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1、【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第3章 第7节 正弦定理、余弦定理的应用举例课后限时自测 理 苏教版A级基础达标练一、填空题1两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的_北偏东10；北偏西10；南偏东10；南偏西10解析灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得ACB80，CABCBA50，则605010即北偏西10.答案2已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20，灯塔B在C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为_解析如图所示，由余弦定理可知，AB2a2a22aacos 1203a2得ABa.答案a3三角
2、形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边长之比为85，则这个三角形的面积为_解析设另两边长为8x与5x，则cos 60，解得x2，两边长为16与10，所以此三角形的面积为1610sin 60161040.答案404一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这只船的速度是_海里/小时解析如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是这只船的速度是10海里/小时答案105(2014广州调研)如图3711
3、所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan _m.图3711解析由题意，在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m且ACB由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即3521.422.8221.42.8cos()cos (计算有技巧：等式两边同除以0.72)sin ，tan .答案6某人站在60米高的楼顶A处测量电视塔的高度，测得塔顶C的仰角为30，塔底B的俯角为15，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高度为_米解析如图所示，用AD
4、表示楼高，BC表示塔高，设AE与水平面平行，E在线段BC上，因为CAE30，BAE15，ADBE60，则AE12060，在RtAEC中，CEAEtan 30(12060)6040.所以电视塔的高度为604060(12040)米答案120407(2014常州模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点距离为_海里图3712解析由已知可得，BAC30，ABC105，AB20，从而ACB45.在ABC中，由正弦定理，BCsin 3010.答案10
5、8(2014宿迁调研)如图3713，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为_图3713解析依题意，得AD20 m，AC30m.在ACD中，CD50 m，由余弦定理，cosCAD，又0CAD180，CAD45，即张角为45.答案45二、解答题9(2014常州二模)如图3714所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50千米/时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5千米、距离公路线的垂直距离为3千米的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机问骑摩托
6、车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少千米？图3714解作MH垂直公路所在直线于点H，则MH3千米，又OM5千米，OH4千米，cosMOH，设骑摩托车人的速度为v千米/时，追上汽车的时间为t小时，追上汽车的地点为N.在MON中，由余弦定理得MN2OM2ON22OMONcosMON，即(vt)252(50t)22550t，v22500252900，当t时，v取得最大值30，其行驶距离为vt千米故骑摩托车的人至少以30千米/时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了千米10(2014徐州模拟)某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如
7、下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得ABC105和BAC30，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得BAD90和ABD45.请你根据以上条件求出航模的速度(答案保留根号) 图3715解在ABD中，BAD90，ABD45，ADB45，ADAB80，BD80.在ABC中，BC40.在DBC中，DC2DB2BC22DBBCcos 60(80)2(40)2280409 600.DC40，航模的速度v2米/秒答：航模的速度为2米/秒B级能力提升练一、填空题1. 如图3716所示，要在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的铁塔CD的高，从A、B两处测得塔顶C的仰角分别为6
8、0和45，AB长为40 m，山坡与水平面成30，则铁塔CD高为_m.图3716 解析由已知可得CADACD30，CBAACB15，ADCD，ABAC，在ACD中，由余弦定理得AC22CD22CD2cos 120，即4023CD2，CD(m)答案(m)2某城市有一块不规则的绿地如图3717所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量ADBD14，BC10，AC16，CD.则AB的长度为_图3717解析在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C356320cos C，在ABD中，由余弦定理及CD整理得AB2AD2B
9、D22ADBDcos D392392cos C，由得：356320cos C392392cos C，整理可得，cos C，又C为三角形的内角，所以C60，又CD，ADBD，所以ABD是等边三角形，故AB14.答案14二、解答题3(2014南通期末测试)如图3718，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60的方向，且在港口A北偏西30的方向上一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O.一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船已知两船同时出发，补给装船时间为1小时图3718(1)求给
10、养快艇从港口A到小岛B的航行时间；(2)给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？解(1)由题意知，在OAB中，OA120，AOB30，OAB60.于是AB60，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时(2)由(1)知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与科考船在C处相遇在OAB中，可计算得OB60，而在OCB中，BC60t，OC20(2t)，BOC30，由余弦定理，得BC2OB2OC22OBOCcosBOC，即(60t)2(60)220(2t)226020(2t)，亦即8t25t130，解得t1或t(舍去)故t23，即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇7