_条件；(2) 若p q，但qp，则p是q的_条件；(3) 若pq，且qp，即pq，则p是q的_条件；(4) 若p/ q，且q p，则p是q的_条件3. 证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的_)，又要证明它的逆命题成立(即条件的_).1. 全称量词我们把表示_的量词称为全称量词对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“”表示含有_的命题，叫作全称命题
4、“对任意实数xM，都有p(x)成立”简记成“xM，p(x)”2. 存在量词我们把表示_的量词称为存在量词对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“”表示含有_的命题，叫作存在性命题“存在实数x0M，使p(x0)成立”简记成“_”3. 简单逻辑联结词有_(符号为)，_(符号为)，_(符号为非)4. 命题的否定：“xM，p(x)”与“_”互为否定5. 复合命题的真假：对p且q而言，当p，q均为真时，其为_；当p，q中至少有一个为假时，其为_.对p或q而言，当p，q均为假时，其为_；当p，q中有一个为真时，其为_当p为真时，非p为_；当p为假时
5、， 非p为_.6. 常见词语的否定如下表所示：词语是一定是都是大于小于_词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立_1. 函数的概念设A，B是两个_的数集，如果按某个确定的_，使对于集合A中的_元素x，在集合B中都有_的元素y和它对应，那么称_为从集合A到集合B的一个函数，记作：yf(x)，xA.其中所有的输入值x组成的集合A叫作函数yf(x)的_；所有的输出值y组成的集合叫作函数yf(x)的_.2. 相同函数函数的定义含有三个要素，即_、_和_.当函数的_及_确定之后，函数的_也就随之确定当且仅当两个函数的_和_都分别相同时，这两个函数才是同一个函数3. 函数的表示法：_、_和_.1. 函
6、数的定义域(1) 函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式_的x的取值范围(2) 分式中分母应_；偶次根式中被开方数应为_，奇次根式中被开方数为一切实数；零指数幂中底数_.(3) 对数式中，真数必须_，底数必须_，三角函数中的角要使该三角函数有意义等(4) 实际问题中还需考虑自变量的_，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集2. 求函数值域主要的几种方法(1) 函数的_直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接通过_求得值域(2) 二次函数或可转化为二次函数形式的问题，常用_求值域(3) 分子、分母是一次函数或二次齐次式的
7、有理函数常用_求值域；分子、分母中含有二次项的有理函数，常用_求值域(主要适用于定义域为R的函数)(4) 单调函数常根据函数的_求值域(5) 很多函数可拆配成基本不等式的形式，利用_求值域(6) 有些函数具有明显的几何意义，可根据几何意义的方法求值域(7) 只要是能求导数的函数常可用导数的方法求值域.1. 函数单调性的定义(1) 一般地，对于_的函数f(x)，如果对于属于这个区间的_两个自变量x1，x2，当_时，都有_(或都有_)，那么就说f(x)在这个区间上是单调增函数(或单调减函数)(2) 如果函数yf(x)在某个区间上是单调增函数(或单调减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的
8、)单调性，这个区间叫作f(x)的_.若函数是单调增函数，则称该区间为_；若函数为单调减函数，则称该区间为_.2. 复合函数的单调性对于函数yf(u)和ug(x)，如果当x(a，b)时，u(m，n)，且ug(x)在区间(a，b)上和yf(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数yf(g(x)在区间(a，b)上具有_，并且具有这样的规律：_.3. 求函数单调区间或证明函数单调性的方法(1) _；(2) _；(3) _.1. 奇、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域内的_x，都有_(或f(x)f(x)0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有_(或_)，则称f(x)
9、为偶函数2. 奇、偶函数的性质(1) 具有奇偶性的函数，其定义域关于_对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_对称)(2) 奇函数的图象关于_对称，偶函数的图象关于_对称(3) 若奇函数的定义域包含0，则f(0)_.(4) 定义在(，)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和1. 函数图象的两种作法(1) 描点法： _；_；_.运用描点法作图前，必须对图象的特征(包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势)做到心中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处(2) 图2. 周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非
10、零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期3. 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个_就叫作f(x)的最小正周期象变换法：包括_变换、_变换、_变换1. 二次函数的三种表示(1) 一般式：_；(2) 两点式：_；(3) 顶点式： _.2. 二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象的形状、对称轴、顶点坐标、开口方向是处理二次函数问题的重要依据3. 一元二次方程的根的分布问题二次函数对应的一元二次方程的实数根的分布问题是一个比较复杂的问题，给定一元二次方程f(x)ax2bxc0(a0)(1) 若f(x)0在
11、(m，n)(mn)内有且只有一个实数根，则需满足_.(2) 若f(x)0在(m，n)(mn)内有两个实数根，则需满足_(3) 设x1，x2为方程f(x)0的两个实数根：若x1mx2，则f(m) _0；若mx1npx20，那么幂函数的图象过_，并且在0，)上是_；如果0且a1)，(ex)_；(3) (logax)_ (a0且a1)，(lnx)_；(4) (sin x)cos x，(cos x)_.4. 导数的四则运算法则(1) f(x)g(x)_；(2) f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) cf(x)_(c为常数)；(4) _ (g(x)0)1. 导数的几何意义(1) 导数
12、f(x0)的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0, f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)(2)设ss(t)是位移函数，则s(t0)表示物体在tt0时刻的_.(3)设vv(t)是速度函数，则v(t0)表示物体在tt0时刻的_.1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0且在(a，b)的任意子区间上_，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0且在区间(a，b)的任意子区间上_，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减2. 判定函数单调性的一般步骤(1) 确定函数yf(x)的定义域；(2) 求导函数f(x)；(3) 在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0
13、或f(x)0；(4) 根据(3)的结果确定函数的单调区间1. 函数的极值如果在函数yf(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有_，则称函数yf(x)在点xx0处取得极大值，记作_；如果在x0附近的所有点x，都有_，则称函数yf(x)在点xx0处取得极小值，记作_.2. 求函数极值的步骤(1) 确定函数f(x)的定义域，求导函数f(x)；(2) 求方程f(x)0的所有实数根；(3) 观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f(x)的符号如何变化：如果f(x)的符号由正变负，那么f(xn)是极大值；如果f(x)的符号由负变正，那么f(xn)是极小值；如果f(x)的符号在xn的两侧附
14、近相同，那么xn不是函数f(x)的极值点3. 函数的最值如果在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的xI，都有_，那么称f(x0)为函数的最大值，记作ymax_；如果在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的xI，都有_，那么称f(x0)为函数的最小值，记作ymin_.4. 求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1) 求函数f(x)在a，b上的极值；(2) 将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到函数 f(x)在a，b上的最大值与最小值1. 最值与不等式(1) af(x)恒成立a_；(2) af(x)恒成立a_；(3) af(x)有解a_；(4) af(x)有解a
15、_.2. 实际应用题(1) 解题的一般步骤：理解题意，_，使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际问题(2) 注意事项：注意实际问题的_；实际问题中的函数多数是单峰函数(即在定义域内只有一个极值点的函数)，这样的极值点也是_.1. 角的概念的推广(1) 正角、负角和零角：一条射线绕顶点按_方向旋转所形成的角叫作正角，按_方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作_.(2) 象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限(3) 终
16、边相同的角：与角的终边相同的角的集合为_2. 角的度量(1) 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角(2) 弧度制与角度制的关系：1_弧度(用分数表示)，1弧度_度(用分数表示)(3) 弧长公式：l_.(4) 扇形面积公式：Srl|r2. 3. 任意角的三角函数的定义设角的终边上任意一点的坐标为P(x，y)(除原点)，点P到坐标原点的距离为r(r)，则sin _，cos _，tan _4. 三角函数的定义域在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是_、_、_.5. 三角函数的符号规律第一象限全“”，第二象限正弦“”，第三象限正切“”，第四象限余弦“”简称：一全、二
17、正、三切、四余.1. 同角三角函数间的基本关系式(1) 平方关系：_.(2) 商数关系：_.2. 三个注意(1) 同角三角函数的关系式的前提是“同角”(2) tan是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义(3) 利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论.1. 诱导公式2sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos sin sin sin sin tan tan tan tan tan /诱导公式的规律可概括为十个字：奇变偶不变，符号看象限2. 运用诱导公式求任意角的三角函数的步骤
18、(1) 把求任意角的三角函数值化为求0360角的三角函数值；(2) 把求0360角的三角函数值化为090角的三角函数值；(3) 求090角的三角函数值1. 两角和(差)的三角函数公式(1) sin()sin cos cos sin ；(2) cos()_；(3) tan()_.2. 注意两角和(差)的三角函数公式的变形运用asin xbcos x_3. 注意几种常见的角的变换(1) ()_()_；(2) 2()_；(3) 2_.1. 二倍角公式(1) 二倍角的正弦：sin 2_.(2) 二倍角的余弦：cos 2_.(3) 二倍角的正切：tan 2_.注意：在二倍角的正切公式中，角是有限制条件的
19、，即_，且_ (kZ)“倍角”的意义是相对的，如4是_的二倍角，是_的二倍角2. 二倍角的余弦公式的几个变形公式(1) 升幂公式：1cos 2_；1cos 2_.(2) 降幂公式：cos2_；sin2_.1. 在三角式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成_的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要将_化为_弦2. 要注意“1”的代换，如1sin2_；还有1cos _，1cos _.3. 对于 sin cos 与sin cos 同时存在的情况，可通过换元的思路如设tsin cos ，则sin cos _.4. 常见的“变角”方法有：2()_；()()_.正弦
20、函数、余弦函数、正切函数的性质解析式ysin xycos xytan x定义域RR值域1,11,1R零点xk，kZxk，kZxk，kZ对称轴xk，kZxk，kZ无周期性T2T2T单调增区间(kZ)(2k1)，2k(kZ)(kZ)单调减区间(kZ)2k，(2k1)(kZ)无1. 函数yAsin(x)的图象(1) 用“五点法”画函数yAsin(x)的图象的步骤：列表；描点；连线(2) 用“变换法”由函数ysin x的图象得到函数yAsin(x)的图象的方法：由函数ysin x的图象向左(0)或向右(0)平移|个单位长度，得到函数_的图象；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数_的图象；横坐标不变，
21、纵坐标变为原来的A倍，得到函数_的图象由函数ysin x的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数_的图象；向左(0)或向右(0)平移个单位长度，得到函数_的图象；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数_的图象2. 函数yAsin(x)的性质振幅：A；周期：T；频率：f；相位：x；初相：x0时的相位，即.1. 建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤(1) 阅读理解，审清题意；(2) 创设变量，构建模型；(3) 计算推理，解决模型；(4) 结合实际，检验作答2. 三角函数模型的主要应用(1) 在解决物理问题中的应用；(2) 在解决测量问题中的应用；(3) 在解决航海问题中的应用.1. 利用
22、平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理正弦定理：_(其中R为ABC的外接圆的半径，下同). 变式：(1) a2Rsin A，b_，c_；(2) sin A_，sin B_，sin C_；(3) abc_；(4) (合比性质)2. 利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1) 已知两角与任一边，求其他两边和一角；(2) 已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角). 对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)”的题型，可能出现多解或无解的情况验证解的情况可用数形结合法. 如：已知a，b和A，用正弦定理求B，解的情况如下：若A为锐角，则absin A无解absin A一解 bsin Aa0时，a的方向与a的方向_；当0时，a的方向与a的方向_；当0时，a_.注：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算6. 两个向量共线定理向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得ba.1. 平面向量的基本定理(1) e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对